Thật là một giải đấu đáng kinh ngạc...

Kvant 1976, số 9 tr. 39-45 Thẻ 94JV

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Giữa lần đầu tiên làm quen với một bài toán “không chuẩn”, “không chuẩn” và phần trình bày ngắn gọn, cuối cùng về nó lời giải là một dải tiếng Nhật về lời giải này. Làm thế nào để tiến hành tìm kiếm này? Không có phương pháp duy nhất, “phổ quát” nào để đạt được mục tiêu này. Tuy nhiên, có những kỹ thuật chung đơn giản giúp bạn tìm ra cách đạt được lời giải một bài toán cụ thể, nhất định. Những kỹ thuật như vậy được thảo luận trong những cuốn sách xuất sắc của D. Polya “Cách giải bài toán”, “Toán học và lý luận hợp lý”, “Khám phá toán học”, cũng như một số cuốn sách và bài báo của các tác giả khác. Trong bản phác thảo này, nhằm thu hút sự chú ý của người đọc, chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu xem các kỹ thuật chung đó hoạt động như thế nào.

Cuộc gặp đầu tiên
Ngày 11 tháng 3, 8 giờ sáng
Hàng ngày họ đi dọc theo cùng một con phố yên tĩnh - học sinh lớp nông thôn Sasha Tikhomirov và giáo viên toán Georgy Danilovich Selivanov. Họ đã yêu nhau từ lâu, và kể từ năm ngoái, Sasha bắt đầu tham gia vòng tròn toán học của thành phố, do Georgy Danilovich dẫn đầu. Hôm nay nhìn thấy Sasha, cô giáo chỉ điểm hỏi:

À, bạn đã gửi bài kiểm tra đầu vào đến Trường Cao đẳng chưa? Rốt cuộc, thời hạn sẽ hết hạn vào ngày 20 tháng 3 *).
“Chưa,” Sasha trả lời, “trong số 11 bài toán Cho đến nay tôi đã giải được 10, nhưng tôi không thể lưu vào bộ đệm đầu tiên.”
Cái gì quỷ quyệt thế này bài toán?
Sasha lấy từ trong cặp ra cuốn tạp chí «Kvant» số 1 năm 1974, mở đến trang 73 và bắt đầu đọc.
“Bài toán 1. Ba người bạn chơi một số ván cờ nhất định và mỗi người chơi với nhau số ván như nhau. Họ bắt đầu quyết định xem ai thắng. Người đầu tiên nói: “Tôi có nhiều hơn mỗi người trong số các bạn đã làm được điều đó.” Người thứ hai nói: “Tôi có ít hơn các bạn, nhiều hơn các bạn”. Nhưng khi tính điểm, hóa ra okonven ghi được nhiều giải nhất (thắng - 1 điểm, hòa - 1/2 điểm, thắng - 0). Có thể làm người mẫu được không? Nếu không thì hãy chứng minh điều đó; nếu có, xin vui lòng cho một ví dụ.”
— Tò mò bài toán! - Selivanov nói. “Bạn biết đấy, ngay cả tôi cũng không biết cách giải quyết nó ngay lập tức.” Hãy đến với tôi tối nay, chúng ta hãy cùng nhau suy nghĩ về điều đó.

*) Điều này đề cập đến Trường Toán học Tương ứng Toàn cầu (VZMS).

Cuộc gặp thứ hai
Ngày 11 tháng 3, 7 giờ tối.
Sasha kể sau khi ngồi xuống chiếc ghế “của mình” trong phòng Selivanov.

— Tôi đã xem xét các trường hợp cụ thể khi mỗi người chơi 2, 3, 4, 5 ván với nhau. Nhưng tôi chưa bao giờ thành công theo cách yêu cầu với điều kiện bài toán.

“Nhưng có lẽ,” giáo viên nghĩ một cách khô khan, “điều này sẽ hiệu quả với số lượng trò chơi lớn hơn?”

“Có lẽ,” Sasha thở dài. — Người ta nói rằng ai đó đã xem qua 237 lựa chọn cho các chuyến tham quan có thể thực hiện được cho đến khi tìm được lựa chọn được yêu cầu. Nhưng có phải mọi thứ đều là lời giải? Toán học phải đề xuất một con đường thông minh hơn! Làm thế nào tôi có thể tìm thấy nó? Tôi thậm chí không biết bắt đầu từ đâu.

Bạn thấy đấy, một trong những câu hỏi hữu ích đầu tiên bạn nên tự hỏi mình ở lời giải bất kỳ bài toán nào là: “Điều gì đang được tìm kiếm trong bài toán?” Bạn sẽ trả lời nó như thế nào?

“Đang tìm…” Sasha nhún vai. — Chúng tôi đang tìm kiếm một thứ khá chưa được đào tạo: tuir.

Phải. Và đây là một câu hỏi quan trọng khác: “Có thể giảm lời giải bài toán cho một số con số trong tiếng Nhật không?”

“Tôi nghĩ tôi có thể làm được,” anh nói. Sasha. - Để khôi phục lại vita tourir, tôi cần tìm hiểu xem người đầu tiên đã thắng mỗi người trong số hai người còn lại bao nhiêu ván, anh ta thua mỗi người bao nhiêu ván, anh ta đã chơi bao nhiêu trận hòa với mỗi người trong số họ. Đã có 6 ẩn số rồi. Và tốt hơn nữa, những ẩn số cũng phải được nhập vào thứ hai và thứ ba… 18 ẩn số đã được thu thập! Quá nhiều…

“Liệu có thể “thu thập tất cả những điều chưa biết này thành một tay không,” giáo viên khô khan nghĩ - Sẽ thật tuyệt nếu tưởng tượng chúng một cách rõ ràng, mô tả chúng trên sơ đồ…

“Tôi có thể làm được việc này,” Sasha nói. — Gần đây, Kolya, Vitya và tôi đã đấu với nhau hai ván và đây là bàn cuối cùng mà chúng tôi có được (xem Bảng 1). Tôi đã thắng một ván đấu với mỗi người trong số họ, trong bảng điều này được biểu thị bằng “+1” và một ván đấu par, điều này được biểu thị bằng “-1”. Và chúng tôi biểu thị những người chơi bằng số bằng dấu bằng, ở đây trong bảng có ghi “=2” - Kolya và Vitya đã chơi cả hai trò chơi. Và trong bài toán của chúng ta, chúng ta có thể tạo một bảng tương tự (xem Bảng 2), mỗi dòng chứa thông tin chúng ta cần về trò chơi - anh ta đã thua bao nhiêu ván và thua với ai, thắng bao nhiêu, kiếm được bao nhiêu. Đúng, tất cả những con số này đều không xác định và được biểu thị bằng các chữ cái. Ví dụ, người chơi thứ hai thắng người thứ ba s ván, thua anh ta f ván và chơi k ván với anh ta. MỘT

| | Sasha | Kolya | Vitya | Tổng cộng | điểm |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Sasha | | +1 -1 =0 | +1 -1 =0 | +2 -2 =0 | 2 |
| Kolya | +1 -1 =0 | | +0 -0 =2 | +1 -1 =2 | 2 |
| Vitya | +1 -1 =0 | +0 -0 =2 | | +1 -1 =2 | 2 |

Bảng 1.

Bảng 2.

rốt cuộc hóa ra ẩn số không phải là 18,
nhưng chỉ có chín!
“Đó là một kế hoạch tốt,” anh tán thành.
bàn Georgy Danilovich, - Cái gì
bạn dự định làm gì tiếp theo?
— Ghép số $a, b, \dots, k$
sao cho mọi điều kiện bài toán đều được thỏa mãn. Hoặc có thể một cái gì đó như thế này
không có bộ số? Vậy thì làm thế nào để chứng minh điều đó? Tôi không thấy…

Bạn biết gì về những trường hợp ngoại lệ?
con số? Có thể viết điều này xuống
ở dạng phương trình hay bất đẳng thức? Hãy suy nghĩ về điều đó ở nhà và chúng ta hãy gặp nhau vào ngày mai.

Cuộc họp ba
Ngày 12 tháng 3, 7 giờ tối.

Tôi đã điền vào các ô trống ở nhà
ở bảng 2,” Sasha nói, “và từ
điều kiện bài toán các bất đẳng thức dẫn đến

$\begin{cases} a+b>c+d, \\ a+b>e+f, \\ a+f<d+e, \\ a+f<b+c, \\ e+\frac{1}{2}h+f+\frac{1}{2}k> \\ >a+\frac{1}{2}g+b+\frac{1}{2}h, \\ e+\frac{1}{2}h+f+\frac{1}{2}k> \\ >d+\frac{1}{2}g+c+\frac{1}{2}k. \end{cases}$

Chỉ thế thôi à? - giáo viên hỏi.
Không. Nếu chúng ta biểu thị bằng $n$ số trận đấu của mỗi người
người chơi với nhau, sau đó
$a+d+g=b+e+h=c+f+k=n.$

Hơn nữa, cả 10 số này đều là số nguyên và
không tiêu cực. Với sự giúp đỡ của
Tôi đã cố gắng rút ra các đẳng thức cuối cùng từ các bất đẳng thức $g, h$ và $k$ . Kết quả là hệ thống sau:

$\begin{cases} a+b-(c+d)>0, \\ a+b-(e+f)>0, \\ d+e-(a+f)>0, \\ b+c-(a+f)>0, \\ d+2e+f-(a+2b+c)>0, \\ a+2f+e-(b+2c+d)>0, \\ a+d+g=b+e+h= \\ =c+f+k=n. \end{cases}$

Cậu định giải quyết thế nào?
Tôi thậm chí không thể tưởng tượng được. Rốt cuộc
Chúng tôi đã không trải qua điều này ở trường.
— Có thể giảm bài toán này thành một cái khác đơn giản hơn không?
“Đơn giản hơn” nghĩa là gì? Tại sao có ít sự bất bình đẳng hơn? Hoặc
Tại sao có ít điều chưa biết về bất bình đẳng?
Vui lòng.
Sáu dòng đầu là sáu bất đẳng thức có sáu ẩn số. Nếu chúng ta giải hệ này, tức là tìm $a, b, c, d, e, f$ , thì trong các đẳng thức cuối cùng, chúng ta có thể đặt $n$ bằng một số tự nhiên đủ lớn và tìm $g, h$ và $k$ . Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ cần giải hệ sáu bất phương trình với sáu ẩn số.
— Có thể đơn giản hóa các bất đẳng thức bằng cách đưa ra những ẩn số mới không?
Tôi sẽ cố gắng. Bất đẳng thức đầu tiên liên quan đến bốn ẩn số. Có lẽ sẽ dễ dàng hơn nếu chỉ giải quyết với hai người. Và bức tranh tương tự ở các bất đẳng thức khác. Tôi sẽ đặt nó xuống

$\begin{cases} a+b=x, \\ c+d=y, \\ e+f=z, \\ a+f=t, \\ d+e=u, \\ b+c=v. \end{cases}$

Khi đó bất đẳng thức của hệ (1) sẽ trở nên đơn giản hơn:

Hoặc bạn có thể đơn giản hóa hơn nữa, đưa ra những ẩn số… ở đây, sẽ chỉ có bốn ẩn số:

$\begin{cases} x - y > 0, \\ x - z > 0, \\ u - t > 0, \\ v - t > 0, \\ z + u - (x + v) > 0, \\ z + t - (y + v) > 0. \end{cases}$

Hoặc bạn có thể đơn giản hóa hơn nữa, đưa ra những ẩn số… ở đây, sẽ chỉ có bốn ẩn số:

$\begin{cases} x - y = \alpha, \\ x - z = \beta, \\ u - t = \gamma, \\ v - t = \delta, \end{cases}$

thì hệ (3) sẽ có dạng

$\begin{cases} \alpha > 0, \\ \beta > 0, \\ \gamma > 0, \\ \delta > 0, \\ \gamma - (\beta + \delta) > 0, \\ \alpha - (\beta + \delta) > 0. \end{cases}$

Và việc chọn lời giải hệ thống (5) là yêu cầu của chúng tôi,” Sasha vui vẻ kết thúc.

Làm thế nào vậy: một yêu cầu?
Nhìn này, Georgy Danilovich. Rốt cuộc, bạn có thể lấy bất kỳ số tự nhiên nào, chẳng hạn như số một, dưới dạng số β và δ, sau đó lấy bộ ba γ và α… lớn hơn một chút.
Có, bạn có thể. Tiếp theo là gì?
— Tiếp theo tôi sẽ tìm x, y, z, u, t, v từ hệ (4), rồi từ hệ (2) tôi sẽ tìm a, b, c, d, e, f. Giải quyết nó là một vấn đề vô ích.
“Hãy nói đi,” giáo viên nói. - Tôi muốn xem kết quả thế nào. Chúng tôi sẽ mang nó vào ngày mai.

Cuộc họp bốn

Ngày 15 tháng 3, 7 giờ tối.
“Bạn thấy đấy,” Sasha bắt đầu với một nụ cười, “hệ thống (4) có vẻ đơn giản, nhưng không thể tìm ra những điều chưa biết từ nó.” Chỉ có bốn phương trình nhưng có sáu ẩn số và không tìm được chúng.

— Đúng, những hệ thống như vậy được gọi là “không chắc chắn” vì những hệ thống chưa biết chắc chắn không được tìm thấy. Những hệ thống như vậy hoặc có vô số lời giải hoặc không có.

Tại sao tôi cần “vô số”? Một là đủ cho tôi. Có thể lấy x và t tùy ý? Sau đó hệ thống có thể được giải quyết?
Vâng, trong mọi trường hợp, bạn sẽ có bốn phương trình và bốn ẩn số trong hệ (4). Nhưng liệu sau này có giải được hệ (2) không? Hiện tại, tôi khuyên bạn nên gửi 10 bài toán còn lại đến Thang đo tương ứng lời giải, vì họ viết rằng không cần thiết phải giải hết bài toán.

Cuộc họp thứ năm

Ngày 21 tháng 3, 7 giờ tối.

Georgy Danilovich! Tôi đang nhận được một số điều vô nghĩa!
Có chuyện gì vậy?
— Tôi đặt x=4, t=1. Nhưng với β=δ=1 và α=γ=3 từ hệ (4), chúng ta nhận được y=1, z=3, u=4, v=2. Hệ (2) có dạng

$\begin{cases} a + b = 4, \\ c + d = 1, \\ e + f = 3, \\ a + f = 1, \\ d + e = 4, \\ b + c = 2. \end{cases}$

Tôi đã xoay chuyển theo hướng này và hướng khác, nhưng tôi không thể quyết định được! Sau đó tôi cố gắng tìm tổng của cả sáu ẩn số. Tôi đã thêm phương trình đầu tiên và nhận được a+b+c+d+e+f=8.

Và tôi đã cộng ba số cuối cùng và được a+b+c+d+e+f=7.

Nó không phải như vậy! Vì vậy hệ thống

(6) không có lời giải và giải đấu bắt buộc không thể tồn tại! Thế còn việc nói rằng ai đó đã tìm thấy nó thì sao?

Ồ, anh không hoàn toàn đúng. Hệ thống (6) thực tế không có lời giải; nhưng bạn đã chọn x và t hoàn toàn tùy ý. Có lẽ họ nên được lựa chọn cẩn thận hơn?
Làm thế nào để chọn chúng? Rốt cuộc, tôi không còn phương trình nữa.
Tại sao? Bạn biết rằng nó phải là x+y+z=t+u+v. Hoặc có thể có một số trận đấu khác?
Làm thế nào để tìm kiếm những thư từ như vậy?

“Làm thế nào để tìm thấy chúng lại là một câu hỏi khác.” Bây giờ chúng ta cần tìm ít nhất một lời giải bài toán. Nhân tiện, thời hạn nộp lời giải cho Trường Báo chí đã hết. Tôi hy vọng bạn đã gửi tác phẩm của bạn?

Có, lời giải mười bài toán Tôi đã gửi. Nhưng tôi không thể loại bỏ bài toán về những người chơi cờ ra khỏi đầu. Tất nhiên bây giờ là thời gian của hiệp đấu, tôi phải chuẩn bị cho bài kiểm tra, nhưng tôi chỉ nghĩ về giải đấu này.
Nào, chúng ta cùng suy nghĩ nhé. Tại sao phải giải hệ (4) cho tập hợp số ngẫu nhiên x, t, α, β, γ, δ? Chẳng phải tốt hơn là biểu diễn y, z, u, v theo x, t, α, β, γ, δ, thay chúng vào hệ (2) và giải nó bằng cách loại bỏ những ẩn số sao? Bạn sẽ sớm được đi nghỉ, bạn sẽ có nhiều thời gian, hãy thử đi. Bây giờ, hãy đặt bài toán đó sang một bên và sẵn sàng cho bài kiểm tra của bạn.
Được rồi, tôi sẽ làm việc đó.

Cuộc họp sáu

Ngày 3 tháng 4, 2 giờ chiều.

Georgy Danilovich! “Tôi đã tìm thấy nó,” giáo viên hét lên khi kết thúc. — Tôi đã giải quyết được điều này bài toán!
Và loại đáp số nào?
Điều này có thể xảy ra! Đây là bảng xếp hạng (xem Bảng 3). Và có lẽ đó không phải là khả năng duy nhất.
Làm sao anh tìm được cô ấy?
Và tôi quyết định ban đầu không tìm f, tạm coi như đã biết rồi mới nhặt. Ngoài ra, phương trình mà chúng tôi tìm thấy - x+y+z=t+u+v, cho kết quả sau khi thay thế (từ hệ (4))

3x=3t+α+β+γ+δ, từ đó

x=t+\frac{1}{3}(\alpha+\beta+\gamma+\delta),

và rõ ràng tổng trong ngoặc phải chia hết cho 3. Và sau đó, tuần tự từ các phương trình thứ tư, thứ nhất, thứ sáu, thứ hai và thứ năm của hệ (2), sử dụng (4), tôi tìm thấy:

$\begin{align*} a &= t-f, \\ b &= x-a = \frac{1}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) + f, \\ c &= v-b = t-\frac{1}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) - f + \delta, \\ d &= y-c = \frac{2}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) - \alpha-\delta + f, \\ e &= u-d = t-\frac{2}{3}(\alpha+\beta) + \gamma+\delta) - f + \alpha+\delta + \gamma. \end{align*}$

Sau đó, tôi chọn các số tự nhiên α, β, γ, δ, t, f sao cho các số a, b, c, d, e là số nguyên và không âm. Tôi đặt α=5, β=1, γ=4, δ=2, t=10, f=2.

Bảng 3.

Và sau đó tôi lấy $n=18$ và từ các đẳng thức của hệ (1) tôi tìm thấy
$g=7, h=1, k=10.$
Thế thôi!
“Vâng, đúng vậy,” Georgy Danilovich mỉm cười. — Chỉ có điều tôi đặt $n=17$ và giảm số lượng. Rốt cuộc, $h$ có thể bằng 0!

“Một lần nữa - và tốt hơn!”
(D. Polya)

Họ quay trở lại bài toán “khoảng ba người chơi cờ” một năm rưỡi sau, khi họ đang nghĩ về bài học tiếp theo của câu lạc bộ toán. Sasha đang chuẩn bị một tin nhắn về các kỹ thuật tìm kiếm chung lời giải bài toán. Sau khi xem qua lời giải cũ, họ nghĩ ra nhiệm vụ sau: chỉ ra cách tìm giải đấu tình dục thỏa mãn điều kiện bài toán 1.
“bài toán này,” Sasha lưu ý, “rất giống, tương đương với điều này: để chỉ ra cách tìm kiếm trong các giải đấu tình dục thỏa mãn các điều kiện bài toán (1).
“Tất nhiên,” Georgy Danilovich xác nhận.
Sasha tiếp tục: “Một tình huống khiến tôi bối rối về lý luận cũ của chúng tôi. — Chúng ta đã nhập các ẩn số phụ $x$ , $y$ và $t$ . D., và sau đó được giải thoát khỏi chúng. Điều gì sẽ xảy ra nếu họ ngay lập tức được giải thoát khỏi chúng? Sau đó, chẳng hạn, cùng với các bất đẳng thức $a+b-(c+d)>0$ , chúng ta ngay lập tức thu được đẳng thức $a+b-(c+d)=\alpha$ . Và tương tự với các bất đẳng thức còn lại của hệ (1).
“Ý kiến hay đấy,” giáo viên nói. - Tôi đã sử dụng nó để đưa ra kết quả cuối cùng nhỏ gọn lời giải bài toán trong lớp vòng tròn.
…Đây là lời giải.
“Bài toán rút gọn thành việc tìm tất cả các bộ mười số nguyên không âm có thể có
$a, b, c, d, e, f, g, h, k, n, (*)$
hệ thống thỏa mãn (1) (ở đây Sasha đã giải thích chính xác cách cô ấy

Thật không may, chúng tôi không trình bày câu chuyện này).
Hãy viết nó dưới dạng một hệ thống điều khiển
$\begin{cases} a+b-c-d & =\alpha, \quad (8_1) \\ a+b & -e-f =\beta, \quad (8_2) \\ -a & +d+e-f =\gamma, \quad (8_3) \\ -a+b+c & -f =\delta, \quad (8_4) \\ -a-2b-c+d+2e+f =p, \quad (8_5) \quad (8) \\ a-b-2c-d+e+2f =q, \quad (8_6) \\ g=n-a-d, \quad (8_7) \\ h=n-b-e, \quad (8_8) \\ k=n-c-f \quad (8_9) \end{cases}$

và chúng ta sẽ tìm nó lời giải trong số nguyên không âm cho số tự nhiên $\alpha, \beta, \gamma, \delta, p, q$ . Trước tiên, hãy giải hệ sáu phương trình đầu tiên cho $a, b, c, d, e, f$ .

Cộng các phương trình (8 $_2$ ) và (8 $_4$ ) theo từng số hạng và trừ tổng này khỏi phương trình (8 $_3$ ), chúng ta thu được
$-a-2b-c+d+2e+f=\gamma-(\beta+\delta),$
và trừ số tiền này khỏi phương trình (8 $_1$ ), chúng ta thu được
$a-b-2c-d+e+2f=\alpha-(\beta+\delta).$
So sánh hai phương trình này với (8 $_5$ ) và (8 $_6$ ), ta thấy để hệ (8) tương thích thì cần phải thỏa mãn các đẳng thức
$\gamma=\beta+\delta+p, \alpha=\beta+\delta+q,$
và khi đó các phương trình (8 $_5$ ) và (8 $_6$ ) sẽ tuân theo các phương trình (8 $_1$ ) - (8 $_4$ ). Trong bốn phương trình này, bất kỳ ẩn số nào trong số sáu ẩn số $a, b, c, d, e, f$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng une-l theo hai ẩn số còn lại và các số hạng tự do. Cũng lưu ý rằng từ các phương trình (8 $_5$ ) và (8 $_6$ ) suy ra
$-b-c+e+f=\frac{p+q}{3},$
từ đó rõ ràng số $s=\frac{1}{3}(p+q)$ là số tự nhiên và $q<3s$ , $p=3s-q$ . Bây giờ hãy biểu thị $a, b, d, e$ theo $c, f, \beta, \delta, q, s$ (không bao gồm các biến). chúng tôi nhận được

$a = c + \beta + s, \quad (9_1)$
$b = f + \beta + \delta + s, \quad (9_2)$
$d = f + \beta + 2s - q, \quad (9_3)$
$e = c + \beta + \delta + 2s. \quad (9_4)$

Có thể thấy rằng $b + e > a + d > c + f$ , tức là $k > g > h$ . Bây giờ từ phương trình $(8_8)$

$n = c + f + h + 2\beta + 2\delta + 3s, \quad (9_5)$

và từ $(8_7)$ và $(8_9)$

$g = h + 2\delta + q, \quad (9_6)$
$k = h + 2\beta + 2\delta + 3s. \quad (9_7)$

Vì vậy, nếu các số nguyên không âm () thỏa mãn hệ (1) thì tồn tại một tập hợp các số nguyên không âm $\beta, \delta, s, q, c, f, h$ ( $\beta > 0, \delta > 0, s > 0, 0 < q < 3s, q \leqslant f + \beta + 2s, c \geqslant 0, f \geqslant 0, h \geqslant 0$ ) sao cho các số () liên hệ với chúng bằng sự tương ứng (9).

Ngược lại, không khó để xác minh (ví dụ, bằng cách thay thế trực tiếp) rằng với mọi lựa chọn số nguyên $\beta, \delta, s, q, c, f, h$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu thì các số (*) xác định công thức (9) sẽ thỏa mãn hệ (1). Do đó, với tất cả các bộ “tham số” $\beta, \delta, s, q, c, f, h$ có thể có như vậy, đều thu được tất cả lời giải bài toán về ba người chơi cờ.

“Tốt lời giải khó bài toán,” giáo viên nói. - Nhưng “tất cả các đầu đều được để lại cẩn thận trong đầu vào.” Làm sao bạn có thể đồng ý rằng hai phương trình trong hệ là hệ quả của những phương trình còn lại, rằng bạn nên cộng các phương trình $(8_5)$ và $(8_6)$ rồi tìm $\frac{1}{3}(p + q)$ ?

“Đối với bản thân tôi,” Sasha trả lời, “Tôi luôn ghi nhớ lý do đã được thực hiện trước đây khi tìm kiếm lời giải.” Hãy nhìn xem: bây giờ tôi đã chỉ định một biểu thức nhất định - vế trái của bất đẳng thức thứ năm của hệ (1) - là $p$ ; và trước đó, trong quá trình tìm kiếm thương lời giải, tôi đã làm việc với biểu thức tương tự (xem (1), (3), (5)) và thấy rằng nó bằng $\gamma - (\beta + \delta)$ ; điều đó có nghĩa là nó phải là: $\gamma - (\beta + \delta) = p$ .

Trong quá trình lời giải Tôi chỉ ra tính đúng đắn của đẳng thức này, số phút tính toán, không cần thiết cho kết quả cuối cùng lời giải. Điều này cũng đúng với đẳng thức $\alpha = \beta + \delta + q$ . Ngoài ra, trong khi tìm kiếm lời giải, tôi gặp biểu thức $\frac{1}{3}(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ (xem (7)), đây phải là một số tự nhiên. Nhưng biểu thức này bằng $\beta + \delta + \frac{1}{3}(p + q)$ . Vì vậy $\frac{1}{3}(p + q)$ phải là số nguyên. Và để thể hiện điều này trong trận chung kết lời giải, tôi đã thêm các đẳng thức $(8_5)$ và $(8_6)$ theo từng số hạng.

Chà, tại sao bạn lại chọn $f$ và $c$ làm “biến tự do”, mà không phải là $a$ và $b$ ?

— Tôi đã có trước mắt hệ thống (7), thu được trong quá trình tìm kiếm: nếu nó tự giải phóng khỏi biến phụ $t$ (ví dụ: tính đến $t = a + f$ và đặt biểu thức này vào các đẳng thức còn lại (7)), thì ngay lập tức rõ ràng rằng sẽ thuận tiện khi chọn $f$ và $c$ làm “biến tự do”.

Nhìn lại cuộc khảo sát về tiếng Nhật của Sasha, chúng ta có thể nêu bật những câu hỏi sau:

“Bạn đang tìm kiếm gì ở bài toán?”
“Có thể giảm bài toán xuống số pon của một số số không?”
“Những gì được biết từ công thức bài toán về các trường hợp ngoại lệ? Điều này có thể được viết dưới dạng phương trình hoặc bất đẳng thức không?
“Không thể giảm bài toán này thành một cái khác đơn giản hơn sao?”
“Có thể cải thiện lời giải (có được lời giải đơn giản hơn hoặc nhỏ gọn hơn, giải quyết bài toán tổng quát hơn, v.v.) không?”

Những câu hỏi cần xem xét

Số ván cờ tối thiểu mà mỗi người trong số ba người chơi cờ phải chơi trong một ván cờ ba ván để họ có thể đáp ứng các điều kiện bài toán 1 là bao nhiêu?
Có điều kiện bổ sung nào trong bài toán 1 không?