Công cụ tính toán

Kvant 1975, số 3 tr. 30, 31, 34, 35 Thẻ O0F1

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

CÔNG CỤ MÁY TÍNH

L.S. Khrenov

EKVM “Iskra-110”

Mong muốn cơ giới hóa các phép tính bằng nhiều phương tiện khác nhau đã nảy sinh từ thời cổ đại. Ở Rus’, nhiều phương tiện tính toán khác nhau đã được sử dụng trong quá trình xây dựng những nhà thờ đá đầu tiên ở Novgorod, Kyiv và các thành phố khác.

Trong những thập kỷ qua, những thay đổi lớn về chất đã xảy ra trong các công cụ điện toán, rất khó để so sánh ngay cả với giai đoạn xuất hiện logarit.

Bước nhảy vọt về chất như vậy trong sự phát triển của công nghệ máy tính, đặc biệt là máy tính, là do sự phát triển của tiến bộ kỹ thuật trong tất cả các lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đòi hỏi phải thực hiện nhiều phép tính khác nhau với khối lượng khổng lồ.

Bây giờ, tùy thuộc vào độ chính xác của dữ liệu nguồn và mục đích tính toán, họ sử dụng nhiều phương tiện khác nhau - biểu đồ, bảng, dụng cụ và máy tính.

Danh pháp

Các biểu đồ thể hiện hình ảnh đồ họa của sự phụ thuộc hàm được xây dựng cho bất kỳ một công thức hoặc một phương trình nào. Do đó, hiệu quả của việc sử dụng chúng trong tính toán phụ thuộc vào quy mô khối lượng của các hoạt động tính toán sử dụng công thức này. Chữ tượng hình được sử dụng để nhanh chóng

Để thực hiện các phép tính không yêu cầu độ chính xác cao (2-3 số có ý nghĩa) hoặc để kiểm soát các phép tính chính xác hơn. Thành phần chính của mỗi biểu đồ là thang đo chức năng, mô tả bằng đồ họa một chức năng nhất định $y = f(x)$ trên một dòng*).

Bàn

Bảng là tập hợp các giá trị số của một hàm nhất định tương ứng với các giá trị đối số được định vị tuần tự nhất định.

Ở Babylon sớm nhất là vào năm 2.000 trước Công nguyên. đ. các bảng được tạo chứa các giá trị của $n^2$ , $n^3$ , $n^2 + n^3$ , $1/n$ và các hàm khác. Yêu cầu ngày càng tăng về độ chính xác của phép tính dẫn đến việc tạo ra một số lượng lớn các bảng khác nhau trong thế kỷ 15.

Sự phát triển nhanh chóng của thiên văn học trong thế kỷ 16 đã đặt ra yêu cầu ngày càng cao về độ chính xác của các phép tính, dẫn đến việc phát minh ra logarit. Logarit mà chúng ta sử dụng hiện nay được đề xuất độc lập bởi Scotsman J. Napier (1550-1617) và I. Burgi người Thụy Sĩ (1552-1632).

Năm 1703, “Bảng logarit của các số từ 1 đến 1000 và sin, tiếp tuyến, cát tuyến để dạy cho những người tỉ mỉ, yêu thích sự khôn ngoan” được xuất bản ở Nga.

Sự phát triển hơn nữa của khoa học và công nghệ đòi hỏi phải có sự phát triển và sáng tạo, đặc biệt là từ giữa thế kỷ 17, các bảng chứa các giá trị của nhiều loại khác nhau.

*) Ví dụ, xem bài viết của Yu. V. Matiyasevich “Lần đầu làm quen với chữ tượng hình”, «Kvant», 1971, số 5.

chức năng cá nhân. Và trong nửa đầu thế kỷ của chúng ta, số lượng bảng các loại đã được xuất bản nhiều gấp nhiều lần so với tất cả các thế kỷ trước.

Trong thực hành tính toán, các bảng toán học được sử dụng rộng rãi để biểu diễn các hàm chủ yếu có một đối số: $y = f(x)$ , với một bước đối số cho phép nội suy tuyến tính.

Trong số các bảng chứa các giá trị của các hàm cơ bản, các bảng Barlow nổi tiếng thế giới chứa các giá trị của các hàm $n^2, n^3, \sqrt{n}; \sqrt{10n}, \sqrt[3]{n}$ và $1/n$ cho các đối số $n$ từ 1 đến 15.000 với gia số một đơn vị được sử dụng rộng rãi.

Trong số các logarit, bảng logarit thập phân của các số, tổng và hiệu của chúng, cũng như logarit của các hàm lượng giác được sử dụng phổ biến nhất; chúng được tạo thành với số vị trí thập phân khác nhau trong phần định trị và phổ biến nhất là 4-8.

Khi chọn bảng logarit để tính bảng, cần tính đến số chữ số có nghĩa chính xác của số logarit, chúng thường biểu thị giá trị gần đúng chứ không phải chính xác. Gần đúng, chúng ta có thể giả sử rằng sai số tuyệt đối của logarit thập phân bằng một nửa sai số tương đối của số logarit, nghĩa là người ta nên sử dụng các bảng logarit thập phân có cùng số vị trí thập phân trong phần định trị của chúng bằng số chữ số có nghĩa chính xác mà số logarit có hoặc một số nữa.

Việc sử dụng rộng rãi các loại máy tính khác nhau đã dẫn đến việc thay thế các phép tính logarit bằng các phép tính không logarit. Về vấn đề này, các bảng chứa các giá trị tự nhiên của hàm có ý nghĩa đặc biệt.

Khác với bảng logarit, số chữ số thập phân sau dấu thập phân trong bảng giá trị tự nhiên

chẳng hạn như các hàm lượng giác, không mô tả đầy đủ độ chính xác của chúng. Các bảng như vậy chứa các giá trị của các hàm lượng giác có sai số tuyệt đối không vượt quá $0,5 \times 10^{-n}$ , trong đó $n$ là số chữ số thập phân. Sai số tương đối của họ sẽ thay đổi đáng kể. Việc sử dụng các bảng như vậy dẫn đến mất đi độ chính xác của kết quả khi tính toán với các hàm góc nhỏ.

Vì vậy, ví dụ, nếu trong một tam giác vuông $ABC$ , chúng ta giả sử rằng các chân của nó lần lượt là $AB = 0,45$ $\mathit{м}$ và $BC = 103,13$ $\mathit{м}$ , thì với những dữ liệu này, sử dụng bảng năm giá trị của các giá trị tự nhiên của hàm lượng giác, chúng ta thu được

$\mathrm{tg}\, \sphericalangle ACB = \frac{AB}{BC}; \quad \sphericalangle ACB = \alpha = 0°15',$

và cạnh huyền

$AC = \frac{BC}{\cos\alpha} = \frac{103,13}{0,99999} \approx 103,13\ \mathit{м};$

ở phía bên kia,

$AC = \frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{0,45}{0,00436} \approx 103,21\ \mathit{м},$

nghĩa là thu được sự khác biệt về giá trị của cạnh $AC$ với $0,08$ $\mathit{м}$ .

Nếu bạn sử dụng các bảng có năm chữ số có nghĩa thì sai số tương đối sẽ nằm trong khoảng

$0,5 \times 10^{-5} \leqslant \Delta\delta \leqslant 0,5 \times 10^{-4};$

trong đó $\cos 0°15' = 0,99999$ , và $\sin 0°15' = 0,0043633$ , và

$AC = \frac{0,45}{0,0043633} \approx 103,13\ \mathit{м},$

tức là sẽ không có sai số khi tính cạnh $A$ .

Khi chọn tính bảng giá trị tự nhiên của các hàm lượng giác, bạn nên ưu tiên các bảng trong đó giá trị của cả 6 hàm đều có cùng số chữ số có nghĩa thay vì cùng số chữ số thập phân.

Các bảng lượng giác đầu tiên được chúng ta biết đến là những bảng do C. Ptolemy (thế kỷ thứ 2) biên soạn. Chúng được đặt trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Almogest” - tượng đài vĩ đại nhất của thiên văn học. Cơ sở của các bảng hàm lượng giác hiện đại là các bảng cơ bản do Reti-

công việc

$y = \Delta y_1 \Delta y_2 \dots \Delta y_n,$

đây $y_i = e^{\Delta x_i}$ .

Thang đo $DF$ trên thân xe và thang đo tương tự $CF$ trên động cơ là thang đo logarit thông thường, nhưng mỗi thang đo chỉ được chia tỷ lệ theo giá trị $x$ . Do đó, số $x$ trên thang đo $C$ tương ứng với số $x$ trên thang đo $CF$ .

Thang màu xám thứ hai $CI$ trên thanh trượt, giống như thang đo $R$ trên quy tắc trượt thông thường, là thang đo “đảo ngược”, được thiết kế để tính các giá trị $1/x$ , tức là các giá trị nghịch đảo của các số $x$ được vẽ trên thang đo $C$ .

Thang đo $CF$ được sử dụng để tính các giá trị của đại lượng $1/x$ . Ví dụ: để tính $q=1/πx$ với $x=2,6$ , hãy làm điều này. Ở mặt sau của thước, các nét ban đầu của động cơ được kết hợp với các nét ban đầu trên thân xe, và ở vị trí này của động cơ, thanh trượt được đặt để xem nét tương ứng với số đã cho $2,6$ trên thang đo $D$ và trên thang đo $CF$ , bằng cách sử dụng ánh nhìn, số $0,1224$ được đọc, là kết quả độc quyền, tức là $q=0,1224$ .

Ở mặt trước của thanh trượt có (ngoài chỉ báo chính của tấm che) hai nét màu ngắn. Chúng được vẽ sao cho khoảng cách giữa điểm nhìn chính và từng thước bên ngoài tương ứng với tỷ lệ $\pi/4 \approx 0,785$ trên thang đo $A$ . Sử dụng các sắc thái này, bạn có thể nhanh chóng tính toán, chẳng hạn như diện tích hình tròn.

Vì vậy, để tính diện tích hình tròn $S$ có đường kính $d=5$ m, đường chính (có thể sử dụng bất kỳ đường nào trong ba đường trên thanh trượt) được kết hợp với đường 5 trên thang chính $D$ ở mặt trước của thân thước và sử dụng đường ngắn bên trái (màu đỏ), giá trị của diện tích $S=19,63 \ m^2$ được đọc trên thang vuông $A$ .

Máy tính

Hàng trăm loại máy móc khác nhau hiện đã được tạo ra. Tuy nhiên, tất cả sự đa dạng của chúng có thể được chia thành hai nhóm: máy hoạt động liên tục và máy hoạt động rời rạc, hay còn gọi là “máy đếm”. Loại máy đầu tiên được đặc trưng bởi độ chính xác tương đối hạn chế của kết quả thu được; trong đó, các đại lượng toán học (đầu vào, trung gian và đầu ra) được mô tả dưới dạng các đại lượng vật lý cụ thể, các đặc tính định lượng của chúng tương ứng với các số được mô tả (ví dụ: độ dài của một đoạn được mô tả bằng lực căng, diện tích bằng chuyển vị, v.v.). Ví dụ đơn giản nhất về thiết bị tính toán liên tục là máy đo kế hoạch, với sự trợ giúp của nó, diện tích của các hình được tính toán trên bản vẽ *).

Trong các máy hành động rời rạc, về nguyên tắc cho phép thu được kết quả với độ chính xác không giới hạn, lời giải bài toán được giảm xuống thành việc thực hiện tuần tự các phép toán số học riêng lẻ. Trong những máy như vậy, tất cả các đại lượng toán học (ban đầu, trung gian và cuối cùng) được mô tả dưới dạng tập hợp số trong hệ thống số vị trí. Đây là cơ sở để gọi những thiết bị như vậy là máy hành động rời rạc. Chúng đi kèm với việc cài đặt thủ công và tự động dữ liệu ban đầu.

Các máy có cài đặt thủ công dữ liệu ban đầu được chia thành máy tính tổng dùng để cộng và trừ các số và máy tính nhỏ; loại thứ hai được chia thành số học cơ học (đòn bẩy “Felix”) và bàn phím “VK-1”, điện tử (máy tự động “BMM-2”) và máy tự động “BMP-2”), lời giải (“Vilhic”, “Vyatka”) và điện tử. Trong số này, hiện đại nhất là máy tính điện tử cổ điển (ECVM), cho phép thực hiện tự động không chỉ tất cả các phép tính số học mà còn

*) Xem bài viết của L. E. Sadovsky, A. L. Sadovsky “Cách đo diện tích”, «Kvant», 1973, số 10.

và rút ra nghiệm, tính các giá trị tự nhiên của hàm lượng giác và thực hiện một số thao tác khác.

Ngành công nghiệp trong nước sản xuất hàng loạt các loại máy tính: “Iskra”, “Điện tử”, “Gelati”, “Rasa”, máy điện tử mười phím “EDVM”.

“Iskra-110” cho phép bạn thực hiện (có tính đến dấu và dấu phẩy) bốn phép tính số học, cũng như các phép tính như $a^n + bp^n$ và các phép tính khác. Trên đó, mọi thao tác đều được thực hiện bằng số 8 bit; Vị trí của dấu thập phân trong số được đặt bằng cách chuyển đổi tương ứng. Trên máy tính Electronics-DD, bạn không chỉ có thể thực hiện bốn phép tính số học mà còn có thể thực hiện các phép tính với tỷ lệ phần trăm, trích căn bậc hai và thực hiện các phép tính kết hợp khác nhau. Để có được kết quả tính toán với một số vị trí thập phân chính xác nhất định, hãy sử dụng các phím vị trí thập phân “0”, “2”, “4” và “6” nằm trên bảng bàn phím ở bên trái của các phím số. Và sự hiện diện của khối bộ nhớ trong máy này cho phép bạn thực hiện các thao tác phức tạp

tính toán và bán tự động (không ghi kết quả trung gian và gõ lại số) trích xuất căn bậc hai bằng công thức lặp

$y_n = \left(\frac{x}{y_{n-1}} + y_{n-1}\right)/2,$

trong đó $x$ là biểu thức căn thức, $y_{n-1}$ là giá trị gần đúng của nghiệm. Trong trường hợp này, các phép lặp ở phần cuối của phép tính khi thu được các giá trị gần đúng liên tiếp trùng với số chữ số được yêu cầu.

Hình 5 thể hiện máy tính mười phím điện tử “EDVM”. Nó có thể tự động thực hiện các phép tính khác nhau với các số 16 bit, cũng như trích xuất bán tự động các nghiệm của lũy thừa $n$ , nâng các số lên lũy thừa $n$ và tính các giá trị tự nhiên của tiếp tuyến và cotang với 10 dấu đúng.

Gần đây, máy tính điện tử “Electronics-70” đã được sản xuất, nó cũng cho phép tính logarit thập phân và tự nhiên, hàm mũ, hàm lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo.

Lời khuyên dành cho người mới bắt đầu dạy kèm

(xem trang 24)

Cách làm việc với khách hàng

Nhiệm vụ quan trọng nhất là nhiệm vụ đầu tiên. Bạn cần phải ngay lập tức chiếm được sự tin tưởng vô điều kiện của người nộp đơn. Để làm được điều này, hãy tích trữ một số sách chuyên khảo được thiết kế dành riêng cho sinh viên sau đại học. Chọn ra một câu hỏi trong đó mà các nhà khoa học đã phải vật lộn không thành công trong 15 năm qua. Kết quả là, bạn sẽ cho người nộp đơn thấy rõ rằng nếu không có bạn

anh ấy không thể trông cậy vào điều gì để được giúp đỡ.

Gần đây, xu hướng rõ ràng của các bậc phụ huynh là tìm kiếm gia sư từ trường đại học mà con mình dự định theo học.

làm cho hạnh phúc. Gặp họ nửa chừng. Vô tình bỏ tên hiệu trưởng sẽ tạo ra hiệu ứng như mong muốn. Bạn có thể nhấn mạnh mối quan hệ thân thiết hơn với hiệu trưởng bằng cách lưu ý rằng ông ấy là một người rất tốt và thông minh.

Kỹ thuật đào tạo thêm cực kỳ đơn giản. Bài toán chỉ bao gồm việc nén tối đa các nhóm. Đoàn kết 10, 15 học sinh, không có giới hạn. Nhìn về phía trước, chúng tôi lưu ý rằng phương pháp này cũng có động cơ tài chính nhất định. Giả sử, nếu bạn đồng thời dạy không phải một mà là 13 học sinh, thì có thể dễ dàng tính được rằng thu nhập mỗi giờ của bạn tăng 13 lần!

(Tiếp theo trang 43)