Niels Henrik Abel

2

Ở trung tâm Oslo, trong Công viên Hoàng gia, có tượng đài tưởng niệm nhà toán học xuất sắc người Na Uy Niels Henrik Abel. Nhưng chính Abel đã dựng lên một tượng đài ấn tượng hơn cho chính mình. Các định lý Abel, tích phân Abelian, phương trình Abelian, nhóm Abelian, các phép biến đổi Abelian đã mãi mãi đi vào nhiều nhánh khác nhau của toán học, và Abel đã thu được tất cả kết quả của mình sau bảy năm sáng tạo: ông qua đời khi chưa tròn hai mươi bảy tuổi.

Abel sinh ngày 5 tháng 8 năm 1802 tại ngôi làng nhỏ Finneina ở phía nam Na Uy, trong một gia đình mục sư. Nils là con trai thứ hai; Anh ấy là một cậu bé ốm yếu thô lỗ.

Vào mùa thu năm 1815, Mục sư Abel gửi hai con trai lớn của mình đến Christanya (khi đó được gọi là Oslo), đến Trường Nhà thờ. Cho đến lúc đó, anh đã tự mình dạy họ.

Ngôi trường đã không đáp ứng được sự mong đợi của Nils. Trở lại năm 1811, những giáo viên giỏi nhất đã rời trường đại học mới được thành lập. Các giáo viên mới không có nhiều kiến ​​thức. Họ thường đánh học sinh. Giáo viên toán Bader đặc biệt tàn nhẫn. Không có gì đáng ngạc nhiên khi Nils sớm mất hứng thú với việc học và không còn đạt điểm xuất sắc ngay cả trong môn toán. Chỉ những chuyến thăm nhà hát mà Abel vô cùng yêu thích, chơi cờ và trò chuyện với bạn bè đã làm cuộc sống của cậu thiếu niên tươi sáng hơn.

Mọi thứ thay đổi vào một ngày năm 1818. Bader đánh một học sinh thậm tệ đến nỗi anh ta chết vài ngày sau đó. Bader bị sa thải và một giáo viên toán mới, Bernt Mikel Holmboe, gia nhập trường. Bản thân Holmboe hầu như không làm gì về toán học nên ông là người đầu tiên chú ý và nuôi dưỡng tài năng toán học của Niels Abel.

Mục tiêu chính của Holmboe là quan tâm

4

về toán học, điều mà ông có thể đạt được và suy nghĩ không mệt mỏi về các vấn đề toán học. Chẳng mấy chốc ông đã có tác phẩm in. Thật không may, chúng không được chú ý vì chúng được viết bằng tiếng Na Uy và không một nhà toán học xuất sắc nào thời đó biết ngôn ngữ này. Tuy nhiên, công việc được dành cho việc tìm ra đường mà một điểm vật chất rơi theo một quy luật định trước. Abel đã giảm lời giải thành bài toán này thành một phương trình trong đó hàm mong muốn nằm dưới dấu tích phân. Ngày nay phương trình còn được gọi là tích phân.

Không ai giải được các phương trình tích phân trước Abel: các nhà toán học thời đó quan tâm đến các phương trình vi phân, tức là các phương trình chứa tích của các hàm mong muốn. Chỉ đến cuối thế kỷ 19, lý thuyết tổng quát về phương trình tích phân mới bắt đầu được phát triển, và sau đó họ nhận ra rằng Abel đã đoán trước được những nghiên cứu toán học trong tương lai trong nhiều thập kỷ.

Vào mùa đông năm 1822-1823, Abel đã viết một tác phẩm dành cho việc tích hợp các chức năng.

Nếu bạn lấy đạo hàm bất kỳ hàm cơ bản nào, bạn sẽ lại có được một hàm cơ bản. Nhưng với những thứ được kết nối với nhau thì phức tạp hơn. Tích phân một hàm có nghĩa là tìm một hàm mới có đạo hàm bằng đạo hàm đã cho. Việc tìm kiếm hàm này thường dựa trên cơ sở, như chính Abel đã viết; Nhà khoa học đang chờ đợi sự hiểu biết sâu sắc cho phép anh ta tính tích phân này hay tích phân khác. Kết quả tìm kiếm đã được trình bày trong công trình cơ bản của một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 18, Leonhard Euler, “Phép tính tích phân”. Nhưng nhiều

5

Tuy nhiên, tích phân vẫn không thể tính được. Và vẫn chưa rõ vấn đề là gì: thiếu kiến ​​​​thức ủng hộ Earl hay thực tế là những tích phân này không thể được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản.

Abel tiếp cận vấn đề từ một quan điểm mới. Ông quyết định tìm ra những điều kiện nào tích phân của một hàm đã cho có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản.

Công trình của ông rõ ràng chứa đựng những ý tưởng toán học rất thú vị; Không thể đưa ra đánh giá chính xác về nó: bản thảo sau đó đã biến mất không dấu vết, và chúng ta chỉ có thể đánh giá nó qua những dòng chữ khô khan trong biên bản của hội đồng học thuật và những gợi ý rải rác trong các bản thảo khác của Abel.

Cô ấy đóng một vai trò quan trọng trong cuộc đời của Abel: sau chín tháng học tập (rõ ràng, ký ức về việc Abel thất bại với các phương trình bậc năm vẫn còn tồn tại), giáo sư đã phê duyệt công việc này và quyết định rằng Abel xứng đáng được nhà nước hỗ trợ toán học. Ngoài ra, anh còn trải qua những ngày nghỉ cuối cùng ở Copenhagen và được hứa sẽ đưa ra nước ngoài sau khi tốt nghiệp để tiếp tục việc học của mình.

Kỳ nghỉ Copenhagen (1823) đầy những ấn tượng khó quên. Abel đã gặp các nhà toán học địa phương và suy nghĩ về Định lý cuối cùng của Fermat («Kvant», 1972, số 8 và 1974, số 5, trang 29).

Mặc dù Abel không thể chứng minh định lý này (nó chưa được chứng minh và có thể hiểu được!), nhưng ông đã thu được một số kết quả thú vị. Ví dụ, ông đã chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c là nghiệm của phương trình $a^n = b^n + c^n$ (n > 2), thì a phải có một trong các công thức $\frac{1}{2} (x^n + y^n + z^n)$, $\frac{1}{2} (x^n + y^n + n^{n-1} z^n)$, trong đó x, y, z là các số nguyên tố cùng nhau. Những kết quả này chỉ được công bố sau cái chết của Abel.

Giáo sư Degen khuyên Abel nên nghiên cứu các lý thuyết về cái gọi là tích phân elip.

Các nhà toán học từ lâu đã chia tất cả các hàm thành đại số và siêu việt. Các hàm $y = f(x)$ thỏa mãn một số phương trình có dạng (1) được gọi là đại số và được gọi là siêu việt. Đặc biệt, chúng bao gồm các hàm số mũ, logarit, lượng giác và lượng giác nghịch đảo được nghiên cứu ở trường.

Khi lấy đạo hàm một số hàm siêu việt, chúng chuyển thành hàm đại số, chẳng hạn

$$\ln x)' = \frac{1}{x}, \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Nghịch đảo của vi phân được gọi là tích phân. Điều này có nghĩa là khi tích hợp, các hàm siêu việt thu được từ một số hàm đại số. Tuy nhiên, không phải mọi hàm đại số đều tích phân được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản đã học ở trường. Ví dụ: khi tính chiều dài của các hình elip khác, thu được tích phân có dạng

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}.$$

Nếu $k=0$, chúng ta nhận được một tích phân bằng arcsin x (thực tế là dịch vụ $k=0$ tương ứng với một hình elip có nửa đối xứng bằng nhau, tức là một hình tròn và arcsin x có liên quan đến độ dài của các hình tròn khác). Đối với các giá trị khác của $k$, không thể biểu diễn tích phân này thông qua các hàm cơ bản. Cần phải đưa vào một lớp hàm siêu việt - tích phân elip. Đây là tên được đặt cho tích phân chứa căn bậc hai của đa thức bậc bốn. Mục tiêu của một loạt các kết quả đầu ra thay thế trên các số nguyên như vậy đã được Euler, Gauss và Legendre đạt được.

Abel thỏa mãn mọi thứ bằng một công thức tổng quát, các trường hợp đặc biệt là các đa thức đã biết quan hệ đối với các tích phân đó. Anh ấy nhanh chóng nảy ra một ý tưởng cho phép anh ấy thay đổi hoàn toàn chủ đề của mình theo hướng này: thay vì tích phân elip, hãy nghiên cứu các hàm nghịch đảo của chúng

6

Đối với $k=0$, điều này tương ứng với quá trình chuyển đổi từ nghiên cứu hàm $y=\arcsin x$ sang nghiên cứu hàm nghịch đảo $y=\sin x$. Các hàm mới được gọi là elliptic. Vì $(\sin x)'=\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$, hàm $y=\sin x$ thỏa mãn phương trình vi phân $y'=\sqrt{1-y^2}$. Abel tự đặt ra cho mình bài toán để thu được các phương trình vi phân cho hàm số elip và giải quyết nó một cách xuất sắc. Ông cũng chứng minh rằng các hàm elip có tính tuần hoàn. Hóa ra, không giống như các hàm lượng giác, hàm elip có hai chu kỳ, một trong số chúng là số thực và chu kỳ còn lại là phức. Điều này đòi hỏi phải đi sâu vào lý thuyết về hàm biến phức, vừa được tạo ra vào thời điểm đó.

Trở về từ Copenhagen, Abel lại tiếp tục nghiên cứu các phương trình đại số. Phân tích phương trình lời giải bậc năm của mình, ông nhận ra rằng không chỉ lời giải này là sai mà còn cả cách tiếp cận chính bài toán. Đây là những gì anh ấy đã viết về nó sau này:

“Một trong những bài toán thú vị nhất của đại số là phép đại số lời giải phương trình Hầu như tất cả các nhà toán học lỗi lạc đã nghiên cứu câu hỏi này. Không gặp khó khăn gì, đã thu được các biểu thức tổng quát cho nghiệm của phương trình bốn bậc đầu tiên *). Vì lời giải một phương pháp duy nhất đã được phát hiện cho các phương trình này và người ta thấy rằng nó có thể áp dụng được cho các phương trình ở mọi mức độ; nhưng, bất chấp mọi điều kiện của Lagrange và các nhà toán học xuất sắc khác, mục tiêu vẫn không đạt được… Họ giả định giải phương trình mà không biết liệu có thể thực hiện được hay không lời giải. Nếu có lời giải có thể nhận được nó mà không cần biết trước điều gì về nó; nhưng nếu không may, lời giải không tồn tại thì toàn bộ thứ đó có thể đã được tìm kiếm sáu lần. Để đạt được những kết quả nhất định về vấn đề này, cần phải chọn một con đường khác, đưa ra một dạng vấn đề sao cho nó luôn có thể giải được và điều này có thể được thực hiện với bất kỳ vấn đề nào. Thay vì tìm kiếm

*) «Kvant», 1971, số 11, tr. 20 hay 1973, không. 3, tr. 30.

Sự tương ứng nào, không biết liệu nó có tồn tại hay không, người ta phải hỏi liệu sự tương ứng như vậy có khả thi hay không… Phương pháp này, chắc chắn là phương pháp khoa học duy nhất, vì nó chỉ cho phép người ta tự tin trước khi đạt được mục tiêu, ít được sử dụng trong toán học chỉ vì ứng dụng của nó gắn liền với những khó khăn cực kỳ…”

Abel nghỉ hưu để đề xuất những khó khăn này: ông đã chứng minh rằng phương trình tổng quát bậc năm không thể giải được bằng căn thức - lời giải một phương trình như vậy không thể được biểu diễn dưới dạng các hệ số của nó bằng cách sử dụng các phép toán số học và kiến ​​thức về nghiệm.

Vì vậy, vấn đề mà các nhà toán học đang nghiên cứu, để nhanh chóng cung cấp kết quả cho các nhà toán học, Abel đã tự mình in một cuốn sách nhỏ có phần chứng minh bằng tiếng Pháp; do thiếu kinh phí nên ông phải rút gọn bài trình bày xuống còn 6 trang và cung cấp cho người đọc những chi tiết của nhiều lập luận. Không có gì đáng ngạc nhiên khi rất ít nhà toán học có thể hiểu hết nội dung của tác phẩm này. Hơn nữa, Gauss, người quan tâm nhất đến lý thuyết phương trình đại số, đã đánh mất cuốn sách nhỏ của Abel trong số các bài báo của ông. Sau đó, Abel công bố phần phát triển cách chứng minh định lý của mình, dài hàng chục trang.

Rõ ràng là vài năm trước Abel, nhà khoa học người Inalian Paolo Ruffini đã thu được kết quả tương tự. Và mặc dù cách chứng minh của Ruffini chưa đầy đủ, nhưng định lý về tính không giải được của phương trình bậc năm theo căn thức ngày nay được gọi là định lý Ruffini-Abel.

Tuy nhiên, mặc dù phương trình tổng quát bậc 5 không thể giải bằng căn thức nhưng vẫn có một số trường hợp đặc biệt.

7

chavv trong đó lời giải như vậy có thể xảy ra. Ví dụ: chia góc $\alpha$ thành $n$ các phần bằng nhau để có nghĩa là cos $\alpha$ đến cos $\frac{\alpha}{n}$ và giải phương trình tốt hơn cho cos $\alpha/n$. Vì cos $\alpha = 4\cos^3\alpha/3$ - 3 cos $\alpha/3$, nên với $n = 3$, chúng ta thu được phương trình Cubian $4x^3 - 3x = \cos \alpha$, phương trình này, giống như trong trường hợp phương trình Cubian, được giải theo căn thức. Hóa ra những phương trình như vậy có thể được giải theo căn thức với bất kỳ giá trị nào của $n$. Các phương trình tương tự thu được khi chuyển từ hàm lượng giác sang hàm elip. Abel đã có thể viết các phương trình này bằng cách biểu diễn hàm elip của đối số $x$ dưới dạng hàm của đối số $x/n$.

Abel biết rằng câu hỏi về khả năng giải được của một phương trình theo căn thức có liên quan đến sự tương ứng giữa các nghiệm của phương trình. Ví dụ, tất cả các nghiệm của phương trình

$$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = 0,$$

phát sinh khi chia một đường tròn thành $n$ phần (phương trình pose (2) gọi là phương trình chia đường tròn), có thể biểu diễn thông qua một trong các phần đó như sau:

$$x_2 = x_1^2, \quad x_3 = x_1^3, \quad \dots, \quad x_{n-1} = x_1^{n-1}.$$

Các hàm $y = x, y = x^2, \dots, y = x^{n-1}$ là hợp lý. Hơn nữa, chúng có đặc tính đáng chú ý sau: nếu bạn lấy bất kỳ hai hàm nào như vậy, thay thế $x$ ở một trong chúng bằng một hàm khác và thay thế $x_1$ cho $x$ cùng nhau, thì số kết quả sẽ lại là một trong những nghiệm của phương trình. Trên thực tế, từ phương trình (2), suy ra $x_1^n = 1$ và sau đó là $(x_1^k)^l = x_1^{kl} = x_1^m$, trong đó $m$ là phần dư của phép chia $kl$ cho $n$.

Abel nhận ra rằng chính tính chất này có liên quan đến khả năng giải được phương trình chia đường tròn theo căn thức. Do đó, ông đã xem xét các phương trình sao cho:

a) tất cả các nghiệm của mỗi trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng hàm hữu tỷ của một trong các nghiệm, ví dụ: của $x_1$:

$$x_1 = \theta_1(x_1), \quad x_2 = \theta_2(x_1), \quad \dots, \quad x_n = \theta_n(x_1);$$

b) hàm $\theta_1(x)$, $\dots, \theta_n(x)$ sao cho với mọi $k$ và $l$ đều tồn tại một $m$ sao cho $(l \theta_k(x_1)) = \theta_m(x_1)$.

Hóa ra để phương trình có thể giải được bằng căn thức, chỉ cần đáp ứng thêm một điều kiện nữa là đủ: với mọi $k$ và $l$ $\theta_k(\theta_l(x_1)) = \theta_l(\theta_k(x_1))$. Nói cách khác, điều cần thiết là việc chúng ta thay thế $\theta_k(x_1)$ thành $\theta_l(x)$ hay $\theta_l(x_1)$ thành $\theta_k(x)$ đều không thành vấn đề. Từ đó sự hoàn thiện của sự biến đổi, kết quả sau

mà việc thực hiện tuần tự của nó không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện phép biến đổi được gọi là Abelian (hoặc giao hoán).

Khi nghiên cứu các hàm elip và nội cực, Abel đã sử dụng rộng rãi lý thuyết chuỗi lũy thừa. (Lũy thừa tiếp theo là biểu thức có dạng $\sum a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + \dots$)

Ông đã chứng minh rằng tập hợp các giá trị $x$ mà chuỗi $^*$) hội tụ

$$a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + \dots,$$

là một khoảng có dạng $(-l, l)$ (trong đó $l$ cũng có thể bằng 0 hoặc vô cùng) hoặc cùng một khoảng mà một hoặc cả hai đầu được gắn vào. Ông đã chứng minh rằng trong khoảng hội tụ, chuỗi lũy thừa có thể vi phân và nội hóa, đồng thời hành vi của tổng của chuỗi có thể được sử dụng khi $x$ tiến đến điểm cuối của khoảng hội tụ. Tất cả những kết quả này, sau khi thụ phấn, đã trở thành cổ điển và được đưa vào tất cả các khóa học tính toán toán học.

Vòng tròn được mô tả và Abel đã phát triển trong thời gian 1824-1826, khi sau khi tốt nghiệp đại học, ông ra nước ngoài để tiếp tục học. Ông quảng bá ở Đức, Áo, Ý, Thụy Sĩ, Pháp, Bỉ và làm quen với Jacob Steiner, Andrien Legendre, Augustin Cauchy và nhiều nhà toán học khác.

Vào ngày 30 tháng 10 năm 1826, tại cuộc họp tiếp theo của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, thư ký thường trực Fourier đã trình bày về nhà toán học người Na Uy Niels Henrik Abel của ông và “Hồi ký về các tính chất chung của thang đo của một lớp rộng các hàm siêu việt”. Legendre và Cauchy được giao nhiệm vụ đưa ra ý kiến ​​về cách trình bày tác phẩm.

*) Điều này có nghĩa là có

$$\lim_{n \to \infty} \left( a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n \right).$$

8

Đài tưởng niệm Abel ở Oslo

Cauchy được chấp thuận làm diễn giả. Sẽ rất khó để tìm được một ứng cử viên kém phù hợp hơn: Cauchy quá đam mê nghiên cứu của riêng mình đến nỗi ông không còn thời gian cho bất cứ việc gì khác. Cuốn “Hồi ký” của Abel bị thất lạc giữa đống bản thảo ngổn ngang văn phòng của Cauchy. Abel đã mong muốn sự công nhận của các nhà khoa học Pháp một cách vô ích: “Hồi ký” chỉ được tìm thấy sau khi ông qua đời *).

Thật không may, những cuộc gặp gỡ với các nhà toán học Pháp đã giúp ích rất ít cho Abel. Một số người trong số họ đã ngừng nghiên cứu khoa học và theo đuổi sự nghiệp riêng của mình. Những người khác chỉ quan tâm đến toán học ứng dụng - đối với họ, nghiên cứu của Abel dường như hoàn toàn không thể áp dụng được vào thực tế. Họ không thể lường trước được rằng sau một trăm năm gặp gỡ lý thuyết với người Pháp, vai trò của Cauchy đã được thể hiện trong số phận của một thiên tài trẻ khác - Evariste Galois («Kvant», 1973, số 10, tr. 5).

Các phương pháp nhóm Tico, bắt nguồn từ công trình của Lagrange, Abel và Galois, sẽ trở thành nền tảng của mọi phương pháp tính toán của cơ học lượng tử.

Hồi ký của một nhà toán học về thời kỳ sống ở Paris của Abel đã được lưu giữ: “Abel nói tiếng Pháp, tiếng Đức, tiếng Đan Mạch và tiếng Na Uy đều tốt. Anh ta có chiều cao trên trung bình một chút, khuôn mặt gầy gò, ốm yếu mang dấu ấn của sự mệt mỏi và lo lắng. Anh ta cư xử với tốc độ phi thường và dễ bị lạc, thể hiện một tính cách hiền lành đáng kinh ngạc. Xét theo phong cách ăn mặc đơn giản của anh ta, anh ta cho phép mình mua một ít đồ ăn không quá một lần mỗi ngày và hài lòng với một căn hộ tồi tàn ở Rue.” Sainte-Marguerite, anh ta có sẵn những phương tiện rất ít ỏi. Tuy nhiên, Abel đã gặp một người đàn ông cho anh ta xem những dấu vết bị đánh đập trên cơ thể và khuyên anh ta nên cẩn thận với bọn cướp.

9

“Tôi không có gì phải sợ. Bọn cướp có thể lấy đi thứ gì của tôi? - Abel mỉm cười trả lời anh ta.

Anh ấy thực sự đã chờ đợi nhà hiền triết đó, tất cả kho báu của người đó đều được cất giữ trong đầu anh ấy. Nếu nói về sự giàu có như vậy thì Abel thực sự sở hữu một khối tài sản không thể kể xiết.

Trong thời gian ở lại Paris, Abel tiếp tục nghiên cứu lý thuyết tổng quát về hàm elip. Trong một bức thư gửi Bernt Holmboe, ông nói: “Tôi đã phát hiện ra rất nhiều định lý tuyệt vời đến mức tôi không thể tin được”.

Chẳng bao lâu sau, Abel nhận ra rằng số tiền được cấp cho anh cho chuyến công tác nước ngoài sẽ không đủ trong suốt thời gian qua và quyết định trả lại về nước. Trên đường về ông bị bệnh lao phổi. Căn bệnh này sau đó đã đưa anh ta xuống mồ.

Vào ngày 20 tháng 5 năm 1827, Abel trở lại Oslo. Sau màn chào đón nồng nhiệt và nghi thức đón tiếp, một ngày đáng thất vọng bắt đầu. Nils nhận ra rằng anh ấy không bao giờ thiếu thốn; anh ta thậm chí còn không được mời làm việc với mức lương cố định, chẳng hạn như giáo viên đại học hay thậm chí là giáo viên phổ thông. Abel buộc phải nộp đơn vào trường Cao đẳng: “Hiện tại, tôi không có bất kỳ phương tiện sinh hoạt nào. Tôi đã ở vị trí này kể từ khi tôi trở về nhà và sẽ ở lại cho đến khi tôi sẵn sàng. Để kiếm sống bằng cách nào đó, tôi sẽ phải từ bỏ gần như hoàn toàn việc theo đuổi khoa học… Đó là lý do tại sao tôi dám tìm đến Collegium rất được kính trọng với yêu cầu cung cấp cho tôi sự hỗ trợ dưới hình thức thuận tiện nhất.” Vào ngày 4 tháng 9 năm 1827, Trường chấp nhận lời giải trả cho Abel 200 dalers mỗi năm - giống hệt số tiền ông nhận được khi còn là sinh viên.

Vào tháng 3 năm 1828, Giáo sư Christopher Hansteen, người giám sát các nghiên cứu khoa học của Abel tại trường đại học, đã thực hiện chuyến thám hiểm tới Siberia. Hanstin tiến cử Abel làm cấp phó trong suốt chuyến đi khoa học.

Niels bắt đầu giảng dạy các lớp về cơ học và thiên văn học tại trường đại học và Học viện Quân sự, nơi Hatzsteen từng giảng dạy trước đây. Bây giờ Abel đã nhận được một mức lương đáng kể vào thời điểm đó: 533 daler mỗi năm, nhưng anh ấy vẫn sống rất nghèo. Tất cả số tiền đó đều được dùng để trả các khoản nợ tích lũy.

Cùng năm đó, Niels Henrik Abel được bầu vào Hiệp hội Khoa học Hoàng gia Na Uy. Đây là sự công nhận chính thức duy nhất về những cống hiến của Abel mà ông nhận được trong suốt cuộc đời của mình.

Nhưng tháng 3 năm 1828 không chỉ mang lại cho Abel niềm vui: khi xem qua tạp chí Tin tức thiên văn, ông phát hiện ra rằng một nhà khoa học khác đang nghiên cứu rất thành công về chủ đề của mình - nhà toán học người Đức Carl Gustav Jacobi.

Toàn bộ năm 1828 trôi qua trong sự nuôi dưỡng của hai nhà khoa học trẻ. Ẩn sĩ Gauss của Göttingen đã hết sức quan tâm đến “cuộc thi” này: xét cho cùng, nhật ký thời trẻ của ông, được viết khi cả Abel và Jacobi đều chưa có mặt trên thế giới, chứa đựng nhiều khám phá mà ông đã thực hiện. Nhưng Gauss không vội công bố kết quả của mình: chúng chỉ được biết đến sau khi nhật ký của ông được xuất bản sau khi ông qua đời. Cả Abel và Jacobi đều không còn sống vào thời điểm đó. Họ không biết gì về công trình của người tiền nhiệm vĩ đại của họ, mặc dù không chỉ các định lý của họ mà thậm chí đôi khi ký hiệu của họ trùng khớp với ký hiệu của Gauss. Tuy nhiên, trong một lĩnh vực, Abel Prev không chỉ nổi lên ngang hàng với Jacobi mà còn ngang hàng với Gauss. Ông đã phát triển một lý thuyết tổng quát về các mục tiêu liên kết từ các hàm đại số, một trường hợp đặc biệt là hàm elip. Đó là chủ đề chưa được đọc trong các bài báo của Cauchy.

10

Việc cạnh tranh với Jacobi không hề dễ dàng đối với Abel. Anh ngủ không đủ giấc, không đủ quần áo; tất cả những điều này đã ảnh hưởng đến sức khỏe của anh ấy. Abel thường xuyên bị sốt và cơn ho của anh ngày càng trầm trọng hơn.

Vào giữa tháng 12 năm 1828, Abel quyết định đến gặp bạn bè ở Froland để nghỉ lễ Giáng sinh. Dù Abel phản đối chuyến hành trình này nhưng Nils vẫn quyết định đi.

Anh ấy đến Froland vào ngày 19 tháng 12. Trên đường đi, Abel bị cảm lạnh nặng. Anh ấy bị ho và ớn lạnh làm phiền, nhưng Nils vẫn tiếp tục nghiên cứu toán học.

Chuyến khởi hành từ Frolanda được ấn định vào ngày 9 tháng 1. Vào ngày này, một chiếc xe trượt tuyết có dây nịt đang đợi Abel vào buổi sáng. Nhưng ngay trước khi rời đi, Nils bị ốm. Bác sĩ kê đơn nghỉ ngơi tại giường và nghỉ ngơi hoàn toàn.

Thực ra đó là hai hoặc ba tuần, nhưng hóa ra chỉ tồn tại trong thời gian ngắn. Vào ngày 21 tháng 2, do tình trạng khẩn cấp, Nils đã viết trong một lá thư gửi Trường rằng vì bệnh tật, Abel không thể bắt đầu hoàn thành nhiệm vụ của mình tại trường đại học trước mùa xuân năm 1829.

Hy vọng gọi được Abel sẽ không thành hiện thực. Nils ngày càng yếu đi. Vào tháng Ba, anh hầu như không rời khỏi giường. Vào lúc 4 giờ chiều ngày 6 tháng 4, Abel qua đời.

Thiên tài của Abel chỉ được công nhận sau khi ông qua đời. Vào ngày 11 tháng 6 năm 1829, tại cuộc họp của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, Legendre tuyên bố về cái chết của Abel. Bây giờ Cauchy chỉ mất một tuần để chuẩn bị kết luận của mình. Tại cuộc họp tiếp theo, Học viện nghe được thông điệp của Cauchy và chấp nhận lời giải xuất bản “Hồi ký” của Abel trong một loạt tác phẩm của các nhà khoa học nước ngoài và trao giải thưởng lớn cho Abel, cùng với Jacobi, cho những khám phá toán học xuất sắc.

Để kết luận, chúng tôi trình bày một số phát biểu toán học về Abel.

Từ lá thư của Gauss gửi Schumacher: “…Tôi chưa thấy một tin tức nào trên báo chí về cái chết của Abel. Đây là một mất mát lớn đối với khoa học. Nếu tiểu sử của người đàn ông xuất sắc này được xuất bản ở đâu đó và bạn có được một bản sao, hãy cho tôi biết.”

Từ lá thư của Legendre gửi Jacobi: “…Trước sự đau buồn lớn nhất của tôi, tôi nhận được tin rằng đối thủ xứng đáng của bạn, ông Abel, đã qua đời ở Oslo vì một căn bệnh nặng hơn, căn bệnh mà ông ấy đã phải chịu đựng một thời gian và càng trở nên trầm trọng hơn bởi mùa đông khắc nghiệt. Đây là một mất mát nặng nề đối với tất cả những người coi trọng việc phát triển các ngành phân tích toán học cao hơn. Sống một cuộc đời rất ngắn ngủi, ông đã làm được rất nhiều điều đến mức điều này đủ để để lại ký ức lâu dài về ông; Thật dễ dàng để tưởng tượng những gì ông sẽ đạt được nếu số phận đã quyết định nếu không thì.”

Từ lá thư của Jacobi gửi Legendre: “…Tin buồn đến về cái chết của Abel… Phạm vi vấn đề mà anh ấy giải quyết rộng đến mức đáng kinh ngạc! Tìm ra một điều kiện cần và đủ cho phép người ta đề xuất liệu một phương trình đại số đã cho có thể được giải dưới dạng căn thức hay không, một điều kiện tương tự để xác định khả năng biểu diễn một khoảng tùy ý ở dạng đóng, được thay thế bằng việc phát hiện ra tính chất tổng quát của tất cả các hàm là các hàm liên đại số, v.v., v.v. Tất cả những vấn đề này cực kỳ bất thường đối với Abel, thậm chí không có ai dám đặt họ trước mặt anh ấy, anh ấy đã rời bỏ chúng tôi, nhưng dấu vết anh ấy để lại là không thể xóa nhòa.”

Bạn có thể đọc về Abel trong cuốn sách “Nhà toán học đáng chú ý Nils Henrik Abel” của O. Ore (M., Fizmatiz, 1961).