Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

46

Đại học bang Leningrad
họ. A. A. Zhdanova

Đại học bang Leningrad được mô tả trong «Kvant» số 6 cho năm 1975 và 1976. Trong số này, chúng tôi đã tổ chức kỳ thi tuyển sinh viết môn toán tại nhiều khoa khác nhau của Đại học bang Leningrad năm 1975.

Khoa Toán-Mexico và Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển

1. Kết thúc chu kỳ vận hành đầu tiên có $a$ lít nước chứa $p\%$ nước. 2 cl bột được sử dụng từ mỗi hộp, sau đó thêm cùng một lượng bột mới và bột chứa $q\%$ nước được thêm vào hộp đầu tiên và $3q\%$ nước được thêm vào hộp thứ hai. Kết quả hộp thứ hai chứa nhiều nước hơn hộp thứ nhất 1,5 lần. Lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu nước?

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{align*} (4y^2 - y + 6) \cdot 2^x &= 20y, \\ x + \log_2 y &= 2. \end{align*}$$

3. Giải phương trình
   $$\log_3 \cos 2x - 2 \log_3 \mathrm{tg} x = 1 + \log_3 (\sin x + \cos x) + \log_3 (\cos x - \sin x).$$

4. Trong một tam giác vuông, cạnh huyền bằng $c$ và gấp ba lần chiều cao tính từ đỉnh của góc vuông. Tìm đôi chân.

5. Một tam giác đều có hai cạnh quay quanh một trục đi qua giao điểm của các đường cao song song với cạnh dài hơn. Xác định thể tích của vật quay nếu góc tù là $\alpha$ và cạnh đối diện là $a$.

Khoa Sinh học và Địa lý

1. Một đội thợ rừng phải chuẩn bị 400 $m^3$ củi. Những người khai thác gỗ đã hoàn thành công việc này trong vòng 3 ngày, vì hàng năm họ thu hoạch nhiều củi hơn 30 $m^3$ so với kế hoạch. Lữ đoàn đã chuẩn bị bao nhiêu củi hàng năm?

2. (Dành riêng cho Khoa Sinh học). Giải bất đẳng thức
   $$5\sqrt{x} + \frac{5}{2\sqrt{x}} \leq 2x + \frac{1}{2x} + 4.$$

2a. (Dành riêng cho Khoa Địa lý). Giải phương trình
$$5x + \frac{5}{2x} = 2x^2 + \frac{1}{2x^2} + 4.$$

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{align*} x + y &= 2y \cdot \log_x y, \\ x^{\lg y} &= 1. \end{align*}$$

4. (Dành riêng cho Khoa Sinh học). Sử dụng các cạnh của tam giác $a$ và $b$ và đường trung tuyến $m_c$ xác định các đường trung tuyến còn lại.

4a. (Dành riêng cho Khoa Địa lý). Khu vực gần như có bán kính $R$ được chia thành hai phần bởi một cung có cùng đường tròn