Công cụ phái sinh là gì

10

1. Bí mật về quỹ đạo hành tinh

Các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại chỉ có thể giải được động học bài toán yếu - họ có thể tính toán chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động quay đều quanh một trục. Nhưng không thể mô tả chuyển động của các hành tinh bằng phương pháp cột.

Các hành tinh di chuyển dọc theo những đường cong phức tạp nhất, đôi khi di chuyển nhanh về phía trước và đôi khi chuyển động chậm lại và thậm chí quay trở lại. Để làm sáng tỏ mọi thứ, nhà thiên văn học người Alexandrian Ptolemy, sống ở thế kỷ thứ 3. BC e., đã nghĩ ra một hệ thống vòng tròn rất phức tạp; tâm của các vòng tròn nhỏ của đồng phục quay xung quanh các vòng tròn lớn hơn và các hành tinh của đồng phục quay quanh các vòng tròn nhỏ. Nhưng hệ thống của Ptolemy không phù hợp với các quan sát và nó luôn phức tạp. Chỉ đến thế kỷ 17, nhà khoa học người Đức Jurann Kepler mới có thể xây dựng được các định luật chuyển động của hành tinh trên cơ sở hệ thống gel trung tâm của thế giới do nhà thiên văn học vĩ đại người Ba Lan Nicolaus Copernicus tạo ra.

Hóa ra các hành tinh không chuyển động theo hình tròn mà theo hình elip và không đều. Kepler không thể giải thích tại sao lại như vậy - vào thời điểm đó cả các định luật cơ học tổng quát cũng như các phương pháp toán học đều chưa được biết đến để có thể nghiên cứu chuyển động cong và chuyển động không đều.

Chỉ đến cuối thế kỷ 17, Isaac Newton mới phát hiện ra các định luật động lực học, xây dựng định luật vạn vật hấp dẫn và phát triển các phương pháp toán học cho phép tính chất từ ​​không đồng nhất đến đồng nhất, không đồng nhất đến đồng nhất, đường cong đến thẳng. Nó dựa trên một ý tưởng đơn giản - chuyển động của bất kỳ vật thể nào trong một khoảng thời gian ngắn có thể được coi là chuyển động thẳng và đều.

Các phương pháp do Newot phát triển để giải quyết sự xuất hiện của một định luật chuyển động nhất định của một vật, tìm tốc độ và gia tốc của nó tại bất kỳ thời điểm nào, đồng thời giải nghịch đảo bài toán - với gia tốc đã cho, trước tiên hãy tìm tốc độ và sau đó là định luật chuyển động của vật. Và nếu chúng ta nhớ rằng, theo định luật thứ hai của Ubior, gia tốc của một vật có khối lượng không đổi tỷ lệ với lực tác dụng lên nó, thì sẽ thấy rõ rằng các phương pháp mới đã thiết lập mối liên hệ giữa chuyển động của vật và các lực tác dụng lên nó, tức là chúng đã giải được bài toán cơ bản của cơ học.

Cùng lúc với Newoth, nhà triết học và toán học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz đã nghiên cứu cách vẽ các tiếp tuyến bất kỳ.

quanh co. Ông cũng phát triển một phép tính mới, về cơ bản nó giống hệt với phép tính do Newton xây dựng. Ký hiệu do Leibniz đưa ra hóa ra lại thành công đến mức nó vẫn được bảo tồn cho đến ngày nay.

Toán học mới của Newton và Leibniz bao gồm hai phần lớn - phép tính vi phân và tích phân. Phần đầu tiên trong số họ nói về cách, bằng cách nghiên cứu một phần nhỏ của hiện tượng, để giảm sự không đồng đều thành đồng nhất, và phần thứ hai, cách tạo ra một hiện tượng không đồng đều phức tạp từ các phần đồng nhất nhỏ.

Các chuyên khảo nhiều tập được dành cho phép tính vi phân và tích phân cũng như sự phát triển tiếp theo của chúng (phép tính biến phân, phương trình vi phân, lý thuyết hàm biến phức, v.v.). Trong bài viết này chúng ta sẽ chỉ nói về các khái niệm cơ bản của phép tính vi phân - đạo hàm và vi phân.

2. Tính chất “tuyến tính nhỏ”

Ba đường thẳng trong Hình 1 là các phần của cùng một parabol $y = x^2$, được vẽ ở các tỷ lệ khác nhau. Hình a được làm ở tỷ lệ nhỏ, hình b ở tỷ lệ lớn hơn, hình c thậm chí còn lớn hơn.

cô ấy. Trong tất cả các hình, cùng một điểm $M\,(1;\,1)$ của parabol được lấy để có thể nghiên cứu hành vi của đường cong trong vùng lân cận điểm này.

Trong Hình 1, a có thể thấy rõ rằng parabol bị cong. Trong Hình 1, b độ cong này ít được chú ý hơn, nhưng trong Hình 1, c nó thực tế không có - đồ thị của hàm $y = x^2$, được vẽ trên tỷ lệ lớn, hầu như không thể phân biệt được bằng mắt với một đường thẳng. Chúng ta chọn tỷ lệ càng lớn thì đồ thị của hàm $y = x^2$ sẽ càng ít khác với một đường thẳng nào đó đi qua điểm $M\,(1;\,1)$. Điều tương tự cũng sẽ xảy ra nếu chúng ta bắt đầu xây dựng đồ thị của hàm $y = x^2$ trong vùng lân cận của bất kỳ điểm nào khác trên tỷ lệ ngày càng tăng.

Một parabol không chỉ “giống” một đường thẳng gần bất kỳ điểm nào của nó, mà tính chất này còn có chung với một đường tròn, một hyperbol, một hình sin, v.v. Nó có thể được gọi là tính chất tuyến tính trong số nhỏ (thuật ngữ này được giải thích bởi thực tế rằng đường thẳng là đồ thị của hàm tuyến tính $y = kx + b$). Nhưng ngôn ngữ hình học dùng để biểu diễn tính chất này còn mơ hồ. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng diễn đạt nó bằng một ngôn ngữ công thức khá khô khan nhưng chính xác.

3. Tăng chức năng

Hình 2 thể hiện một hình vuông có độ dài cạnh $a$; diện tích $y$ như vậy

Cơm. 1. a) b) c)

11

12

hình vuông bằng $a^2$. Nếu chiều dài cạnh hình vuông tăng $p$ thì diện tích sẽ tăng - bằng diện tích của hình được tô màu ở Hình 2. Diện tích này được gọi là diện tích tăng của hình vuông. Nó bằng $(a+p)^2-a^2$, tức là $2ap+p^2$.

Chúng ta hãy đặt $p=\Delta x$ (đọc “delma x”) và biểu thị mức tăng trong diện tích hình vuông bằng $\Delta y$. chúng tôi nhận được

$$\Delta y=2a \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$ (1)

Tương tự như vậy, bạn có thể định nghĩa khái niệm mức tăng cho bất kỳ hàm $y=f(x)$ nào: để tính mức tăng của hàm khi di chuyển từ điểm $a$ đến điểm $a+\Delta x$, bạn cần:

a) tìm giá trị $f(a)$ của hàm số tại điểm $a$;
b) tìm giá trị $f(a+\Delta x)$ của hàm số tại điểm $a+\Delta x$;
b) trừ giá trị thứ nhất khỏi giá trị thứ hai.

Nói cách khác, mức tăng của hàm khi di chuyển từ điểm $a$ đến điểm $a+\Delta x$ bằng $\Delta y=f(a+\Delta x)$—$f(a)$.

Ví dụ: mức tăng của hàm $y=x^3$ khi di chuyển từ điểm $a$ đến điểm $a+\Delta x$ sẽ là

$$\Delta y=(a+\Delta x)^3-a^3= =3a^2 \cdot \Delta x+3a \cdot (\Delta x)^2+(\Delta x)^3.$$ (2)

Cơm. 2.

Các từ “tăng đối số” và “tăng hàm” là lừa đảo: có vẻ như cả đối số và hàm đều tăng lên. Trên thực tế, cả $\Delta x$ và $\Delta y$ đều có thể là số âm. Có lẽ sẽ tốt hơn nếu nói “thay đổi” cùng với “tăng dần”, nhưng chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ truyền thống.

4. Hàm khả vi

Bây giờ chúng ta có thể giải thích chính xác hơn lý do tại sao đồ thị của hàm $y=x^2$ “làm thẳng” khi chúng ta tăng tỷ lệ. Vì tất cả các hình $1, a-\beta$ đều có cùng kích thước nên khi tỷ lệ tăng lên, các phần của đường cong ngày càng nhỏ hơn sẽ xuất hiện trên chúng. Điều này có nghĩa là chúng tôi xem xét hàm của mình với các giá trị ngày càng nhỏ hơn của $\Delta x$. Do đó, việc “làm thẳng” đồ thị của hàm có liên quan đến hành vi đặc biệt của mức tăng của hàm này khi mức tăng của đối số giảm.

Để hiểu điều này, chúng ta hãy biểu thị mức tăng của hàm $y=x^2$ tại điểm $M(1; 1)$ theo mức tăng của đối số. Chúng tôi sẽ nhận được:

$$\Delta y=(1+\Delta x)^2-1=2 \cdot \Delta x+(\Delta x)^2.$$

Chúng ta thấy rằng phần tăng của hàm bao gồm hai số hạng: $2 \cdot \Delta x$ và $(\Delta x)^2$. Cái đầu tiên trong số chúng tỷ lệ thuận với $\Delta x$ và cái thứ hai có đặc điểm sau: nếu $\Delta x \rightarrow 0$, thì nó có xu hướng về thành phố 0 nhanh hơn $\Delta x$. Ví dụ: nếu $\Delta x=0,1$ thì $(\Delta x)^2=0,01$; nếu $\Delta x=0,001$ thì $(\Delta x)^2=0,000001$, v.v. Do đó, $\Delta y$ đối với $\Delta x$ nhỏ gần như bằng $2 \cdot \Delta x$. Vì $\Delta y=y-1$, $\Delta x=x-1$, thì $y-1 \approx 2(x-1)$, tức là $y \approx 2x-1$. Nhưng $y=2x-1$ là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc bằng 2. Điều này có nghĩa là vùng lân cận của điểm $M(1; 1)$ mà chúng ta lấy càng nhỏ thì trong vùng lân cận này parabol càng liền kề với đường $y=2x-1$. Parabol $y=x^2$ được cho là tiếp tuyến với đường thẳng $y=2x-1$ tại điểm $M(1; 1)$.

Vì vậy, việc “làm thẳng” đồ thị của hàm số $y=x^2$ với khối lượng tăng dần

13

trụ sở chính hóa ra có liên quan đến khả năng phân tách phần tăng của hàm thành hai phần tử, một trong số đó tỷ lệ thuận với phần tăng của đối số và phần thứ hai, đối với các giá trị nhỏ của Δx, không đáng kể so với Δx. Nhưng chữ “nhỏ không đáng kể” vẫn cần phải dạy.

Chúng ta sẽ nói rằng giá trị β là không đáng kể so với Δx vì Δx tiến tới 0, nếu tỷ lệ của nó với Δx tiến tới 0: β=α·Δx, trong đó limα=0.

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng định nghĩa cơ bản.

Về giới hạn 1. Hàm số y=f(x) được gọi là khả vi tại điểm a nếu gia số của nó tại điểm này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, số hạng đầu tiên tỉ lệ với số tăng Δx của đối số, và số hạng thứ hai không đáng kể so với Δx. Nói cách khác,

$$\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x,$$

(3)

trong đó A là một số và α tiến tới 0 khi Δx tiến tới 0.

Hãy xem xét sự gia tăng của hàm y=x³ tại điểm x=a. Từ đẳng thức (2) ta thu được Δy = 3a²·Δx + [3aΔx + (Δx)²] Δx. Số hạng 3a²·Δx tỷ lệ với Δx, và số hạng thứ hai [3a·Δx + (Δx)²] Δx là tích của Δx và hệ số 3a·Δx + (Δx)², có xu hướng bằng 0 khi Δx tiến về 0. Điều này có nghĩa là hàm y=x³ khả vi và với nó A=3a².

Hệ số A trong đẳng thức (3) phụ thuộc vào điểm mà chúng ta tính toán nó. Ví dụ: đối với hàm y=x³ tại điểm a=1 chúng ta có A=3 và tại điểm a=2 chúng ta có A=12. Nếu chúng ta coi giá trị của đối số mà hệ số A được tính là biến, thì sẽ thuận tiện khi ký hiệu nó bằng chữ x. Khi x thay đổi, hệ số A là hàm của x. Hàm này được gọi là tích của hàm y=f(x) và được ký hiệu:

$$f'(x), \text{ или } y'$$ (đọc “hiệu quả x”, “erekitimix”).

Số hạng A·Δx, nghĩa là f’(x)·Δx được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) và được ký hiệu là dy. Do đó, dy=f’(x)Δx. Nói chung, Δx được ký hiệu là dx và được viết dy=f’(x)dx.

Từ Định nghĩa 1, theo đó, đối với các giá trị của Δx gần bằng 0, mức tăng theo vi phân của hàm Δy gần như tỷ lệ thuận với mức tăng của đối số. Chính xác hơn, đối với hàm Δy=(A+α)Δx như vậy, trong đó số hạng α, đặc trưng cho độ lệch so với tỷ lệ “chính xác”, có xu hướng bằng 0 khi Δx có xu hướng bằng 0. Sự “gần như tỷ lệ” này của mức tăng của hàm với mức tăng của đối số làm cơ sở cho việc “làm thẳng” biểu đồ khi tỷ lệ hình ảnh được tăng lên.

Người ta không nên nghĩ rằng tất cả các hàm đều khả vi tại bất kỳ điểm nào. Hãy phân biệt, nói một cách trực quan, hãy kiểm tra đồ thị của hàm số lân cận một điểm trên đường thẳng. Nếu đồ thị của một hàm số bị đứt ở một điểm nào đó, thậm chí còn có điểm gián đoạn, thì hàm số đó sẽ không khả vi tại điểm đó. Ví dụ: hàm y=|x| không khả vi tại điểm O (0; 0) (Hình 3).

Trực giác cho thấy rằng những điểm mà tại đó hàm số y=f(x) không khả vi thì không thể nằm quá dày đặc - đường cong không thể có một

14

phế liệu ở mọi điểm! Trong nhiều sách giáo khoa toán học thế kỷ 19, phát biểu này được hình thành theo cách này. Thật là một nghiên cứu đối với các nhà khoa học khi vào nửa sau thế kỷ 19, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đã công bố một ví dụ về các hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi ở bất kỳ đâu! Đồ thị của hàm này có điểm ngắt tại mỗi điểm của nó. Sau đó, họ phát hiện ra rằng vài năm trước Weierstrass, một hàm số có cùng tính chất đã được xây dựng bởi nhà toán học người Séc, Bernard Bolzano; Tác phẩm này của Bolzano chỉ được xuất bản nhiều năm sau khi ông qua đời.

5. phái sinh

Chúng ta hãy quay trở lại việc xem xét các hàm khả vi - những hàm “tốt” được học ở trường trung học và những hàm thường thấy nhất trong các ứng dụng toán học, thường là khả vi. Đối với các hàm này, từ đẳng thức chính (3), chúng ta thu được $\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \alpha$. Nếu bây giờ chúng ta hướng $\Delta x$ về 0, thì trong đẳng thức (3) $\alpha \rightarrow 0$, từ đó

$$A \equiv f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Ký hiệu $\frac{dy}{dx}$ đôi khi được dùng để biểu thị đạo hàm. Ký hiệu này lưu giữ bộ nhớ của tỷ lệ tăng $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, từ đó đạo hàm thu được bằng cách chuyển đến giới hạn.

Hoạt động tìm đạo hàm của một hàm số cho trước được gọi là vi phân.

Trong sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của việc giải tích” cho lớp 9, được xuất bản dưới sự biên tập của Viện sĩ A. N. Kolmogorov năm 1975, người đọc sẽ tìm thấy tuyển tập các công thức và quy tắc vi phân cho phép lựa chọn tùy ý bất kỳ hàm hữu tỉ phân số nào. Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra cách lấy công thức vi phân số mũ và hàm ba. Để làm điều này, trước tiên chúng ta hãy tập trung vào ý nghĩa hình học của đạo hàm.

6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Chúng ta đã thấy rằng trong một lân cận nhỏ của điểm mà tại đó hàm số vi phân, đồ thị của nó gần như không thể phân biệt được với một đường thẳng nào đó. Đường thẳng này được gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước. Đối với các điểm trên dòng này, đẳng thức $\Delta y = A \cdot \Delta x$ không còn gần đúng mà chính xác. Vì $\Delta y = y - b$, $\Delta x = x - a$, nên đẳng thức $y - b = A(x - a)$ đúng cho tất cả các điểm tiếp tuyến. Điều này có nghĩa là độ dốc của tiếp tuyến là $A$. Nhưng $A = f'(a)$, do đó, giá trị của đạo hàm tại một điểm cho trước bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm này. Đây là ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Hãy quay lại phương trình tiếp tuyến: $y - b = A(x - a)$. Vì $A = f'(a)$ và $b = f(a)$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đạo hàm tại điểm $(a, b)$ có thể viết dưới dạng sau:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a).$$

Ví dụ: phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm $x = 3$ là $y = 6x - 9$ (kiểm tra phần này).

7. Số mũ đạo hàm của hàm số

Khi viết các định luật vật lý liên quan đến hàm số mũ, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một số đặc biệt - số $e$. Con số này có thể được xác định như sau.

Chúng ta hãy vẽ đồ thị của các hàm $y = 2^x$, $y = 3^x$, $y = 5^x$ trong hệ tọa độ đường thẳng Descartes (Hình 4). Ta thấy đáy càng lớn thì góc với trục $Oy$ càng nhỏ

15

ke $M(0;1)$ tạo thành đồ thị của hàm số (góc giữa đường cong $y=f(x)$ và trục $Oy$ là góc giữa tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $M(0;f(0))$ và trục $Oy$). Góc giữa trục $Oy$ và đồ thị của hàm $y=2^x$ là khoảng $55^\circ$, và góc giữa trục $Oy$ và đồ thị của hàm $y=3^x$ là khoảng $42^\circ$. Hóa ra giữa số 2 và số 3 có một số sao cho đồ thị của hàm số mũ, cơ số là số này, cắt trục $Oy$ một góc $45^\circ$. Con số này được ký hiệu bằng chữ cái $e$. Thật phi lý, các tính toán cho thấy $e=2,7182818284590$…

Theo định nghĩa, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)=e^x$ tại điểm $M(0;1)$ tạo thành một góc $45^\circ$ với trục $Oy$, và do đó với trục $Ox$. Do đó, đối với hàm $f(x)=e^x$ chúng ta có $f'(0)=\text{tg}45^\circ=1$. Bây giờ chúng ta hãy xem xét hàm $g(x)=e^{x-a}$. Đồ thị của hàm này được lấy từ đồ thị của hàm $e^x$ với sự dịch chuyển $|a|$ sang phải, nếu $a>0$ và sang trái, nếu $a<0$ (Hình 5). Trong quá trình dịch chuyển, tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm $y=e^x$ tại điểm $M(0;1)$ sẽ biến thành tiếp tuyến được vẽ với đường cong đã dịch chuyển tại điểm có hoành độ là $a$. Kể từ đây,

8. Đạo hàm là tốc độ!

Vào nửa sau thế kỷ 19, khóa học vật lý toán học tại Đại học Cambridge được giảng dạy bởi nhà khoa học nổi tiếng William Thomson, người sau này nhận được danh hiệu Lord Kelvin vì thành tích khoa học của ông (tủ Kelvin được đặt tên một phần để vinh danh ông), và khóa học “toán học thuần túy” do Giáo sư Todgenter giảng dạy. Tuy nhiên, khi bước vào lớp học, Thomson hỏi học sinh một câu hỏi: $\frac{dx}{dt}$ là gì? Trong đáp số, anh ấy đã nhận được tất cả các định nghĩa logic nghiêm ngặt về mặt tinh thần. Tất cả họ đều trả lời: “À, bỏ cái Todgenter này đi, $\frac{dx}{dt}$ là tốc độ!”

Đến đây người đọc có thể ngạc nhiên - đạo hàm vừa xuất hiện

là độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm và bây giờ nó được khai báo là tốc độ. Tuy nhiên, cả đáp số cho câu hỏi: “đạo hàm là gì?” đều đúng, chỉ lần đầu tiên giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm và lần thứ hai - ý nghĩa vật lý của nó. Để làm rõ hơn mối quan hệ của đạo hàm với tốc độ chuyển động, hãy xem xét một điểm chuyển động theo đường thẳng.

Hãy chọn gốc tọa độ, đơn vị đo và hướng của đường thẳng này. Khi đó vị trí của điểm trên đường thẳng sẽ được xác định bởi tọa độ của nó $x = f(t)$ (định luật chuyển động của điểm). Tốc độ chuyển động trung bình trong một khoảng thời gian trong vật lý thường được gọi là giá trị bằng tỷ số giữa chuyển động của một điểm và khoảng thời gian mà chuyển động xảy ra. Chuyển động không phải là quãng đường di chuyển mà là sự thay đổi (gia tăng) tọa độ của một điểm chuyển động. Giả sử, nếu một điểm trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ đi từ $A$ đến $B$ và quay trở lại $A$, thì độ dịch chuyển bằng 0 và tốc độ trung bình là $v_{\mathrm{cp}} = 0$. Nói chung chúng ta có $v_{\mathrm{cp}} = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, hoặc

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}.$$

Nếu chúng ta đặt $t_1 = t$, $t_2 = t + \Delta t$ thì tốc độ trung bình trong khoảng $[t,\ t + \Delta t]$ sẽ bằng

$$v_{\mathrm{cp}} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Tốc độ tức thời tại thời điểm $t$ là giới hạn tốc độ chuyển động trung bình trong khoảng thời gian $[t,\ t + \Delta t]$, khi $\Delta t \to 0$. Có nghĩa,

$$v_{\mathrm{мгн}} = \lim_{\Delta t \to 0} v_{\mathrm{cp}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Nhưng $\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ là đạo hàm của tọa độ $x$ theo thời gian $t$. Điều này có nghĩa là trị số của tốc độ tức thời

16

của một điểm chuyển động thẳng thực ra lại bằng đạo hàm của độ dời theo thời gian.

9. Tốc độ đường cong

Để nghiên cứu chuyển động của đạn đại bác và các hành tinh, các bộ phận của cơ chế và máy móc, phương pháp nêu trên là chưa đủ - xét cho cùng, tất cả những vật thể này đều chuyển động theo những đường cong và chúng ta chỉ có thể đối phó với chuyển động thẳng. Nhưng bằng cách thiết kế vị trí của một điểm chuyển động trên trục tọa độ, có thể giảm chuyển động cong thành hai chuyển động thẳng. Hơn nữa, nếu quỹ đạo của chuyển động là phẳng thì định luật chuyển động được cho bởi hai hàm cho các giá trị tọa độ của điểm tại thời điểm $t: x = x(t)$, $y = y(t)$. Tuy nhiên, bạn có thể lấy một hàm, nhưng nó không nhận các giá trị số mà là các giá trị vectơ. Để thực hiện việc này, hãy vẽ một đoạn có hướng từ gốc $O$ đến điểm chuyển động $M$ và biểu thị $\overrightarrow{OM}$ bằng $\vec{r}(t)$. Từ Hình 6, rõ ràng việc khai triển vectơ $\vec{r}(t)$ thành vectơ đơn vị $\vec{i}$ và $\vec{j}$ có dạng

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j}.$$

Tốc độ tức thời của điểm $M$ được xác định theo cách tương tự như trong trường hợp chuyển động thẳng: lấy

Cơm. 6

17

khoảng thời gian $[t, t + \Delta t]$, khoảng cách mà điểm $M$ di chuyển trong khoảng thời gian này, chia cho $\Delta t$ và hướng $\Delta t$ về 0. Điểm khác biệt duy nhất là chuyển động của điểm $M$ được biểu thị không phải bằng số $\Delta x$ mà bằng một vectơ đi từ vị trí của điểm $M$ tại thời điểm $t$ đến vị trí của nó tại thời điểm $t + \Delta t$ (Hình 7). Vectơ này biểu thị $\Delta r$ và nó bằng $\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)$, tức là $\Delta xi + \Delta yj$. Khi chia cho $\Delta t$, chúng ta thu được một vectơ song song với vectơ $\Delta r$, nhưng có độ dài khác nhau. Nó hiển thị tốc độ trung bình của một điểm trong một khoảng thời gian $[t, t + \Delta t]$, $\vec{v}_{cp} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$.

Nếu chúng ta hướng $\Delta t$ về 0, thì vectơ kết quả $\vec{v}_{cp}$ sẽ quay quanh điểm $M$ và trong giới hạn nó sẽ hướng tiếp tuyến theo hướng chuyển động của điểm. Vectơ $\lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp}$ ký hiệu $\vec{v}_{mfr}$ và được gọi là vectơ tỷ giá hối đoái tại thời điểm $t$. Như vậy,

$$\vec{v}_{mfr} = \lim_{\Delta t \to 0} \vec{v}_{cp} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{dr}{dt}.$$

Nói cách khác, vectơ trao đổi

Cơm. 7.

skorisi là đạo hàm của hàm vectơ $\vec{r}(t)$. Ngoài ra, nó có thể được viết như thế này:

$$\vec{v}_{mfr} = x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}.$$

Vì vectơ $\vec{v}_{mfr}$ có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm nên tỷ số $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ bằng hệ số góc của tiếp tuyến này: $k_{kac} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$.

Độ dài của vectơ $\vec{v}_{mfr}$ có ý nghĩa rõ ràng. Nó biểu thị tốc độ chuyển động tuyến tính của một điểm tại thời điểm $t$. Nói cách khác, nếu biểu thị độ dài của các quỹ đạo khác được bao phủ trong khoảng thời gian $[t, t + \Delta t]$, đến $\Delta l$, thì

$$|\vec{v}_{mfr}| = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta t} = \frac{dl}{dt}.$$

Không, theo định lý Pythagore, độ dài của vectơ $x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}$ bằng $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$. Có nghĩa,

$$\frac{dl}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2},$$

đó là

$$dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}.$$

Công thức (4) là cơ sở để tính chiều dài của các đường cong khác nhau. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để tìm chiều dài của một cyclode (một đường cong thu được bằng cách lăn một vòng tròn theo một đường thẳng), một đường cong không đều (một đường cong thu được bằng cách làm mờ một sợi chỉ quấn quanh một vòng tròn), v.v.

10. Hàm lượng giác đạo hàm

Chúng ta hãy chỉ ra cách, bằng cách sử dụng các cân nhắc vật lý, người ta có thể tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác. Cho một điểm chuyển động dọc theo một đường tròn có bán kính đơn vị với vận tốc góc đơn vị và tại thời điểm ban đầu