Bài toán M381—M385; F393—F397

48

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 7 năm 1976 đến địa chỉ: 113035, Moscow, Zh-35, B. Ordynka, 21/16, Journal «Kvant», M381, M382" hoặc “… F393». Lời giải bài toán trong từng môn học (toán học và vật lý), cũng như các môn học mới bài toán Gửi thư trong phong bì riêng. Đồng thời giao bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra của mình). lời giải). Điều kiện của bản gốc bài toánđề xuất xuất bản, hãy chỉ định hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho những bản này bài toán (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», mới bài toán trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề nghị với chúng tôi điều này bài toán. Tất nhiên, không phải tất cả những điều này bài toán được xuất bản lần đầu tiên. Nanoblee khó khăn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

M381—M385; F393—F397

M381. 6 nhà hoạt động giai cấp giáo dục 30 ủy ban khác nhau. Mỗi hai ủy ban khác nhau về thành phần, nhưng nhất thiết phải “chồng chéo”, tức là chúng có một thành viên chung. Chứng minh rằng có thể hình thành một hoa hồng khác giao với mỗi hoa hồng trong số 30 hoa hồng này.

S. Fomin

M832. Cho một đa thức
$$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$$
với các hệ số nguyên và số tự nhiên $k$ và $p$. Chứng minh rằng nếu không có số $f(k)$, $f(k+1)$, …, $f(k+p)$ nào chia hết cho $p+1$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm hữu tỷ.

T. Raikov

M383. Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu $ab$ là số chẵn thì nó cũng sẽ tìm được các số tự nhiên $c$ và $d$ là $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$, còn nếu $ab$ là số lẻ thì không tìm được các số tự nhiên $c$ và $d$ đó.

M. Gerver

M384. Hai hình vuông có hướng giống hệt nhau $OABC$ và $OA_1B_1C_1$ có một đỉnh chung $O$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ cùng đi qua một điểm.

Z. Skopets

M385. Một đa giác lồi có các đỉnh tại các nút (ở các góc của ô) được vẽ trên giấy ca rô. Chúng ta hãy chọn một số đỉnh $O$ của đa giác $F$ và biểu thị bằng $nF$ đa giác thu được từ $F$ bằng cách kéo dài $n$ lần so với đỉnh này (Hình 1) (n là số tự nhiên). Chúng ta sẽ biểu thị bằng $N(nF)$ số lượng nút nằm trên ranh giới $nF$. Gọi $S(F)$ biểu thị diện tích $F$ (diện tích của một ô là 1). Chứng minh rằng
a) $N(nF)$ là đa thức trong $n$;

49

6. $2S(F) = N(2F) - 2N(F) + 1$;
   b) $S(F) = N(F) - \frac{1}{2}N(\bar{F}) + 1$;

d) với hai đa giác lồi bất kỳ $F$ và $G$ có đỉnh tại các nút $N(nF+mG)$ là đa thức trong $n$ và $m^*$).

Trong không gian ba chiều, một đa giác lồi $F$ được cho, tất cả các đỉnh của nó là các điểm nguyên (một điểm được gọi là số nguyên nếu cả ba tọa độ của nó đều là số nguyên). Giả sử rằng gốc $O$ là một đỉnh $F$ và biểu thị bằng $nF$ đa giác thu được từ $F$ với khoảng cách $n$ lần so với gốc (mỗi điểm $nF$ thu được từ một số điểm $F$ bằng cách nhân tất cả tọa độ với $n$, trong đó $n$ là số tự nhiên). Chúng ta sẽ biểu thị bằng $N(nF)$ số điểm nguyên trong đa giác $nF$ và trên ranh giới của nó, và bằng $N(\bar{nF})$ chúng ta sẽ biểu thị số điểm nguyên trên ranh giới $nF$. Gọi $V(F)$ biểu thị thể tích của đa giác.

e) Chứng minh rằng không có công thức nào đúng cho mọi đa giác $F$ được mô tả ở trên và sẽ biểu thị $V(F)$ theo $N(F)$ $N(\bar{F})$.

e) Nghĩ ra công thức (đối với một số $k$) biểu thị $V(F)$ theo $N(F)$, $N(2F)$, …, $N(kF)$.

g) Hãy đưa ra công thức biểu diễn $V(F)$ theo
$$N(F), N(2F), N(\bar{F}), N(2\bar{F})$$.

h)* Chứng minh công thức thu được cho lời giải e) và g).

i)* Chứng minh rằng $N(nF)$ là đa thức trong $n$.

A. Kushirenko

bài toán M385 cuối cùng là một chủ đề dành cho một nghiên cứu toán học thực sự và chúng tôi không muốn giới hạn thời hạn gửi nó lời giải chỉ còn một tháng rưỡi. Chúng tôi dự định chuẩn bị một lá thư dành riêng cho bài toán M385 vào tháng 9 - tháng 10 và đến thời điểm này, chúng tôi muốn nhận được thư của bạn.

F393. Được biết, tần số bức xạ của các nguyên tử bay với tốc độ $v$ theo hướng quan sát thay đổi theo giá trị $\Delta f = \frac{v}{c} f_0$, trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng, $f_0$ là tần số bức xạ ở trạng thái nghỉ

*) Điều này đề cập đến tổng Minkowski (xem bài viết của N. Asil trong phần “Bổ sung các số liệu” ở số 4 của tạp chí của chúng tôi và Hình 2).