Bài toán M311—M315; F323—F327

46

Bài toán

M311—M315; F323—F327

M311. Từ một vi khuẩn, người ta thu được 1000 vi khuẩn theo cách sau: đầu tiên, vi khuẩn được chia thành hai, sau đó một trong hai vi khuẩn thu được được chia thành hai, sau đó một trong ba vi khuẩn thu được được chia thành hai, v.v. Chứng minh rằng tại một số thời điểm tồn tại một loại vi khuẩn như vậy, số dòng vi khuẩn trong số 1000 vi khuẩn thu được cuối cùng là từ 334 đến 667.

D. Yu. Grigoriev

M312. Hình bình hành $P_1$ chứa hình bình hành $P_2$, hình bình hành này chứa hình bình hành $P_3$, có các cạnh $P_3$ song song với các cạnh $P_1$. Chứng minh rằng mặc dù một cạnh của hình bình hành $P_3$ không nhỏ hơn một nửa độ dài cạnh $P_1$ song song với nó.

A. A. Grigoryan

M313. Cho một góc có đỉnh $O$. Xét tập hợp bốn đỉnh $M$ của hình bình hành ONML, các đỉnh $N$ và $L$ nằm trên các cạnh của một góc cho trước và diện tích bằng giá trị không đổi $k$. (Tập hợp này được gọi là zigerbola.) Chứng minh rằng trên bissertrix của góc này và trên phần mở rộng của nó cũng có các điểm $F_1$ và $F_2$ (trong đó $|F_10| = |0F_2|$) mà hiệu khoảng cách $|F_1M| - |F_2M|$ không phụ thuộc vào điểm $M$.

I. N. Bronstein

M314. Trong số tất cả các số có 9 chữ số có ký hiệu thập phân không có chữ số 0, hãy tìm một số có hiệu giữa chính số đó và tích các chữ số của nó là:
a) nhỏ nhất;
b) hầu hết.

đáp số sẽ là bao nhiêu đối với các số có $n$ chữ số đối với bất kỳ $n$ nào?

A. G. Leiderman

M315. Một mũi tên được đặt trên mỗi cạnh của khối đa diện lồi sao cho có ít nhất một mũi tên đi vào và rời khỏi mỗi đỉnh của khối đa diện đó. Chứng minh

47

Hình 1.

Hình 2.

đó là có ít nhất hai mặt của khối đa diện, mỗi mặt có thể đi vòng quanh chu vi bằng cách di chuyển theo hướng của các mũi tên ở hai bên của nó.

A. M. Zubkov

F323. Một ống mao dẫn hình chữ U có chiều dài khuỷu $l = 10\ см$ và đường kính $d_1 = 0{,}1\ мм$ và $d_2 = 0{,}2\ мм$ được hạ thẳng đứng, hai đầu hở vào trong nước và nhúng sao cho mực nước ở khuỷu hẹp ngang bằng với mực nước trong bình. Tìm vị trí mực nước ở khuỷu tay rộng. Bỏ qua thể tích của ống nằm ngang. Áp suất khí quyển là bình thường. Hệ số căng bề mặt của nước $\sigma = 70\ дн/см$.

B. B. Bukhovtsev

F324. Một dải có chiều rộng $h = 5\ мм$ được cắt ra từ một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f = 50\ см$ và đường kính $d = 5\ см$, và các phần còn lại được di chuyển sát vào nhau. Ở khoảng cách $l = 75\ см$ tính từ thấu kính có một nguồn sáng điểm $S$. Ở khoảng cách tối đa bao nhiêu từ thấu kính có thể quan sát được vân giao thoa?

L. P. Bakanina

F325. Tần số dao động điều hòa nhỏ của một quả bóng nặng trên một nan nhẹ cố định trên tường (Hình 1, $a$) bằng $\nu_1$ và tần số dao động

Giá trị của quả bóng này trên một lò xo gắn trên trần nhà (Hình 1, $б$) bằng $\nu_2$. Tần số dao động của quả cầu trên cùng một lò xo gắn vào nan hoa (Hình 1, $в$) sẽ là bao nhiêu?

Tôi. Sh. Slobodetsky

F326. Một thùng chứa có nắp đậy được đổ đầy chất lỏng lên trên, chứa hai bong bóng. Áp suất trong chất lỏng sẽ thay đổi như thế nào nếu bong bóng hợp nhất? Áp suất ban đầu trong chất lỏng là $p_0$, hệ số căng bề mặt là $\sigma$, bán kính của mỗi bong bóng là $r_0$. Xét quá trình đẳng nhiệt.

R. L. Enfiajyan

F327. Xác định số chỉ của ampe kế điện động $A_1$ và ampe kế điện từ $A_2$ (Hình 2), bỏ qua điện trở trong của chúng, nếu biết rằng điện áp $u = u_1 + u_2 \sin \omega t$ được đặt vào các cực $A - B$ và $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Bỏ qua điện dung giữa các cực của thiết bị; sự rung động của kim dụng cụ là vô hình.

V. A. Pogozhev

47