Bài toán M376—M380; F388—F392

30

Bài toán
M376—M380; F388—F392

Lời giải bài toán từ số báo này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 6 năm 1976 đến địa chỉ: 113035, Moscow, Zh-35, st. B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant» M376” hoặc “…F388”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới vui lòng gửi trong phong bì riêng. Các vấn đề từ các số khác nhau của tạp chí cũng được đựng trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chia thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”).
Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Nan khó hơn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

M376. a) Có 30 ô liên tiếp. Ở ô vuông bên phải có một con chip màu trắng, ở bên trái có một con chip màu đen. Mỗi người trong số hai người chơi lần lượt di chuyển quân cờ của mình một khoảng trống - tiến hoặc lùi. (Bạn không thể bỏ qua một nước đi.) Người thua cuộc là người không có nước đi nào. Ai thắng: người mới bắt đầu hay đối tác của anh ta?
6) Giải bài toán bằng cách thay 30 bằng N trong điều kiện.
A. Talalay

M377. Cho tam giác ABC. Tìm điểm D trên cạnh AC sao cho chu vi tam giác ABD bằng độ dài cạnh BC.
C.Ochitin

M378. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên không biểu diễn được dưới dạng
a) $x^3 + y^3 + z^3$, trong đó x, y, z là số nguyên;
b) $x_1^n + x_2^n + \ldots + x_n^n$, trong đó $x_1, \ldots, x_n$ là số nguyên.
b)* Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng $x^3 + y^3 + z^3$, trong đó x, y, z là các số hữu tỉ.
B. Kolosov

M379. Trên mỗi mảnh giấy có hình dạng ngẫu nhiên đều có một dấu (có hình dạng tùy ý). Chúng ta hãy tìm một tờ giấy thấm phù hợp cho một mảnh nhất định nếu nó có thể được đặt bên trong mảnh này để nó che phủ tờ giấy thấm. Giả sử một bộ giấy thấm có hình tròn có bán kính khác nhau có đặc tính sau: với hai mảnh cho trước bất kỳ thì có một giấy thấm phù hợp cho mỗi mảnh đó. Chứng minh rằng trong bộ này có một giấy thấm thích hợp cho tất cả các mảnh.
B. Provozvolov

M380* a). Cho một hình lồi trên mặt phẳng và bên trong nó có một điểm O. Đối với mỗi đường thẳng l đi qua điểm O, kẻ một đường vuông góc tại điểm O và trên đó, trên cả hai phía của điểm O, có hai đoạn mở ra, độ dài của chúng bằng độ dài của đoạn thu được khi hình này cắt đường thẳng l. Kết hợp tất cả các phân đoạn này.

31

Rezkov là một nhân vật mới có tâm đối xứng $O$. Hình kết quả có lồi không?
6) Trong không gian đã cho có một vật lồi đối xứng tâm có tâm $O$. Mỗi mặt phẳng $\alpha$ đi qua điểm $O$ được vẽ vuông góc tại điểm $O$ và hai đoạn thẳng được đặt trên đó ở cả hai phía của điểm $O$, chiều dài của chúng bằng diện tích mặt cắt ngang của vật thể đã cho theo mặt phẳng $\alpha$. Sự kết hợp của tất cả các phân đoạn này là một khối mới có cùng tâm đối xứng $O$. Chứng minh rằng vật thu được cũng lồi.

S. Pukhov

F388. Trong một hình trụ thẳng đứng có tiết diện thay đổi (Hình 1), có $n$ mol không khí giữa các pít-tông. Khối lượng của piston lần lượt là $m_1$ và $m_2$, diện tích của chúng lần lượt là $S_1$ và $S_2$. Các piston được nối với nhau bằng một thanh có chiều dài $l$ và được đặt ở những khoảng cách bằng nhau tính từ điểm nối của các bộ phận của xi lanh có đường kính khác nhau. Piston sẽ chuyển động bao nhiêu khi nhiệt độ trong xi lanh tăng $\Delta t$ độ?

E. Kuznetsov

F389. Tìm điện trở giữa các điểm $A$ và $B$ và các điểm $A$ và $C$ của chuỗi vô hạn như trên Hình 2. Điện trở của dây dẫn giữa các nút của mạch là 1 ohm.

F390. Hai bình hình trụ thông nhau được hàn kín có đường kính khác nhau được đổ đầy một phần nước (thủy ngân) (Hình 3). Không khí trong bình của họ đã được sơ tán, do đó chỉ còn hơi tồn tại phía trên chất lỏng. Lượng chất lỏng sẽ được phân phối như thế nào trong các bình $a$) trên mặt đất? 6) trong môi trường không trọng lực?

F391. Một thanh hình chữ L nhẵn quay trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục thẳng đứng đi qua đầu thanh $O$. Một khớp nối khối lượng nhỏ $m$ được gắn vào thanh tại điểm $A$ bằng lò xo có độ cứng $k$ (Hình 4). Chiều dài của lò xo gấp 1,2 lần chiều dài của nó ở trạng thái không dãn. Thanh quay với tốc độ góc bao nhiêu?

F392. Bảng khối $M$ được đặt nằm ngang và tựa trên hai trụ quay (Hình 5). Khoảng cách giữa các trục xi lanh $l$. Hệ số ma sát giữa đế và xi lanh $k$. Chứng minh rằng nếu bến tàu nằm ngang thì nó sẽ thực hiện một dao động điều hòa và tìm chu kì của các dao động này. Chuyển động của bến tàu sẽ như thế nào nếu chiều quay của các hình trụ bị đảo ngược?