Paraboloid tuyệt vời này

24

Bài báo của V. G. Boltyansky (xem trang 19) nói về tính chất quang học của các đường conic, đặc biệt là các parabol. Định nghĩa “vật lý” về tính chất quang học của một parabol có thể được phát biểu như sau: một tia sáng tới trên một parabol song song với trục đối xứng của nó, sau khi phản xạ, đi qua tiêu điểm của parabol. Từ tính chất tương hỗ của các tia sáng, ta suy ra rằng một tia tới từ tiêu điểm của một parabol, sau khi phản xạ từ nó, sẽ trở thành parapel đối với trục đối xứng của nó.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về một số đặc điểm “vật lý” của sự phản xạ ánh sáng từ một parabol - một bề mặt được hình thành do sự quay của một parabol quanh trục đối xứng.

Gương parabol là một parabol có bề mặt bên trong phản chiếu rõ ràng ánh sáng chiếu vào nó. Nếu ánh sáng chiếu vào một gương như vậy song song với trục đối xứng của parabol, thì sau khi phản xạ, tất cả các tia sẽ đi qua tiêu điểm của nó, như thể tập trung vào đó. Và ngược lại, các tia từ một nguồn chính xác nằm ở tiêu điểm, phản xạ từ bề mặt của parabol, hiện ra dưới dạng tia parapel.

Điều quan trọng cần lưu ý là mỗi hiệu ứng được đề cập là kết quả của chỉ một sự phản xạ của các tia từ bề mặt của parabol. Nhưng nếu bạn làm một gương parabol đủ sâu thì hầu hết các tia đi vào nó sẽ trải qua hai phản xạ (Hình 1). Sau lần phản xạ đầu tiên, mỗi tia đi qua tiêu điểm lại bị phản xạ từ phía “đối diện” của gương. Nói cách khác, tiêu điểm sẽ giống như một nguồn sáng điểm độc lập *). Nhưng các tia từ

*) Trên thực tế, định nghĩa “chính xác” đối với nguồn như vậy chỉ phù hợp một phần - theo nghĩa kích thước nhỏ. Chúng ta sẽ nói thêm về nguồn này khác với nguồn chính xác như thế nào.

Cơm. 1.

Cơm. 2. a) Hình ảnh phân bố cường độ trong mặt cắt ngang của chùm tia ló ra. b) Đồ thị thay đổi cường độ theo khoảng cách tới trục chùm tia.

những điều trong Hình 2. Nó minh họa kết quả của thí nghiệm đơn giản sau đây. Một tấm ảnh được lắp đặt trên trục đối xứng của gương vuông góc với nó. Bề mặt nhạy cảm với ánh sáng của nó hướng vào “bên trong” hình paraboloid. Gương được chiếu sáng bởi một chùm ánh sáng song song với trục đối xứng và sự phân bố năng lượng trong tiết diện của chùm tia tới là đồng đều, nghĩa là thông qua một đơn vị diện tích vuông góc với chùm tia truyền, cùng một lượng năng lượng truyền đến bất kỳ nơi nào trong cùng một thời điểm. Điều này có nghĩa là ánh sáng tới sẽ chiếu sáng tấm ảnh một cách đồng đều. Nhưng đối với cảm quang

Bề mặt của tấm bị tia phản xạ chiếu vào. Và tấm này được chiếu sáng như trong Hình 2.

Trước tiên chúng ta hãy giải thích thực tế này bằng cách sử dụng những cân nhắc trực quan. Gọi $OZ$ là trục đối xứng, $r'$, $r''$ khoảng cách từ trục đến điểm tới và tia tới tương ứng (Hình 3). Chùm tia càng rơi xa trục $OZ$ thì nó phát ra càng gần, tức là càng nhiều $r'$ thì càng ít $r''$. Do đó, năng lượng của các vùng “ngoại vi” của chùm tia tới được “chuyển” sang trục của chùm tia đi. Nếu chùm tia tới đủ rộng (bán kính gương lớn), thì điều này sẽ dẫn đến sự tập trung năng lượng đáng kể dọc theo trục. Kết quả là, năng lượng thực tế phát ra dưới dạng một “dây đèn” hẹp, và chùm tia tới càng rộng thì dây đi càng hẹp.

Vì vậy, chúng ta đi đến kết luận: một paraboloid có thể tập trung năng lượng không chỉ ở tiêu điểm mà còn dọc theo trục đối xứng.

Không khó để định lượng hiệu ứng này. Chúng ta hãy xem xét một hình parabol, sự quay của nó quanh trục $OZ$ tạo ra bề mặt của một hình parabol. Nếu gốc tọa độ là tiêu điểm thì phương trình

Cơm. 3.

25

26

Cơm. 4.

Parabol có dạng
$$z = \frac{r^2}{4f} - f,$$
(1)

Ở đâu $f$ là tiêu cự và $r$ Và $z$ - “tuyệt đối” và “tọa độ” của một điểm tùy ý của parabol. Tia tới “gặp” parabol tại điểm $a'$ ở một khoảng cách $r'$ từ trục đối xứng sẽ bị phản xạ, đi qua tiêu điểm và lại gặp parabol tại điểm $a''$ ở một khoảng cách $r''$ từ trục $OZ$ (xem hình 3). Hãy ký hiệu bằng $\theta$ góc giữa $OZ$ và phân khúc “trung gian” $a'a''$ tia của chúng tôi. Phương trình của một đường thẳng $a'a''$ được viết dưới dạng
$$z = -r \text{ ctg } \theta.$$ (2)

Các điểm $a'$ và $a''$ đồng thời thuộc cả parabol (1) và đường thẳng (2). Do đó, đối với chúng, chúng ta có thể đánh đồng vế phải của (1) và (2):
$$r^2 + 4fr \text{ ctg } \theta - 4f^2 = 0.$$ (3)

Giải phương trình này, ta tìm được:
$$r_1 = -2f \text{ ctg } \frac{\theta}{2}, \quad r_2 = 2f \text{ tg } \frac{\theta}{2}.$$ (4)

Các nghiệm $r_1$ và $r_2$ là các giá trị tọa độ $r$ ​​cho điểm $a'$ và $a''$. Vì vậy, $r' = |r_1|, r'' = r_2$. Từ (4) suy ra
$$r'r'' = 4f^2.$$ (5)

Công thức (5) có thể thu được bằng định lý Vieta mà không cần giải phương trình (3). Kết quả này xác nhận kết luận thu được ở trên từ những cân nhắc định tính: khoảng cách của tia parabol và tia ló tới trục $OZ$ tỷ lệ nghịch với nhau.

Công thức (5) có thể được “đọc” như sau. Chúng ta hãy tưởng tượng một mặt phẳng $A$ vuông góc với trục $OZ$. Hãy để mọi người

ba vòng có chiều rộng $\Delta r''$ với bán kính ngoài $r''$. Tức là bán kính ngoài $r' + \Delta r'$ của vòng “rơi” tương ứng với bán kính trong $r'' - \Delta r''$ của vòng “phản xạ”. Theo (5), tích của các bán kính này bằng $4f^2$ *), tức là

$$(r' + \Delta r')\,(r'' - \Delta r'') =$$
$$= r'r'' + r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 4f^2.$$

Xét rằng $r'r'' = 4f^2$, chúng tôi nhận được:

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 0.$$

Vì $\Delta r' \ll r'$ và $\Delta r'' \ll r''$, số hạng cuối cùng trong biểu thức này có thể được bỏ qua và viết lại

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' = 0.$$

Nó theo sau đó

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{r''}{r'} = \frac{4f^2}{r'^2},$$

hoặc

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{4f^2}{r'^2}, \quad \Delta r'' = \Delta r'\ \frac{4f^2}{r'^2}. \qquad (6)$$

Do đó, năng lượng trong chùm tia tới truyền qua diện tích hình khuyên có chiều rộng $\Delta r'$, sau khi phản xạ kép của các tia từ gương, đi qua diện tích hình khuyên $\Delta r'' < \Delta r'$. Điều này có nghĩa là lượng năng lượng truyền trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích (đặc điểm này được gọi là cường độ) trong vòng “phản xạ” lớn hơn trong vòng “sự cố”. Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi $r' > 2f$. Nếu $r' < 2f$, thì vòng “phản xạ” rộng hơn vòng “sự cố”, nghĩa là cường độ của ánh sáng phản xạ nhỏ hơn cường độ của ánh sáng tới.

Vì vậy, do sự phản xạ ánh sáng từ gương parabol, xảy ra sự phân bố lại cường độ ánh sáng. Chúng ta hãy tìm cường độ thay đổi như thế nào tùy thuộc vào khoảng cách đến trục đối xứng của paraboloid. Hãy để cường độ giảm xuống-

---

*) Chúng tôi sẽ không làm lộn xộn bản ghi bằng các ký hiệu mô-đun và bằng $r$, chúng tôi sẽ hiểu giá trị số của khoảng cách.

tổng ánh sáng bằng $J_0$. Khi đó, lượng năng lượng truyền trên một đơn vị thời gian qua diện tích vòng có chiều rộng $\Delta r'$ (tức là luồng ánh sáng xuyên qua vòng) bằng tích của $J_0$ và diện tích của vòng, tức là

$$\Delta \Phi = J_0 2\pi r' \Delta r',$$

trong đó $r'$ là bán kính trong của vòng *). Sau khi phản xạ kép ánh sáng từ gương, toàn bộ luồng ánh sáng này sẽ thoát ra qua diện tích $2\pi r''\Delta r''$. Do đó, cường độ của chùm tia đầu ra bằng

$$J = \frac{\Delta \Phi}{2\pi r''\,\Delta r''} =$$
$$= J_0\ \frac{r'\,\Delta r'}{r''\,\Delta r''} = \frac{16f^4}{(r'')^4}\ J_0. \qquad (7)$$

Công thức (7) mô tả cường độ tăng mạnh khi $r''$ giảm, nghĩa là khi nó tiến gần đến trục đối xứng của paraboloid.

Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là trên trục đó cường độ trở nên lớn vô hạn. Rốt cuộc, những tia ở ngoại vi của chùm tia tới sẽ đi ra gần trục nhất. Rõ ràng khoảng cách tối đa $r'_{\max}$ từ chùm tia tới đến trục đối xứng bằng bán kính của gương. Nó tương ứng với khoảng cách tối thiểu $r''_{\min}$ trong chùm tia đi. Khi $r''$ giảm xuống $r''_{\min}$ thì cường độ trong chùm tia đầu ra tăng theo định luật (7) và khi $r'' < r''_{\min}$ thì cường độ gần như bằng 0 *). Đây là lý do tại sao trong Hình 2, cường độ “nhúng” được hình thành gần trục chùm tia. Tuy nhiên, giá trị cường độ cực đại quan sát được ở gần “cạnh nhúng” có thể lớn hơn nhiều lần.

---

*)Diện tích của vòng giới hạn bởi các đường tròn bán kính $r$ và $r+\Delta r$ bằng $S=\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2\pi r\Delta r+\pi(\Delta r)^2$. Nếu $\Delta r \ll r$, thì số hạng với $(\Delta r)^2$ có thể bị bỏ qua và được xem xét $S=2\pi r\Delta r$.

**) Trên thực tế, cường độ của chùm tia đầu ra thay đổi theo cách phức tạp hơn một chút do nhiễu xạ ở các cạnh của gương.

27

28

vượt quá cường độ $J_0$ của chùm tia tới.

Đó là lượng thông tin chúng tôi rút ra được từ công thức đơn giản (5)!

Bây giờ chúng ta chuyển sang các thư từ (4). Họ mô tả đường đi của các tia “bên trong” một parabolon giữa hai phản xạ. Chính những tia sáng này, hội tụ tại tiêu điểm và phân kỳ khỏi tiêu điểm, dường như tạo thành một nguồn sáng điểm hư cấu ở đây. Tuy nhiên, nguồn này khác với nguồn chính xác thực tế. Nó phát ra không đẳng hướng, tức là cường độ ánh sáng mà nó phát ra theo các hướng khác nhau là khác nhau.

Có điều gì đó màu đỏ huyền bí về tất cả những đặc tính parabolon này!

Tuy nhiên, những kết luận mà chúng tôi đưa ra chỉ có giá trị trong khuôn khổ những ý tưởng lý tưởng hóa không hoàn toàn tương ứng với thực tế. Chúng ta đã nói về parabolon như một bề mặt lý tưởng về mặt toán học. Một chiếc gương thật chỉ tương ứng gần đúng với “lý tưởng” này. Bề mặt của nó không đối xứng nghiêm ngặt, có độ nhám, v.v.

Tiếp theo, chúng ta làm việc với các khái niệm về tia và chùm tia parabol. Trên thực tế, mỗi chùm tia truyền đi trong một góc kính thiên văn nhất định không bằng 0. Chúng ta chỉ có thể nói về một chùm parabol thực tế, nghĩa là một chùm tia, mặc dù nó phân kỳ, nhưng không đáng kể đến mức có thể tránh được sự phân kỳ này trong một vùng không gian xác định. Ví dụ, một chùm tia rơi xuống một parabol từ một ngôi sao có thể được coi là parabol trên thực tế. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, chùm tia tới sẽ trải qua cái gọi là sự phân kỳ nhiễu xạ, do tính chất sóng của ánh sáng *). Hơn nữa, chùm tia này càng hẹp (nghĩa là càng có nhiều

$$\alpha \approx \frac{\lambda}{r_{\min}^2},$$

trong đó $\lambda$ là bước sóng của ánh sáng parabol. Vì vậy, “dây ánh sáng” càng mỏng và càng cô đặc thì nó càng phân kỳ. Chúng ta hãy ước tính khoảng cách $z$ mà tại đó độ tăng bán kính của dây do sự phân kỳ bằng bán kính $r''_{\min}$ “ở đầu bó” (với khoảng cách này, dây nổi lên có thể được coi là một hình parabol thực tế). Rõ ràng,

$$z \approx \frac{r''_{\min}}{tg\alpha} \approx \frac{r''_{\min}}{\alpha} \approx \frac{(r''_{\min})^2}{\lambda}.$$

Theo công thức này, chùm tia càng mỏng và càng mạnh thì càng nhỏ, các yếu tố khác bằng nhau, gọi là “độ dài parabol” của nó. Do đó, việc tạo ra một parabolon rất sâu không chỉ là không thể thực hiện được mà còn vô nghĩa về mặt lý thuyết. Bản chất sóng của ánh sáng không cho phép chúng ta thu được một chùm tia parabol và mạnh liên tục, tương tự như chùm tia được mô tả trong tiểu thuyết “Hyperbolon của kỹ sư Garin” của A. Tolstoy.

Do đó, các hiệu ứng đỏ và bất ngờ liên quan đến sự phản xạ kép của ánh sáng từ parabol quay đã nảy sinh trong các giới hạn mà trong đó người ta cho phép bỏ qua bản chất sóng của ánh sáng, tức là khi ngay cả kích thước nhỏ nhất trong tất cả các chiều của hệ - bán kính $r''_{\min}$ - lớn hơn nhiều lần so với bước sóng. Điều kiện này áp đặt một giới hạn về mức độ “khuếch đại” ánh sáng.

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này, chẳng hạn như trong «Kvant» Số 4 năm 1972 trong trạng thái của V. E. Belonuchkin và S. M. Kozel “Điện thoại Otichsky”.