Bổ sung số liệu

22

N. Vasiliev

Bổ sung số liệu

Rõ ràng, mỗi độc giả đều hiểu mình cần phải làm gì nếu được yêu cầu tạo một hình thang từ ba hình tam giác giống nhau hoặc từ bốn góc - một góc lớn gấp đôi. Nhưng trong bài viết của chúng tôi, chúng tôi sẽ nói về “bổ sung” thuộc một loại hoàn toàn khác. Tổng của hai hình tam giác, theo quy luật, sẽ là một hình lục giác lồi, tổng của hai hình tròn giống hệt nhau sẽ là một hình tròn có bán kính gấp đôi và tổng của hai đoạn thẳng sẽ là hình bình hành. Để phân biệt phép toán mà chúng ta sắp nói đến với phép “hợp nhất” nói chung, nó được gọi là “tổng vectơ” hoặc “tổng Minkowski” - theo tên của nhà toán học nổi tiếng người Đức Hermann Minkowski (1864-1909), người đã nghiên cứu nó. Các ứng dụng thú vị nhất của khái niệm này liên quan đến các vật thể lồi trong không gian ba chiều và nói chung là n chiều. Nhưng chúng ta sẽ giải quyết chủ yếu với các số phẳng.

Lý do cho ghi chú này là bài toán M330 từ “nhiệm vụ «Kvant», mà chúng tôi sẽ giải quyết ở đây. Đây là cách diễn đạt.

Trên mặt phẳng có hai đa giác lồi F và G. Ta ký hiệu H là tập hợp các điểm có thể chứa trung điểm của một đoạn thẳng, một đầu thuộc F và đầu kia thuộc G. Chứng minh rằng H là đa giác lồi.

a) H có thể có bao nhiêu cạnh nếu F có n₁ và G có n₂?

b) Chu vi của H có thể bằng bao nhiêu nếu chu vi của F bằng P₁ và G bằng P₂?

c)* Diện tích của H có thể là bao nhiêu nếu diện tích của F bằng S₁ và diện tích của G là S₂?

§ 1. Tập trung điểm

Hãy bắt đầu với việc phân tích cú pháp đơn giản hơn bài toán.

Bài toán 1. Cho hai đoạn: [AB] và [CD]. Tìm tập hợp các điểm mà trung điểm của một đoạn thẳng có thể rơi xuống, một đầu P nằm trên [AB] và đầu kia Q nằm trên [CD].

Giải pháp. Đầu tiên chúng ta xét trường hợp tổng quát khi các đoạn [AB] và [CD] không song song. (Chúng ta sẽ thảo luận về trường hợp đặc biệt [AB] || [CD] bên dưới.) Chúng ta hãy biểu thị trung điểm của đoạn [PQ] bằng M. Trước tiên, cố định vị trí của điểm Q. Nếu P chạy qua toàn bộ đoạn thẳng [AB] thì M chạy qua đường trung bình của tam giác QAB (Hình 1a)—một đoạn có hai đầu là trung điểm của các đoạn [QA] và

Cơm. 1a.

Cơm. 16.

23

[QB]. Nếu bây giờ chúng ta buộc điểm Q đi qua toàn bộ đoạn thẳng [CD] thì đường giữa của tam giác QAB rõ ràng sẽ quét toàn bộ hình bình hành (Hình 16)—các đỉnh của nó sẽ là trung điểm của các đoạn [AC], [AD], [BC] và [BD].

Lưu ý rằng nếu [AB] và [CD] cắt nhau thì tập hợp mong muốn là hình bình hành có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ giác lồi ACBD, và nếu [AB] và [CD] không nằm trong cùng một mặt phẳng thì hình bình hành của chúng ta sẽ thu được trong tiết diện của tứ diện ABCD bởi một mặt phẳng song song với [AB] và [CD] và đi qua chính giữa chúng.

Hãy cùng tìm hiểu xem hình bình hành này sẽ như thế nào khi các đoạn [AB] và [CD] song song. (Chúng ta có thể giả sử rằng chúng có hướng bằng nhau.) Nếu [AB] và [CD] thuộc các đường thẳng song song khác nhau thì ABDC là hình thang và trung điểm của M đoạn PQ sẽ lấp đầy đường trung bình của hình thang này (Hình 1c)—một đoạn có hai đầu là trung điểm của các đoạn [AC] và [BD].

đáp số tương tự cũng thu được trong trường hợp [AB] và [CD] thuộc cùng một đường thẳng. Ở đây, để không phải phân tích các vị trí khác nhau của các điểm A, B, C, D trên một đường thẳng, thuận tiện dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số. Chúng ta sẽ giả sử rằng đường thẳng của chúng ta là trục số, tọa độ của các điểm này là $k_A, k_B, k_C, k_D$ ($k_A < k_B, k_C < k_D$) và chúng ta sẽ sử dụng thực tế này: tập hợp các số ($x_P + x_Q)/2$, trong đó $x_P \in [k_A, k_B]$, $x_Q \in [k_C, k_D]$ là đoạn $[(k_A + k_B)/2, (k_C + k_D)/2]$

Cơm. thế kỷ 1

Cơm. 1 năm

24

Cơm. 2.

Ví dụ 2. Tổng nửa hình chữ nhật F và G có kích thước $a \times b$ và $c \times d$, có các cạnh $a$ và $c$ song song, là hình chữ nhật có kích thước $(a+c)/2 \times (b+d)/2$ (Hình 2).

Thật vậy, trong hệ tọa độ $Oxy$, trong đó trục $Ox$ song song với các cạnh $a$ và $c$, tọa độ $x$ của các điểm của hình chữ nhật F và G chạy qua các đoạn có độ dài $a$ và $c$, tọa độ $y$ là các đoạn có độ dài $b$ và $d$, và nửa tổng của các tọa độ này là các đoạn có độ dài tương ứng $(a+c)/2$ và $(b+d)/2$. (Đây là lúc “sự thật hiển nhiên” mà chúng tôi sử dụng ở cuối lời giải bài toán 1 lại phát huy tác dụng.)

Bài 2. Tìm nửa tổng của các hình chữ nhật sau;

a) hai hình chữ nhật không song song;

b) một tam giác đều và các cạnh của nó;

c) hai hình tam giác trong đó hình vuông được cắt chéo;

d) một hình vuông và một hình tam giác đều có một cạnh chung;

e) đoạn và đường tròn;

e) hai đường tròn có bán kính khác nhau;

g) hình bán nguyệt với chính nó;

h) các hình bán nguyệt cùng nhau tạo thành một đường tròn;

i) một hình là hai cạnh kề nhau của một hình ngũ giác đều, hình kia là ba cạnh còn lại của nó.

Lời giải bài toán 2a). Chúng ta sẽ tiến hành tương tự như với lời giải bài toán 1. Chúng ta hãy sửa điểm $P$ của hình chữ nhật $F$ (Hình 3). Khi đó tập hợp các điểm $P, Q$, trong đó $Q$ chạy qua $G$, là hình chữ nhật $\{P\}$. Độ từ trường $G$ với hệ số 1/2 (và với tâm đồng âm $P$). Bây giờ chúng ta phải thống nhất tất cả các hình chữ nhật $\{P\} \ast G$, trong đó $P$ chạy qua $F$. Dễ dàng nhận thấy rằng cần có phép khử $F \ast G$ (hình được bao phủ bởi hình chữ nhật màu xanh lam trong Hình 3, khi đỉnh màu xanh phía dưới chạy qua hình chữ nhật màu hồng đồng nhất với hình chữ nhật $F$ với hệ số tương tự $\frac{1}{2}$) — một hình chữ nhật lồi có các cạnh song song với các cạnh của các hình chữ nhật này và dọc theo chiều dài của chúng bằng một nửa.

So sánh bài toán 2a) với ví dụ 2 trước đó, chúng ta thấy rằng hình dạng của hình $F \ast G$ có thể thay đổi đáng kể khi một trong các hình $F$ hoặc $G$ được xoay.

Tám đáp số đến mục 6)—i) bài toán 2 mất trật tự được thể hiện trong Hình 4.

Bài 3. Tìm nửa tổng của các hình sau trong không gian:

a) hai hình chữ nhật song song;

25

§ 2. Tổng nửa đa giác lồi

Nhớ lại rằng tập hợp các điểm F được gọi là lồi nếu với hai điểm P và Q bất kỳ thuộc F thì toàn bộ đoạn [PQ] đều chứa trong F.

Bạn có thể nhận thấy rằng việc tìm nửa tổng của các số lồi không chỉ là số không lồi, và nếu F và G là các số lồi thì F*G cũng là lồi.

Hãy chứng minh điều đó. Đặt $M_1$ và $M_2$ là các điểm tùy ý trong FG. rồi $M_1 = P_1 * Q_1$, $M_2 = P_2 * Q_2$ đối với một số $P_1 \in F$, $P_2 \in F$, $Q_1 \in G$, $Q_2 \in G^*$). Vì F và G lồi nên $[P_1 P_2] \subset F$ và $[Q_1 Q_2] \subset G$. thì $[P_1 P_2] * [Q_1 Q_2] \subset F * G$. Tuy nhiên, như chúng ta đã biết (ví dụ 1), nửa tổng của các đoạn thẳng là một hình bình hành và các điểm $M_1$ và $M_2$ là các đỉnh của nó (hình bình hành có thể suy biến thành một đoạn chứa các điểm $M_1$ và $M_2$). Vì hình FG chứa hình bình hành này nên nó chứa

$$*) Мы используем общие обозначения: F \cap G — пересечение фигур F и G, F \cup G — их объединение, G \subset F (или F \supset G) означает, что G содержится в F, P \in F — что точка P принадлежит F.$$

và đoạn $[M_1 M_2] : F * G \supset ([P_1 P_2] * [Q_1 Q_2]) \supset [M_1 M_2]$.

Từ các ví dụ gặp ở bài toán 2 a)-i), rõ ràng là chúng ta thu được các đa giác lồi F và G - một đa giác có các cạnh song song với các cạnh F và G nhưng dài bằng một nửa. Cách duy nhất để chứng minh thực tế này (và thậm chí xây dựng nó một cách chính xác) là biểu diễn một đa giác lồi là giao điểm của các nửa mặt phẳng.

Bydem nói rằng hai nửa mặt phẳng $σ_1$ và $σ_2$ có cùng hướng nếu $σ_1 \supset σ_2$ hoặc $σ_2 \supset σ_1$. Tất nhiên, các cạnh của nửa mặt phẳng $l_1$ và $l_2$ là các đường thẳng song song và kết quả $σ_1 * σ_2$ của chúng là nửa mặt phẳng cùng hướng, các cạnh của chúng là đường thẳng $l_1 * l_2$, nằm ở giữa giữa $l_1$ và $l_2$. (Hãy chứng minh điều đó một cách cẩn thận!)

Chúng ta gọi hỗ trợ nửa mặt phẳng $σ_F$ cho đa giác F nếu $σ_F \supset F$ và giao điểm của F với đường biên $l_F$ của nửa mặt phẳng $σ_F$ không trống. Chúng tôi sẽ gọi giao lộ này $l_F \cap F$ là đa cử chỉ hỗ trợ. Rõ ràng là đối với mỗi hướng σ có một nửa mặt phẳng hỗ trợ riêng. Tập hỗ trợ tương ứng của nó là một điểm (đỉnh của đa giác) hoặc một đoạn (cạnh của đa giác).

Chúng tôi biểu thị mức hỗ trợ được đặt bởi $F_\sigma$.

Giả sử F và G là hai đa giác lồi, $σ_F$ và $σ_G$ nửa mặt phẳng hỗ trợ cùng hướng, $F_\sigma$ và $G_\sigma$ các polyset hỗ trợ tương ứng. Dễ dàng tìm được tập hỗ trợ cùng hướng cho nửa tổng F*G: nó bằng nửa tổng của các đa giác hỗ trợ $F_\sigma$ và $G_\sigma$, tức là

$$(F * G)_\sigma = F_\sigma * G_\sigma.$$

Thật vậy (Hình 6), trung điểm M của bất kỳ đoạn PQ nào, trong đó P ∈ F, Q ∈ G, nằm trong nửa mặt phẳng $σ_F * σ_G = \sigma_F * G$, và một điểm M có thể nằm trên đường thẳng biên của nửa mặt phẳng $σ_F * G$ khi và chỉ khi cùng lúc P ∈ F_\sigma$и Q ∈ G_\sigma$.

26

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một quy tắc thuận tiện cho phép chúng ta tìm tổng nửa F * G của các đa giác lồi F và G.

Cần xem xét hướng σ nào mà ít nhất một trong các tập hỗ trợ tương ứng Fσ và Gσ là một đoạn (cạnh F hoặc G) và xây dựng nửa tổng của Fσ và Gσ - đoạn Fσ * Gσ (dùng ví dụ 16), c)). Hợp của tất cả các đoạn Fσ * Gσ này theo các hướng khác nhau σ là ranh giới của các hình F * G.

Việc áp dụng quy tắc này được minh họa trong Hình 6, trong đó mỗi hướng σ có màu riêng. Rõ ràng là các tập hỗ trợ Fσ, Gσ, và do đó (F * G)σ = Fσ * Gσ cho các hướng “trung gian” còn lại bao gồm các điểm riêng lẻ (đỉnh của các đa giác tương ứng). Chúng ta đã chứng minh rằng hình F * G là lồi. Bây giờ, khi đã tìm được ranh giới của nó, chúng ta thấy F * G là một đa giác lồi.

Cơm. 6.

ống chân có k và hướng của các cạnh của nó giống với hướng của F và G.

Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu σ và τ là hai nửa mặt phẳng khác hướng thì σ*τ là toàn bộ mặt phẳng.

b) Thử giải bài toán 2a) - d), sử dụng quy tắc đã lập ở trên.

c) Cho ví dụ về ngũ giác F và tam giác G có F*G có 5, 6, 7 và 8 cạnh.

Bây giờ thật dễ dàng để trả lời đáp số cho các câu hỏi a) và b) bài toán M330:

a) số cạnh của nửa tổng của số ngoại biên n1 và số ngoại biên n2 có thể là số bất kỳ không lớn hơn n1+n2 và không nhỏ hơn hầu hết các số n1, n2;

b) chu vi F * G bằng nửa tổng chu vi F và G *).

Tìm đáp số cho câu hỏi b) bài toán M330 và chứng minh nó khó hơn nhiều. Chúng ta đã học nó ở § 4. Bây giờ, hãy nói về tổng và tổ hợp tuyến tính của các số là gì.

§ 3. Tổng và tổ hợp tuyến tính của các số

Chúng tôi đã sử dụng từ “một nửa tổng” và ký hiệu * thay thế nó rất nhiều. Đã đến lúc nói tổng của hai số là bao nhiêu.

Chúng ta hãy sửa một số điểm O (điểm bắt đầu của vết cắt hoặc sọc).

Về giới hạn 2. Mũ của tất cả các đầu của M vectơ

$\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{OQ}$, trong đó P và Q lần lượt là các điểm tùy ý của các hình F và G, được gọi là tổng (hoặc tổng Minkowski) của các hình F và G (Hình 7). Tổng của F và G biểu thị F + G.

Về giới hạn 3. Mũ của tất cả các đầu của M vectơ

$\vec{OM} = \lambda \cdot \vec{OP}$, trong đó P là một điểm tùy ý của hình F, λ là một số dương cho trước, được gọi là tích của F và λ (Hình 8). Hình này biểu thị λF.

*) Thật vậy, nếu độ dài của một điểm coi bằng 0 thì độ dài (F * G)σ bằng một nửa tổng độ dài Fσ và Gσ cho mỗi hướng σ.

27

Ví dụ 3. “Nửa tổng” $F*G$ (Định nghĩa 1) chính xác là $\frac{1}{2}(F_1 + F_2)$: suy cho cùng, điều kiện $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$ chỉ ra rằng $M$ là trung điểm của đoạn $[PQ]$.

Chúng ta sẽ gọi hình $\lambda F + \mu G$, trong đó $\lambda$ và $\mu$ là các số dương, là tổ hợp tuyến tính của hình $F$ và $G$.

Ví dụ 4. Tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ của hình chữ nhật $a \times b$ và $c \times d$, có các cạnh $a$ và $c$ song song (như trong Ví dụ 2), hình chữ nhật $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$.

Bài toán 5. Các tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ của các hình $F$ và $G$ trông như thế nào mà chúng ta cần tìm trong các bài toán 2-4?

Bài toán 6. Chứng minh tính chất sau của phép tính đã đưa:
1°) $F_1 + F_2 = F_2 + F_1$;
2°) $(F_1 + F_2) + F_3 = F_1 + (F_2 + F_3)$;
3°) $\lambda(\mu F) = (\lambda \mu) F$;
4°) $\lambda(F_1 + F_2) = \lambda F_1 + \lambda F_2$;
5°) nếu $F_1 \subset F_2$, $G_1 \subset G_2$, thì $\lambda F_1 + \mu G_1 \subset \lambda F_2 + \mu G_2$;
6°) $\lambda F + \mu F \supset (\lambda + \mu) F$; nếu $F$ lồi thì $\lambda F + \mu F = (\lambda + \mu) F$;
7°) $\lambda(F \cup G) = \lambda F \cup \lambda G$ và $H + (F \cup G) = (H + F) \cup (H + G)$;
8°) $\lambda(F \cap G) = \lambda F \cap \lambda G$ và $H + (F \cap G) \subset (H + F) \cap (H + G)$;

9°) nếu $\lambda + \mu = 1$, thì tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ không phụ thuộc vào điểm $O$ “cực” được đặt ở đâu.

Nói chung, với sự lựa chọn cực $O$ khác và với việc truyền dữ liệu song song, hình $F$ và $G$, tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ thay đổi, nhưng không tồn tại - nó chỉ đơn giản trải qua quá trình gán lại song song. Do đó, nếu các điều kiện của hai hình tiếp nhận nhau bằng các phép biến đổi song song không khác nhau, được coi là tương đương, thì bạn không thể chỉ ra vị trí các sọc được chọn - kết quả $\lambda F + \mu G$ sẽ được xác định duy nhất.

Lưu ý rằng bất kỳ kết hợp tuyến tính nào $\lambda F + \mu G$ hình $F$ và $G$ đều được lấy từ kết hợp “chuẩn hóa” $\frac{\lambda}{\lambda + \mu} F + \frac{\mu}{\lambda + \mu} G$ (sao cho tọa độ có tổng hệ số bằng 1) bằng cách nhân với số $(\lambda + \mu)$, nghĩa là vừa sẵn sàng. Do đó, các tổ hợp tuyến tính là $c \lambda + \mu \neq 1$. Họ sẽ không cung cấp cho bạn những hình dáng mới.

Chúng ta hãy mô tả một cách để tưởng tượng tất cả các kết hợp tuyến tính chuẩn hóa của hai đa giác lồi $F$ và $G$. Chúng ta hãy cắt một trong số chúng (không quay) thành một mặt phẳng song song và xây dựng “thân lồi” $F$ và $G$ - một đa giác lồi, tất cả các đỉnh của nó trùng với các đỉnh $F$ và $G$ (ví dụ: hình bát giác đều trong Hình 5 là bao lồi của các tam giác trên và tam giác dưới; “phần giữa” của nó là một nửa tổng của các tam giác này hình tam giác). Khi đó, phần của đa giác này của mặt phẳng, song song với $F$ và $G$, chỉ đưa ra các kết hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$, trong đó $\lambda + \mu = 1$; tỷ lệ $\lambda/\mu$ bằng tỷ lệ khoảng cách từ mặt phẳng cắt đến mặt phẳng $F$ và $G$.

Năm bài toán sau đây minh họa khái niệm “tổng Minkowski” từ các góc độ khác nhau.

Bài toán 7. Từ điểm $O$ nằm trên ranh giới của nửa mặt phẳng, các vectơ $n$ có ​​độ dài 1 hướng vào trong nửa mặt phẳng. Bằng chứng

Cơm. 7.

Cơm. 8.

28

Hãy nhớ rằng nếu $n$ là số lẻ thì độ dài tổng của chúng ít nhất là 1.

Bài tập 8. Cho $F$ là một đa giác lồi, $S$ diện tích, $P$ chu vi, $K$ một hình tròn có bán kính $1$ có tâm $O$. Chứng minh rằng diện tích của hình $F + \rho K$ (ρ-lân cận của đa giác $F$) là $S + \rho P + \rho^2\pi$. Viết công thức tương tự cho thể tích vùng lân cận $\rho$ của một đa giác lồi.

Bài tập 9. Chứng minh ba tính chất sau của đa giác lồi $F$ là tương đương nhau: (1) $F$ có tâm đối xứng; (2) $F$ có ​​thể cắt thành hình bình hành; (3) $F$ là tổng của một số phân đoạn.

Bài tập 10. Chứng minh hai tính chất sau của đa giác lồi là tương đương nhau: (1) tất cả các mặt $F$ đều là hình bình hành; (2) $F$ là tổng của một số đoạn thẳng, không có ba đoạn nào song song với cùng một mặt phẳng. Một đa giác như vậy có bao nhiêu mặt nếu số đoạn là $k$?

Nhiệm vụ 11. Một khu rừng bị cháy tại một điểm trong khu vực không bị ô nhiễm. Gió thổi trong thời gian $t_1$ với tốc độ $v_1$, rồi $t_2$ với tốc độ $v_2$, …, $t_n$ với tốc độ $v_n$. Ngọn lửa lan ra từ những khu vực bắt lửa với tốc độ gió (và những khu vực này tiếp tục cháy). Khu vực nào bị cháy trong thời gian này? Ngoài ra, điều gì sẽ xảy ra nếu ngọn lửa lan đều ra mọi hướng với tốc độ $u$? (A. Savin)

§ 4. Diện tích tổng của một hình

Diện tích của hình $F$ sẽ được ký hiệu là $S_F$. Định lý về diện tích của các hình đồng nhất phát biểu:

$$S_{\lambda F} = \lambda^2 S_F.$$

Chúng ta hãy xem những gì có thể nói về diện tích của tổng và nói chung là sự kết hợp tuyến tính của hai hình. Hãy bắt đầu với trường hợp đặc biệt khi $F$ và $G$ là hình chữ nhật $a \times b$ và $c \times d$, và các cạnh có độ dài $a$ và $c$ song song với nhau. Khi đó $\lambda F + \mu G$ là hình chữ nhật $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$ và

$$S_{\lambda F + \mu G} = (\lambda a + \mu c)(\lambda b + \mu d) = \lambda^2 ab + \mu^2 cd + \lambda \mu (ad + bc) \geq \lambda^2 ab + \mu^2 cd + 2\lambda \mu \sqrt{abcd} = (\lambda \sqrt{ab} + \mu \sqrt{cd})^2,$$

đó là

$$S_{\lambda F + \mu G} \geq (\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2.$$

(chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức $p + q \geq 2\sqrt{pq}$). Không thể có bất kỳ hạn chế nào ngoài bất đẳng thức (2) đối với các giá trị của $S_{\lambda F} + \mu G$ cho $S_F$ và $S_G$ đã cho. Thật vậy, thay (2) $b = a$, $c = ke$, $d = e|k$ ($k$ là một số dương nào đó), ta được: $S_F = a^2$, $S_G = e^2$, $S_{\lambda F} + \mu G = \lambda^2 a^2 + \mu^2 e^2 + \lambda \mu e \left( k + \frac{1}{k} \right) = (\lambda a + \mu e)^2 + \left( k + \frac{1}{k} - 2 \right) \lambda \mu e$.

Với $a$, $e$ và $\lambda$, $\mu$ cố định, dấu ngoặc đơn thứ hai nhận bất kỳ giá trị không âm nào (tùy thuộc vào $k$), vì vậy $S_{\lambda F} + \mu G$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào, không nhỏ hơn $(\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2$.

Bây giờ, cuối cùng chúng ta cũng có thể đưa đáp số vào câu hỏi trong bài toán M330: diện tích của đa giác lồi thu được của diện tích $S_1$ và $S_2$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2/4$.

Thực tế là diện tích kết quả không thể nhận giá trị nhỏ hơn xuất phát từ định lý đáng chú ý sau đây.

Định lý Brunn-Minkowski. Thực thi không bằng nhau (2) cho hai số lồi bất kỳ $F$, $G$ và bất kỳ số dương nào $\lambda$, $\mu$.

Bằng chứng. Trước hết, sử dụng các xem xét tương tự và công thức (1), có thể dễ dàng rút gọn về trường hợp diện tích của các hình đã cho bằng nhau và tổ hợp tuyến tính được chuẩn hóa. Trong trường hợp này, bất đẳng thức (2) trông rất đơn giản:

$$\text{если } S_F = S_G = S \text{ и } \lambda + \mu = 1, \text{ то } S_{\lambda F} + \mu G \geq S.$$

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách bất đẳng thức (2) bắt nguồn từ (3) với mọi $F$, $G$, $\lambda$ và $\mu$. Cùng nhìn vào số liệu về diện tích $S$ cùng với $F$ và $G$:

$$F^* = \sqrt{S/S_F} F, \quad G^* = \sqrt{S/S_G} G.$$

29

Sau đó
$$\lambda F + \mu G = \lambda \sqrt{S_F/S} F^* + \mu \sqrt{S_G/S} G^* = \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \left( \lambda^* F^* + \mu^* G^* \right),$$
ở đâu $\lambda^* + \mu^* = 1$. Áp dụng (3) cho $\lambda^* F^* + \mu^* G^*$ ta được (2):
$$\sqrt{S_{\lambda F} + \mu G} \geq \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \sqrt{S} = \lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G}.$$

Đây là thông điệp chính được sử dụng để chứng minh sự bất đẳng thức (3). Nếu hình F được chia theo đường ngang $l$ thành hai phần: phần trên $F_B$ và phần dưới $F_H$, và tương tự, G của một đường ngang khác $m$ được chia thành hai phần $G_B$ và $G_H$, thì tập $\lambda F_B + \mu G_B$ và $\lambda F_H + \mu G_H$ không chồng lên nhau: phần đầu tiên nằm phía trên đường thẳng $\lambda l + \mu m$, cái thứ hai ở bên dưới.

Bây giờ chứng minh tóm tắt có thể được hoàn thành như thế này.

Hãy chia các đa giác $F$ và $G$ thành $N$ dải ngang hẹp và đánh số chúng theo thứ tự từ trên xuống dưới: $F_1 \cup F_2 \cup ... \cup F_N = F$, $G_1 \cup G_2 \cup ... \cup G_N = G$. Mỗi dải có thể được coi là một đường thẳng có diện tích $S/N$ (nếu $N$ lớn thì “cho đến ε nhỏ tùy ý” này không ảnh hưởng đến diện tích của các hình $F$, $G$ và $\lambda F + \mu G$). Nhưng đối với hình chữ nhật có các cạnh song song, bất đẳng thức chính (2) đã được chứng minh, do đó diện tích của mỗi dải $\lambda F_i + \mu G_i$, $i=1,2,...,N$ (chúng tôi chỉ thêm các dải có cùng số!) không nhỏ hơn $S/N$. Và vì các dải $N$ này không chồng lên nhau và tất nhiên được chứa trong $\lambda F + \mu G$ nên diện tích của $S_{\lambda F} + \mu G$ không nhỏ hơn $S$.

Vậy bất đẳng thức Brunn-Minkowski được chứng minh. Chúng tôi chỉ trình bày ở đây một trong những hậu quả của nó. Đây cũng là sự thay thế cho định lý toán tử: diện tích của bất kỳ hình nào có chu vi $P$ không còn nữa

cao hơn diện tích của lớp vỏ có chu vi $P$. Hãy chứng minh điều đó cho đa giác lồi $F$. Sử dụng ký hiệu và kết quả của bài toán 8, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Brunn cho tổng $F + K$ (K là đường tròn có bán kính đơn vị). Chúng tôi nhận được:

$$\sqrt{S + P + \pi} \geq \sqrt{S} + \sqrt{\pi},$$

hoặc, sau khi đơn giản hóa, $S \leq P^2/4\pi$. Đây là sự bất bình đẳng mong muốn!

Bài toán 12. a) Chứng minh rằng đối với diện tích tổ hợp tuyến tính của hai đa giác lồi thì công thức $S_{\lambda F} + \mu G = S_F \lambda^2 + 2S_F G \lambda \mu + S_G \mu^2$ đúng, trong đó số $S_F,G$ chỉ phụ thuộc vào $F$ và $G$ (số này gọi là diện tích hỗn số của các hình $F$ và $G$). Tìm $S_F,G$ cho các số $F$, $G$ từ bài toán 2a) - e).

6. Chứng minh rằng $S_F,G \geq S_F S_G$ luôn luôn tồn tại và đẳng thức chỉ đúng nếu các đa giác $F$ và $G$ được chuẩn bị sẵn.

Bài toán 13. Chứng minh rằng bất đẳng thức (2) đúng với các số tùy ý (không nhất thiết phải lồi). Hãy suy nghĩ về cách xây dựng và chứng minh một định lý tương tự về thể tích của các hình không gian.

Để kết thúc phần giới thiệu nổi tiếng của chúng tôi về tổng Minkowski, chúng tôi liệt kê một số sách và bài viết nói về phép cộng số liệu, ứng dụng của phép toán này vào lý thuyết tập lồi, đặc biệt, về các cách chứng minh khác nhau của bất đẳng thức Brunn-Minkowski, sự khái quát hóa và các hệ quả hình học của nó.

I. M. Yaglom, V. G. Boltyansky. “Hình lồi” (sách trong bộ “Thư viện vòng tròn toán học”, số 4). Gostekhteorizdat, 1951

L. A. Lyusternik. “Hình lồi và đa giác.” Gostekhteorizdat, 1956

B.N. Delaunay. Chứng minh bất đẳng thức Brunn–Minkowski. “Thành công của khoa học toán học”, tập. II (1936).

N. B. Vasiliev. Một họ $n$-giác song song. «Kvant», Số 11, 1974; lời giải bài toán M295, «Kvant», Số 6, 1975

G. Hadwiger. Bài giảng về thể tích, diện tích bề mặt và isopermethrin. M., “Hayka”, 1966