Bài toán M346—M350; F358—F362

38

Bài toán

M346 — M350; F358 — F362

M346. Điểm K là trung điểm cạnh AB của hình vuông ABCD, điểm L chia đường chéo AC theo tỷ lệ 3:1 (Hình 1). Chứng minh góc KLD là góc vuông.

Yu. G. Bodamurov (học sinh lớp 10, Kumaisi)

M347. Hai người chơi trò chơi này. Người đầu tiên đoán hai số từ 1 đến 25, người thứ hai phải đoán chúng. Anh ta có thể đặt tên cho hai số bất kỳ từ 1 đến 25 và tìm ra ngay từ số đầu tiên có bao nhiêu số mà anh ta đặt tên - 0,1 hoặc 2 - trùng với những số bí ẩn. Trong số lượng câu hỏi tối thiểu anh ta có thể xác định chắc chắn các số ẩn?

A. A. Grizoryan

M348. Bảng 10x10 chứa các số theo thứ tự từ 1 đến 100. Khi đó ở mỗi hàng và mỗi cột có đúng một nửa số có dấu trừ. Chứng minh rằng trong bảng kết quả tổng của tất cả các số bằng 0.

S. M. Adeev

M349. Độ dài một cạnh của một tam giác phải thỏa mãn điều kiện nào để tam giác gồm a) đường cao, 6) đường trung tuyến, c) đường phân giác của một tam giác đã cho bằng tam giác đã cho?

A. P. Savin

M350*. Quân tượng bắt đầu di chuyển từ ô vuông góc màu trắng của bàn cờ có kích thước n×m (n và m lớn hơn 1). Khi đã đến mép bàn cờ, giám mục

39

Xoay vuông góc (Hình 2). Khi đến góc, anh dừng lại.

a) Để làm gì, $n$ và $m$ quân giám mục sẽ đi vòng quanh tất cả các ô vuông màu trắng trên bảng?

b) Anh ta sẽ đi quanh bảng bao nhiêu ô vuông $n \times m$?

Hãy xem các bảng có kích thước $10 \times 15, 10 \times 25, 15 \times 25$ làm ví dụ.

E. Vâng. Gik, A. V. Zhornitsky

F358. Một thanh không đồng nhất có chiều dài $l$ có thể tựa vào bức tường thẳng đứng, tạo thành một góc ít nhất $45^\circ$ với sàn. Hệ số ma sát của thanh trên sàn và trên tường là $\sqrt{3}$. Trọng tâm của thanh ở độ cao bao nhiêu?

F359. Trong một bình hình trụ đặt dưới pít-tông có hơi nước bão hòa ở nhiệt độ $t = 20^\circ\text{C}$. Trong quá trình chuyển động chậm đẳng nhiệt của piston vào trong xi lanh, một lượng nhiệt $Q = 20$ kcal đã được tỏa ra. Ngoại lực tác dụng lên piston đã thực hiện công bằng bao nhiêu?

Cơm. 3.

F360. Để đo gia tốc, người ta sử dụng một ống cong chứa đầy nước chứa bọt khí (Hình 3). Ống được uốn thành hình vòng cung. Vị trí của bong bóng liên quan thế nào đến gia tốc của ống?

F361. Một dây dẫn thẳng có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ được treo trên hai lò xo có độ cứng $k$ trong một từ trường đều nằm ngang có chỉ thị $B$ (Hình 4). Khi phím $K$ được đóng, tụ điện $C$, được tích điện đến hiệu điện thế $U$, được đóng vào dây dẫn và phóng điện. Trong trường hợp này, sự rung động của dây dẫn xảy ra. Xác định biên độ của các dao động này nếu thời gian phóng điện của tụ điện nhỏ hơn nhiều so với chu kỳ dao động của dây dẫn.

F362. Một tụ điện lớp bao gồm ba tấm kim loại song song có diện tích $S$. Khoảng trống giữa các tấm được lấp đầy bằng các chất điện môi có hằng số điện môi $\varepsilon_1$ và $\varepsilon_2$ và điện trở suất $\rho_1$ và $\rho_2$. Độ dày của lớp điện môi là $d_1$ và $d_2$. Tụ điện có điện áp không đổi $U$. Xác định điện tích của tấm giữa khi dòng điện ổn định trong mạch.