Olympic Toán lần thứ XVII

57

Olympic Toán lần thứ XVII

Kỳ thi Olympic Toán quốc tế dành cho học sinh lần thứ XVII diễn ra tại Bulgaria vào tháng 7 năm 1975 tại Burgas. Các đội đến từ 17 quốc gia đã tham gia: Úc, Bulgaria, Anh, Hungary, Đông Đức, Hy Lạp, Việt Nam Dân chủ Cộng hòa, Mông Cổ, Hà Lan, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Mỹ, Pháp, Tiệp Khắc, Thụy Điển, Nam Tư. Như thường lệ, đội tuyển của mỗi nước gồm 8 học sinh (đội DRV có 7 người do một thành viên bị ốm). Một đội học sinh Hy Lạp lần đầu tiên biểu diễn tại Thế vận hội.

Đội Liên Xô chủ yếu bao gồm những người chiến thắng trong Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ IX.

Năm nay, Olympic toàn Liên đoàn được tổ chức theo quy định mới, hiện đang được làm rõ. Điều khoản này quy định việc tổ chức các cuộc thi của các nước cộng hòa, dựa trên kết quả của cuộc thi đó sẽ thành lập một đội gồm các nước cộng hòa liên minh. Tuy nhiên, những hạn chế trong thành phần của đội RSFSR và những thiếu sót trong việc tổ chức, tiến hành Olympic Toán toàn Liên đoàn đã dẫn đến việc nhiều học sinh đạt thành tích cao tại Olympic Thành phố Mátxcơva đã không đủ điều kiện tham dự Olympic Toán toàn Liên đoàn. Về vấn đề này, các cuộc thi bổ sung đã được tổ chức giữa các học sinh Moscow để chọn ra ứng cử viên cho đội Liên Xô tham dự Olympic Toán quốc tế. Những người chiến thắng trong Olympic toàn Liên minh, cùng với những người chiến thắng trong cuộc tuyển chọn ở Moscow, được mời tham gia các trại huấn luyện, được tổ chức theo truyền thống gần Moscow ở Gorki Leninskiye. Ở đây thành phần của đội cuối cùng đã được xác định. Nó bao gồm:

Alexander Kornyushkin, tốt nghiệp Trường Vật lý số 18 tại Đại học Tổng hợp Mátxcơva, người đoạt giải khu vực và Olympic Tài nguyên về toán học tại Olympic Toán học toàn Liên minh, ông đã đạt giải nhất năm 1973 và giải nhì năm 1974;

Yury Neretin, tốt nghiệp trường trung học cơ sở số 91, Mátxcơva, người đoạt giải Olympic Thành phố Mátxcơva, tại Olympic Toán học toàn Liên minh mà ông nhận được năm 1974 - hạng II;

Alexander Reznikov, tốt nghiệp Trường Vật lý số 145 tại KSU, người đoạt giải Olympic tài nguyên và thành phố về toán học (I premio năm 1974 và 1975), tại Olympic Toán học toàn Liên minh, ông đã nhận được giải nhất Olympic năm 1974, và năm 1975 - I premio;

Sergei Finashin, học sinh lớp 9 môn Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad, đoạt giải Olympic Thành phố Leningrad (1973 - giải nhất, 1974 và 1975 - giải nhì), tại Olympic Toán toàn Liên đoàn năm 1974 và 1975;

Tatyana Khovanova, học sinh lớp 9 trường THCS số 444 ở Mátxcơva, đoạt giải Olympic Toán thành phố Mátxcơva, đoạt giải nhất Olympic Toán toàn Liên đoàn năm 1974 và 1975;

Georgy Shmelev, học sinh tốt nghiệp trường trung học số 20 ở Yaroslavl, đạt giải nhất Olympic cấp khu vực và cấp cộng hòa, đạt giải nhì Olympic Toán toàn Liên đoàn năm 1974, và giải nhất năm 1975;

Boris Yusin, tốt nghiệp trường bán thời gian buổi tối (theo ca) số 180 ở Mátxcơva, người đoạt giải Olympic Thành phố Mátxcơva, đã đứng đầu trong các cuộc thi vòng loại dành cho học sinh tham dự Olympic Toán quốc tế lần thứ XVII;

Ilya Yunus, tốt nghiệp trường trung học số 27 ở Kharkov, đoạt giải Olympic cấp khu vực và cấp cộng hòa, đoạt giải 3 Olympic Toán toàn Liên bang năm 1974, và giải nhất năm 1975.

Ngoài ra, các thí sinh của đội tham gia trại huấn luyện: Konstantin Rybasov (tốt nghiệp Trường Vật lý số 145 tại KSU), Alexey Muzykantov (tốt nghiệp Trường Vật lý số 130 ở Novosibirsk), Alexander Goncharov (học sinh lớp 9 trường nội trú số 18, Đại học quốc gia Moscow), Vladimir Geisel (tốt nghiệp Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow).

Độc giả «Kvant» có thể quan tâm đến bài toán một trong những kỳ thi Olympic đủ điều kiện, kết quả của cuộc thi đó đã được tính đến khi thành lập đội.

1. Trên một bàn cờ trắng đen vô tận có cạnh 1, có một con bọ chét, cứ mỗi giây lại nhảy $\alpha$ sang phải.

58

vào và $\beta$ lên, với $0<\alpha<\beta<1$. Chứng minh rằng một ngày nào đó con bọ chét sẽ ở trong một cái lồng màu trắng.

2. Giải phương trình $m^m = n^{n^n}$ bằng số tự nhiên.

3. Điểm $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho đoạn $OM$ được bao phủ hoàn toàn bởi một đường tròn nằm bên trong hình vuông $ABCD$.

4. Chứng minh rằng có 1975 số tự nhiên liên tiếp, không có số nào biểu diễn được dưới dạng $p^2+q^3+r^7$, trong đó $p$, $q$, $r$ là số tự nhiên.

Vào ngày 3 tháng 7, đội của chúng tôi lên đường đến Bulgaria, nơi cả hai vòng thi đều diễn ra ở Burgas vào ngày 7 và 8 tháng 7.

Bài toán cho Olympic đã được lựa chọn trước bởi Ban giám khảo quốc tế, bao gồm các nhà lãnh đạo khoa học của tất cả các đội, chủ tịch ban giám khảo là Giáo sư Đại học Sofia I. Prodanov. Đối với lời giải bài toán vào mỗi ngày của cuộc thi, như những năm trước, 4 giờ đã được phân bổ (văn bản bài toán được đưa ra ở cuối bài viết, trong ngoặc đơn cho biết quốc gia nào cung cấp bài toán và số điểm được cho cho toàn bộ lời giải).

Lễ bế mạc Thế vận hội diễn ra tại Sofia, nơi những người chiến thắng được trao giải thưởng.

Đã nhận được giải nhất
8 người tham gia sau hai ngày đạt 40 và 39 điểm.

40 điểm được ghi bởi: Paul Vojta (Hoa Kỳ), John Rickard (Anh), Jean-Claude Sykorav (Pháp), Paul Herdeg (Hoa Kỳ), Jonathan Hitchcock (Anh), Boris Yusin (Liên Xô).

Ghi được 39 điểm: Wilfried Pascher (Áo), Miller Puckett (Mỹ),

Đã nhận được giải nhì
25 thí sinh đạt điểm từ 37 đến 32. Trong số đó có ba học sinh Liên Xô: Alexander Kornyushkin (36 điểm), Alexander Reznikov (34 điểm), Tatyana Khovanova (32 điểm).

Đã nhận được giải III
36 người tham gia, trong số đó có học sinh của chúng tôi: Georgy Shmelev (28 điểm), Ilya Yunus (26 điểm), Yuri Ne-

retin (25 điểm), Sergey Finashin (25 điểm).

Dựa trên kết quả của hai ngày thi đấu, đội Hungary có kết quả tốt nhất, tiếp theo là các đội CHDC Đức, Mỹ và Liên Xô. Hơn nữa, chỉ ở ba đội - Hungary, Đông Đức và Liên Xô - tất cả những người tham gia đều nhận được giải thưởng.

Bài toán ngày thi đấu đầu tiên

1. Đặt $x_i$, $y_i$ và $(i = 1, 2, 3, \ldots, n)$ là các số thực sao cho $x_1 \geqslant \geqslant x_2 \geqslant \ldots \geqslant x_n$ và $y_1 \geqslant y_2 \geqslant \ldots \geqslant y_n$. Chứng minh rằng nếu $z_1$, $z_2$, …, $z_n$ là hoán vị bất kỳ của các số $y_1$, $y_2$, …, $y_n$, thì

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \leqslant \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2$$

(Tiệp Khắc, 6 điểm).

2. Đặt $a_1$, $a_2$, $a_3$, … là một chuỗi vô hạn tùy ý gồm các số nguyên dương sao cho $a_k < < a_{k+1}$ $(1 \leqslant k)$. Chứng minh rằng vô số số hạng $a_m$ của dãy này có thể biểu diễn dưới dạng $a_m = x a_p + y a_q$, trong đó $x$ và $y$ là số dương và $p \neq q$ (Anh, 7 điểm).

3. Trên các cạnh của một tam giác tùy ý $ABC$ bên ngoài tam giác đó (trong mặt phẳng $ABC$) các tam giác $BPC$, $CQA$ và $ARB$ được dựng sao cho

$$\widehat{PBC} = \widehat{CAQ} = 45°, \qquad \widehat{BCP} = \widehat{QCA} = 30°,$$
$$\widehat{ABR} = \widehat{BAR} = 15°.$$

Chứng minh rằng $\widehat{QRP} = 90°$ và $|QR| = = |RP|$ (Hà Lan, 7 điểm).

Bài toán ngày thi đấu thứ hai

4. Gọi $A$ là tổng các chữ số trong ký hiệu thập phân của số $4444^{4444}$ và $B'$ là tổng các chữ số của số $A$ ($A$ và $B$ cũng được xem xét trong ký hiệu thập phân). Tìm tổng các chữ số của số $B$ (Liên Xô, 6 điểm).

5. Có thể đánh dấu 1975 điểm trên đường tròn bán kính 1 sao cho độ dài của các dây nối hai điểm bất kỳ trong số chúng được biểu thị bằng số hữu tỉ không? (Liên Xô, 6 điểm).

6. Tìm tất cả các đa thức $P$ đối với hai biến có các tính chất sau:

1. $P$ là một đa thức đồng nhất bậc $n$, nghĩa là với mọi số thực $t$, $x$, $y$ $P(tx, ty) = t^n P(x, y)$;

2. cho tất cả thực $a$, $b$, $c$
   $$P(a + b, c) + P(b + c, a) + \\ + P(c + a, b) = 0;$$

3. $P(1, 0) = 1$
   (Anh, 8 điểm).

Z. I. Moiseeva, V. A. Skvortsov,