Hyperbol

16

Hyperbol

I. N. Bronstein

---

Cường điệu là gì? Câu hỏi này được trả lời theo nhiều cách khác nhau. Học sinh sẽ trả lời: “Đồ thị tỉ lệ nghịch”. Bất cứ ai quen thuộc với phần hình nón sẽ nói: “Phần hình nón tròn bên phải bởi một mặt phẳng tiếp xúc với cả hai sàn của nó”. Và một sinh viên đại học hoặc trường kỹ thuật sẽ cho đáp số: “Tập hợp các điểm trên mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách của mỗi điểm đó đến hai điểm cố định là như nhau.” Mỗi định nghĩa sử dụng một số thuộc tính đặc trưng của hyperbol và các thuộc tính còn lại có thể được suy ra từ định nghĩa.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ bắt đầu với định nghĩa trường phái về cường điệu - từ đó hình thức của nó ngay lập tức được tiết lộ.

TÔI. HYPERBOLA BẰNG CÁCH

Biểu đồ tỷ lệ nghịch

Người đọc đã quen với định nghĩa hyperbol là đồ thị tỉ lệ nghịch. Như sẽ thấy, đây là định nghĩa của một loại hyperbola cụ thể - hyperbola đều (nguồn gốc của tên này sẽ trở nên rõ ràng hơn ở phần sau). Chính vì đường cong này mà chúng tôi dành phần đầu tiên của bài viết. Để cho ngắn gọn, bây giờ chúng ta sẽ gọi một hyperbol đều cạnh đơn giản là một hyperbol.

Hai biến $x$ và $y$ được gọi là tỉ lệ nghịch nếu tích của chúng không đổi:
$$xy = k. \tag{1}$$
Đầu tiên chúng ta sẽ coi chúng là tích cực (từ hạn chế này chúng ta

chúng tôi sẽ loại bỏ nó sớm); thì $k > 0$. Ví dụ: một trong số chúng, $x$, có thể nhận bất kỳ giá trị dương nào, sau đó $y$ còn lại chỉ được nhận một giá trị $y = \dfrac{k}{x}$. Do đó, đẳng thức (1), đối với mỗi $k$, là một hàm nhất định có miền đặc tả $x > 0$ và một phạm vi giá trị $y > 0$. Đồ thị của hàm này, như trong Hình 1, được gọi là một nhánh của hyperbol đều; để cho ngắn gọn, ban đầu chúng ta sẽ gọi nó đơn giản là hyperbola, không chỉ lược bỏ từ “bằng nhau” mà còn không lặp lại từ “một nhánh”.

Định nghĩa của chúng tôi dựa trên khái niệm đồ thị của hàm số. Tuy nhiên, có thể chấp nhận một công thức “hình học thuần túy” khác: hyperbol là tập hợp các đỉnh thứ tư $M$ của các hình chữ nhật có diện tích cho trước $k$, trong đó một đỉnh $O$ trùng với đỉnh của một góc vuông cho trước và hai - $L$ và $N$ - nằm trên các cạnh của nó (xem Hình 1).

Điểm $O$ được gọi là tâm của hyperbol - nguồn gốc của tên này sẽ được làm rõ thêm.

Qua mỗi điểm $M_1$ có tọa độ $x_1$ và $y_1$ *) sẽ đi qua một (nhưng chỉ một!) hyperbol - chính xác là điểm mà hằng số $k$, được bao gồm trong định nghĩa của hyperbola, bằng $x_1 y_1$. Trong Hình 2 cho hyperbola màu đỏ $x_1 = 2,4$, $y_1 = 3,5$, $k_1 = 8,4$. Nếu bạn mô tả trong đầu tất cả các hyperbol trên một bản vẽ chung (nghĩa là các hyperbol cho tất cả những gì có thể $k$), thì chúng sẽ lấp đầy toàn bộ “bên trong” của góc $XOY$. Trong Hình 2, ngoài hyperbol màu đỏ, một số hyperbol khác được mô tả: tại $k = 1, 2, 3, 4, 5$ và $16$. Do đó, hyperbol là một tập vô hạn, mỗi hyperbol được xác định bởi giá trị của tham số $k$ **).

---

*) Điều này thường được ký hiệu như sau: $M_1(x_1, y_1)$.
**) Thuật ngữ tham số (từ tham số Hy Lạp cổ đại - đo lường) - được sử dụng trong toán học theo nhiều nghĩa khác nhau. Thông thường, đây là đại lượng chỉ giữ lại giá trị không đổi trong các điều kiện của một bài toán nhất định.

17

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Hình dạng của một hyperbol, đỉnh và các đường tiệm cận của nó

Các hyperbol có các giá trị khác nhau của tham số $k$ tương tự nhau, nhưng chúng không đồng dạng - chúng không thể kết hợp bằng cách xếp chồng. Tuy nhiên, có thể dễ dàng chứng minh rằng chúng đều giống nhau, thậm chí có vị trí giống nhau với tâm đồng dạng $O$. Mời bạn đọc chứng minh điều này bằng Hình 3.

Chúng ta hãy mô tả dạng của một hyperbol (chính xác hơn là một nhánh của một hyperbol đều), nghĩa là chúng ta sẽ liệt kê các đặc tính chủ yếu là nổi bật của nó.

Hyperbola có phần mở rộng vô hạn - nó không thể vừa khít trên một mặt phẳng giới hạn. Cho dù số $A$ cho trước lớn đến đâu, vẫn có thể chỉ ra một điểm trên hyperbol có khoảng cách lớn hơn $A$ tính từ điểm $O$ (chứng minh).

Hyperbol đối xứng qua phân giác $OT$ của góc $XOY$ (Hình 4), nghĩa là với mọi điểm $M_1(x_1,y_1)$ của hyperbol, điểm đối xứng $M_2(x_2,y_2)$ cũng thuộc về hyperbol này (chứng minh).

Điểm $A$ giao điểm của một hyperbol với trục đối xứng $OT$ của nó được gọi là đỉnh của hyperbol. Tọa độ mỗi đỉnh của hyperbol có tham số $k$ bằng $\sqrt{k}$. Khoảng cách từ đỉnh đến tâm của hyperbol (chúng ta sẽ biểu thị nó bằng $a$) bằng $OA=\sqrt{2k}$. Đỉnh là điểm gần tâm nhất của hyperbol (chứng minh).

Không giống như một vòng tròn, có độ cong bằng nhau ở tất cả các phần của nó, một hyperbol có độ cong mạnh nhất ở vùng lân cận đỉnh của nó và “thẳng ra” khi nó di chuyển ra xa đỉnh của nó theo bất kỳ hướng nào. Chúng tôi không cung cấp bằng chứng về tính chất hiển nhiên này của phép cường điệu; chúng tôi sẽ không

Cơm. 3.

Cơm. 4.

2 «Kvant» № 3

17

18

để chứng minh một tính chất quan trọng khác của cường điệu - tính ưu việt tại mọi điểm của nó *). Việc chứng minh các obich đòi hỏi kiến ​​thức về phép tính vi phân cơ bản.

Chúng ta hãy tập trung vào đặc tính đáng chú ý nhất của hyperbola và xác định hình dạng của nó: một điểm di chuyển vô hạn dọc theo hyperbola theo một hướng sẽ tiếp cận vô tận một trục tọa độ và một điểm di chuyển vô hạn theo hướng khác sẽ tiếp cận vô tận một trục tọa độ khác **). Tính chất này được biểu diễn dưới dạng toán học như sau: trục tọa độ OX và OY là các đường tiệm cận của nó (từ tiếng Hy Lạp asimptotos - phân kỳ).

Hãy chứng minh tính chất cường điệu này. Chúng ta lấy một điểm $M_1$ trên đó, nằm bên phải đỉnh $A(x_1 > V\sqrt{k})$, khoảng cách $y_1$, nhỏ hơn $\varepsilon$ đến trục OX (Hình 5). Điều này luôn có thể được thực hiện bằng cách lấy $x_1 > \frac{k}{\varepsilon}$. Khi đó $M_1N_1 = y_1 = \frac{k}{x_1} < \varepsilon$ và với mọi điểm $M(x, y)$ của hyperbol nằm bên phải $M_1$, $x > x_1$ và $y = \frac{k}{x} < y_1 < \varepsilon$, tức là trục OX là tiệm cận của hyperbol. Từ tính đối xứng của đường cong, ta suy ra trục OY là tiệm cận của nó.

Biết được đỉnh của cường điệu và các tiệm cận của nó, bạn có thể vẽ cường điệu bằng tay một cách khá chính xác.

Định nghĩa cường điệu đều. siêu âm liên hợp

Khi nghiên cứu biểu đồ tỷ lệ nghịch, chúng tôi coi $x$ và $y$ là dương. Việc này chỉ được thực hiện cho

*) Một đường cong được gọi là đầu hoặc nổi tại một điểm cho trước nếu tại điểm này có tiếp tuyến với đường cong.
**) Cụm từ “tiếp cận không giới hạn” có nghĩa là dù số $\varepsilon > 0$ được đặt nhỏ đến đâu, vẫn có thể chỉ ra một điểm trên hyperbol sao cho khoảng cách của nó đến trục tọa độ nhỏ hơn $\varepsilon$ và khi loại bỏ thêm sẽ vẫn nhỏ hơn $\varepsilon$.

Thuận tiện trong việc trình bày. Hàm được xác định bởi đẳng thức (1) không chỉ được xác định cho giá trị dương mà còn cho các giá trị âm của $x$; số $k$ cũng có thể âm: Chúng ta sẽ gọi đồ thị của hàm số (1) là hyperbol mét (đều). Nó bao gồm hai phần (nhánh) giống hệt nhau, nằm ở $k > 0$, ở phần tư I và III của mặt phẳng, và tại $k < 0$ - ở phần tư II và IV.

Hình b cho thấy hai hyperbol đều - đỏ và xanh; các tham số của chúng có cùng mô hình nhưng trái dấu. Các hyperbol đều cạnh như vậy được gọi là liên hợp lẫn nhau.

Chúng ta hãy liệt kê một số tính chất của cường điệu đều “hoàn chỉnh”* (chúng rất quan trọng; người đọc có thể dễ dàng kiểm tra chứng minh của chúng). Một hyperbol có tâm đối xứng $O$ (đó là lý do tại sao chúng tôi gọi điểm này là tâm của hyperbol), hai nhánh đối xứng, hai trục đối xứng $PR$ và $ST$ (các phân giác của các góc tọa độ), hai đỉnh ($A$ và $A'$ cho màu đỏ, $B$ và $B'$ cho cường điệu màu xanh lam). Khoảng cách giữa các đỉnh của hyperbol ($AA' = BB' = 2\sqrt{2k}$) được gọi là trục của hyperbol. Tôi sẽ đặt nó $\sqrt{2k}$ (nửa-

*) Chúng tôi đặt từ “đầy đủ” trong dấu ngoặc kép để nhấn mạnh rằng định nghĩa trước đây về cường điệu không chỉ áp dụng cho một nhánh của cường điệu.

19

Cơm. 6.

trục) được ký hiệu là $a$, do đó
$$k = \pm \frac{a^2}{2},$$
trong đó dấu “+” dành cho hyperbol nằm ở phần tư thứ 1 và thứ 3, và “-” - ở phần tư thứ 2 và thứ 4. Cả hai hyperbol liên hợp đều có các tiệm cận chung vuông góc với nhau.

Phương trình của một hyperbol đều. Hyperbol và đường tròn

Phương trình của một hyperbol, được định nghĩa là một đồ thị tỷ lệ nghịch, là đẳng thức nổi tiếng $xy = k$. Chúng ta sẽ viết nó ở dạng hơi khác: thay vì tham số $k$, chúng ta đưa bán trục $a$ vào (1). Vì $k= \pm \dfrac{a^2}{2}$, trong đó dấu “+” dành cho hyperbol màu đỏ, “—” dành cho hyperbol màu xanh, nên phương trình của cả hai hyperbol sẽ có dạng
$$xy = \pm \frac{a^2}{2}. \tag{2}$$

Mỗi phương trình trong số hai phương trình này được gọi là phương trình hyperbol đối với các tiệm cận. Những từ này biểu thị rằng các trục tọa độ trong trường hợp này là các đường tiệm cận của hyperbol.

The equation of any line depends not only on its shape and size, but also on how it is located in the coordinate plane. Bây giờ chúng ta hãy lấy (Hình 7), trong mặt phẳng, ngoài hệ tọa độ $XOY$ (“cũ”), một hệ tọa độ khác $X'OY'$, thu được bằng cách xoay trục $OX$ và $OY$ theo $45°$ ngược chiều kim đồng hồ. Let us take any point $M$ of the plane on which both coordinate systems are introduced. It has 4 coordinates: old $(x, y)$ and new $(x', y')$. It can be proven that the old coordinates are expressed in terms of the new ones by the following formulas:
$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y'), \quad y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y'). \tag{3}$$

2*

Cơm. 7.

Chứng minh điều đó khi điểm $M$ nằm trong góc $X'OY$ - trong trường hợp này, cả 4 tọa độ của nó đều dương.

Công thức (3) có thể được chứng minh cho tất cả các vị trí có thể khác của điểm $M$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các hyperbol liên hợp, các đường tiệm cận của chúng là các đường thẳng $OX$ và $OY$ (Hình 7), các trục mới $OX'$ và $OY'$ đóng vai trò là trục đối xứng của các hyperbol này). Trong tọa độ cũ chúng có phương trình $xy = \pm \dfrac{a^2}{2}$. Nếu chúng ta thay thế các công thức (3) vào các phương trình này, chúng ta sẽ thu được phương trình của cùng một hyperbol ở tọa độ mới, nghĩa là phương trình của hai hyperbol liên hợp đối với các trục đối xứng:
$$x'^2 - y'^2 = \pm a^2.$$

Trong tương lai, chúng tôi sẽ không quay lại tọa độ cũ và do đó sẽ không đặt số nguyên tố vào tên của các trục tọa độ hoặc tọa độ các điểm của chính các hyperbol của chúng tôi; We will draw the axes, as usual, horizontally and vertically (Fig. 8). The equations of two conjugate hyperbolas will be as follows
$$x^2 - y^2 = a^2 \tag{4}$$
và $x^2 - y^2 = -a^2$ (hoặc $y^2 - x^2 = a^2$).

Cả hai hyperbol này đều được “nội tiếp” trong hình vuông $pqrs$ với bên $2a$; tiệm cận chung của chúng là sự tiếp tục của các đường chéo $pr$ Và $qs$ hình vuông “cơ bản” này.

Cơm. 8.

19

20

Thay đổi một tham số $a$, chúng ta thu được một tập hợp vô hạn các hyperbol với các tiệm cận chung.

$$x^2 + y^2 = a^2.$$

So sánh các phương trình (4) và (4a) cho thấy rằng hyperbol đều và đường tròn theo một nghĩa nào đó có liên quan với nhau, mặc dù thực tế là chúng không giống nhau chút nào.

II. HYPERBOLE CHUNG

Định nghĩa hyperbol tổng quát

Qua bài viết “Hình Ellipse”, bạn đọc biết rằng nếu một hình tròn chịu phép biến đổi dãn – lăn (RS)* thì sẽ biến thành hình elip. Chúng ta sẽ quan tâm đến hình trong đó mỗi hyperbol đều được hiển thị trong Hình 9 bằng các đường đứt nét sẽ đi theo kết quả của PC so với trục đối xứng $A'A$.

Hình vuông cơ bản $pqr$ của các hyperbol này sẽ biến thành hình chữ nhật $PQRS$ (trong Hình 9), các đường chéo $pr$ và $qs$ của nó cũng sẽ biến thành các đường thẳng $PR$ và $QS$.

Các hyperbol đều cạnh liên hợp (đỏ và xanh) sẽ chuyển thành các đường liền màu đỏ và xanh do PC. Mỗi trong số chúng cũng bao gồm hai nhánh và một đối xứng đối với các đường giữa của hình chữ nhật chức năng $PQRS$, các đường chéo của chúng đóng vai trò là đường tiệm cận của các đường cong này. Nhưng những tuyến đường mới này sẽ không còn ùn tắc nữa. Chúng ta sẽ gọi chúng là hyperbol liên hợp.

Một đường cong gồm hai nhánh và thu được nhờ PC của một hyperbol đều “hoàn chỉnh” so với đường giữa của một hình vuông chức năng được gọi là hyperbola tổng quát hoặc một chu vi đơn giản.

*) Xem «Kvant», 1975, số 1, tr. 2

21

Cơm. 11.

nhánh của một hyperbol đều.
Cụ thể (Hình 10): hyperbola (chính xác hơn là một trong các nhánh của nó) là một tập hợp gồm bốn đỉnh M của hình bình hành có diện tích k cho trước, trong đó một đỉnh O trùng với đỉnh của một góc cho trước và hai - L và N - nằm trên các cạnh của nó. Đây chính là định nghĩa đẳng thức trước đó (chứng minh).

Phương trình hyperbol chính tắc

Phương trình của một hyperbol tổng quát, tương ứng với các trục đối xứng của nó, phụ thuộc vào việc các đỉnh của nó nằm trên trục OX hay trên trục OY. Phương trình của cả hai hyperbol (đỏ và xanh) có thể được suy ra từ phương trình (4) của các hyperbol hoàn hảo đều giống như cách thu được phương trình của một hình elip từ phương trình của đường tròn *). Dưới đây là các phương trình:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \text{ (красная)},$$

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \text{ (синяя)};$$

ở đây a và b là các hyperbol liên hợp (xem Hình 9).

Phương trình (5) khác với phương trình của hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, nội tiếp trong cùng một hình chữ nhật cơ bản, ở chỗ vế trái y của cả hai số hạng có dấu khác nhau. Sự giống nhau đáng chú ý giữa hình elip và hình hyperbol!

*) Xem «Kvant» Số 1, tr. 5. Chúng tôi trình bày cho người đọc cách suy ra phương trình (5) từ phương trình (4).

III. HYPERBOLA - PHẦN CONIC

Sự giống nhau giữa hình elip và hình hyperbol không dừng lại ở đó. Được biết, hình elip là phần nghiêng của hình trụ tròn.

Chúng ta hãy chứng minh, bằng cách sử dụng định nghĩa hình học của một hyperbol, rằng mỗi hyperbol có thể thu được dưới dạng một phần của một hình nón tròn nhất định đến một mặt phẳng song song với trục của nó.

Trong chứng minh, chúng ta sẽ chỉ xem xét một hyperbol - tính chất của các điểm trong hyperbol này tuân theo tính đối xứng của cả hai giới.

Cho trước là một nhánh của hyperbol và các tiệm cận OX và OY của nó, cắt nhau một góc $\omega$ (Hình 11, a). Theo định nghĩa, đối với mỗi điểm của nó, diện tích của hình bình hành ONML bằng nhau - nó bằng ON·OL·sin $\omega$.

Chúng ta hãy biểu thị tích ON·OL, được xây dựng cho bất kỳ điểm M nào của hyperbol, bằng k: ON·OL = ML $\times$ MN = k. Vẽ đường QQ’ qua M vuông góc với trục đối xứng của hyperbol; nó sẽ cắt các đường tiệm cận OX và OY tại các điểm Q và Q’. Tích của các đoạn MQ và MQ’ cũng được xây dựng cho bất kỳ điểm nào trên nhánh của hyperbol M. Thật vậy, MQ = 2·MN·sin $\omega/2$,

$$MQ' = 2ML \cdot \sin \omega/2,$$

$$MQ \cdot MQ' = 4k \cdot \sin^2 \omega/2 = (k')^2,$$

22

ở đâu $k' = 2\sqrt{k}\sin \omega/2$. Một đoạn có độ dài $k'$, tỷ lệ trung bình cho các đoạn $MQ$ và $MQ'$, giống nhau cho tất cả $M$, có thể thu được bằng một cấu trúc nổi tiếng: trên đoạn $QQ'$ như trên đường kính, dựng một hình bán nguyệt $QPQ'$ và vẽ đoạn $MP$ song song với trục của hyperbol, cho đến khi nó giao nhau với trục này vòng tròn, $MP = k'$.

Bây giờ chúng ta hãy xoay hình bán nguyệt $QPQ'$ xung quanh đường kính $QQ'$ bằng $90^\circ$ (Hình 11.6). Đoạn $MP$ sẽ thẳng đứng phía trên mặt phẳng hình vẽ 11a (chúng ta sẽ coi nó nằm ngang). Điểm $P$ sẽ ở trên điểm $M$ và cách nó một khoảng $k'$ ($P'$). Hãy làm điều này với mỗi hình bán nguyệt được xây dựng theo cách đã chỉ ra cho bất kỳ điểm hyperbol nào. Kết quả là toàn bộ hyperbol tăng lên trên mặt phẳng mà nó nằm một khoảng $k'$ và vẫn ở trong cùng một mặt phẳng. Đồng thời, mỗi hình bán nguyệt $QPQ'$ quay một góc $90^\circ$ sẽ nằm trên nón tròn thu được bằng cách quay tiệm cận $OX$ của hyperbol quanh trục của nó (chứng minh). Do đó, điểm $M$ của hyperbol của chúng ta (ở vị trí nâng lên) vừa nằm trên bề mặt của hình nón vừa nằm trong mặt phẳng song song với trục của hình nón này, đó là điều chúng ta cần chứng minh.

Cơm. 12.

Tính chất đáng chú ý này không chỉ áp dụng cho một phần của hình nón tròn bởi một mặt phẳng song song với trục của nó, mà còn áp dụng cho bất kỳ phần nào xác định cả hai nửa hình nón. Thực tế này liên quan đến lý thuyết tổng quát về đường cô-nic nên chúng tôi sẽ không chứng minh ở đây *).

Thuộc tính tiêu điểm của cường điệu

Người ta biết rằng hình elip có một đặc tính “tiêu điểm” đáng chú ý: trong mặt phẳng của nó còn có các điểm $F_1$ và $F_2$ (tiêu điểm), mà tổng khoảng cách của mỗi điểm $M$ của hình elip đến tiêu điểm của nó là như nhau - nó bằng độ dài trục chính của hình elip:

$$F_1M + F_2M = 2a.$$ (6)

Cường điệu có một tính chất tương tự. Trong mặt phẳng của nó có hai điểm (tiêu điểm của hyperbol), sao cho chênh lệch khoảng cách của mỗi điểm $M$ của hyperbol đối với các thùy này là như nhau - nó bằng khoảng cách giữa các đỉnh của hyperbol:

$$F_1M - F_2M = 2a.$$ (7a)

Ở đây $F_1$ là tiêu điểm ở xa $M$ hơn $F_2$ (Hình 12). Cả hai tiêu điểm đều nằm trên trục đối xứng của hyperbol đi qua các đỉnh $A$ và $A'$; khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến tâm của hyperbol là

$$F_1O = F_2O = c = \sqrt{a^2 + b^2},$$

trong đó $a$ và $b$ là độ dài các bán trục của hyperbol này và liên hợp của nó **). Mối liên hệ quan trọng giữa đỉnh “các phần tử cường điệu $a$, $b$ và $c$

$$c^2 = a^2 + b^2$$ (8)

tương tự như kết nối $c^2 = a^2 - b^2$ cho hình elip.

Trong Hình 12, điểm $M$ nằm trên nhánh bên phải của hyperbol; cho bất kỳ điểm nào $M'$ trên nhánh bên trái của biểu mẫu

*) Vấn đề này sẽ được thảo luận ở «Kvant» Số 5.
**) Chúng ta sẽ không chứng minh tính chất cường điệu ở đây. Mời độc giả tự mình lấy bằng chứng này - xem bài toán M313 trong số tạp chí này (trang 46).

23

mula (7a) sẽ trông như sau:
$$F_2M - F_1M = 2a.$$ (76)

Đối với hyperbol liên hợp của nó (màu xanh), tiêu điểm sẽ là $F'_1$ và $F'_2$. Tất cả 4 tiêu điểm của các hyperbol liên hợp lẫn nhau đều nằm trên một đường tròn, tâm của đường tròn này nằm ở tâm của hyperbol và bán kính bằng một nửa đường chéo OQ của hình chữ nhật Cơ bản PQRS cho cả hai hyperbol.

Thuộc tính tiêu điểm thường được coi là định nghĩa của hyperbol.

Vẽ một hyperbola trong một chuyển động liên tục

Vẽ một hyperbol bằng hai đường ren, tương tự như cách vẽ hình elip nổi tiếng, dựa trên thuộc tính tiêu điểm. Chúng ta hãy đặt một tờ giấy lên bảng vẽ và ghim hai chiếc đinh ghim $F_1$ và $F_2$ lên tờ giấy (Hình 13). Lấy hai sợi chỉ, độ dài chênh lệch (2a) nhỏ hơn khoảng cách giữa các nút (2c), buộc đầu mỗi sợi vào chân nút và buộc các đầu còn lại bằng nút thắt (điểm C). Bây giờ, bạn giữ nút thắt bằng tay trái, bảo vệ cả hai sợi chỉ bằng đầu bút chì $M$ và di chuyển bút chì trên giấy sao cho cả hai sợi chỉ $F_1MC$ và $F_2MC$ luôn ở vị trí căng. Khi đó đầu $M$ của bút chì luôn nằm trên cùng một nhánh của hyperbol với tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và độ dài trục $2a = F_1M - F_2M$ (tại $CMF_1 > CMF_2$), vì
$$F_1M - F_2M = (F_1M + MC) - (F_2M + MC) = 2a.$$
Để vẽ nhánh thứ hai, bạn nên hoán đổi các nút bằng các sợi chỉ gắn liền với chúng. Các cung được vẽ của hyperbol sẽ càng dài thì sợi chỉ càng dài.

Ứng dụng cường điệu trong quân sự

Cần xác định trên bản đồ cách điều khiển lệnh để bắn trúng mục tiêu đang phát ra âm thanh cố định, chẳng hạn như lệnh bắn của địch (Hình 14).

Ở hai bên của lệnh $O$ hai điểm $F_1$ và $F_2$ nằm đối xứng với $O$, trong đó ghi lại thời điểm phát ra âm thanh kẻ địch bắn của lệnh $M$. Hãy để âm thanh này được nghe thấy tại điểm $F_1$ tại thời điểm $t_1$ và tại điểm $F_2$ tại thời điểm $t_2$. Nếu $t_1 = t_2$, thì rõ ràng $F_1M = F_2M$ và thứ tự $O$ phải hướng dọc theo đường vuông góc $OK$ đến $F_1F_2$. Nếu $t_1 \neq t_2$ thì $|t_1 - t_2|$ là $\frac{2a}{v}$, trong đó $v$ là tốc độ âm thanh trong không khí và $2a$ là chênh lệch khoảng cách $|F_1M - F_2M|$ từ các điểm $F_1$ và $F_2$. Điều này có nghĩa là thứ tự nằm trên cùng một nhánh của hyperbol với tiêu cự $F_1F_2 = 2c$ và khoảng cách giữa các đỉnh $2a = v|t_1 - t_2|$, cụ thể là trên đó