Bài toán M401—M405; F413—F417

47

Bài toán

M401—M405; F413–F417

M401. Bên trong tam giác nhọn ABC, cho một điểm P sao cho $APB = \widehat{ABC} + 60^\circ$, $\widehat{BPC} = \widehat{BAC} + 60^\circ$, $\widehat{CPA} = \widehat{CBA} + 60^\circ$. Chứng minh rằng giao điểm của các đoạn thẳng AP, BP, CP (ngoài điểm P) với đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ nằm tại các đỉnh của một tam giác đều.

A. Yagubyants

M402. Chứng minh rằng không có dãy số nguyên không âm tăng dần $a_1, a_2, a_3, \ldots$ mà sự tương ứng $a_{nm} = a_n + a_m$ đúng với mọi n và m.

Yu. ionin

M403. Chứng minh rằng nếu trong một đa giác lồi có số cạnh chẵn xuất hiện từ mỗi đỉnh thì ở bất kỳ phần nào của nó bởi một mặt phẳng không đi qua bất kỳ đỉnh nào của nó thì kết quả là một đa giác có bốn cạnh.

M404. N tập đầu tiên của bộ bách khoa toàn thư đã có trên kệ. Bạn có thể thực hiện thao tác sau với nó: lấy ba tập liền kề bất kỳ và đặt chúng giữa hai tập bất kỳ, cũng như ở đầu hoặc cuối hàng mà không thay đổi thứ tự của ba tập này. Có thể, sau khi áp dụng thao tác đã chỉ định nhiều lần, sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần của số tập (bất kể cách sắp xếp ban đầu của tập) không?

A. Savin

M405. Trên bàn cờ kích thước $99 \times 99$ có đánh dấu hình F (hình này sẽ khác ở điểm a), b) và c)). Trong mỗi ô của hình F có một con bọ cánh cứng. Tại mỗi thời điểm, những con bọ lại bay lên và lại đậu xuống các ô có cùng hình F; Hơn nữa, một số con bọ có thể ăn trong một lồng. Sau chuyến bay, bất kỳ hai con bọ nào chiếm giữ các ô liền kề sẽ quay trở lại các ô liền kề hoặc ở cùng một ô. (Láng giềng là các ô có một cạnh chung hoặc một đỉnh chung.)

48

a) Gọi hình F là “chữ thập trung tâm” (xem Hình 1). Chứng minh rằng trong trường hợp này một con bọ nào đó đã quay trở lại vị trí của nó hoặc bay sang ô tiếp theo.

6. Tuyên bố này có đúng không nếu hình F là “khung cửa sổ” (xem Hình 2)?

c) Câu này có đúng không nếu quân F là toàn bộ bàn cờ? (8 lớp)

V. Proizvolov

F413. Có một lớp chặn lý tưởng với điểm nối p-n. Độ dày của lớp này là d, hằng số điện môi là ε. Vẽ đồ thị cường độ và thế điện trường trong lớp, giả sử phân bố mật độ điện tích trong lớp như hình 3. (9 ô)

F414. Hệ số độ cứng của một sợi dây cao su có chiều dài l và khối lượng m bằng k. Một vòng làm từ sợi dây này quay với vận tốc góc ω trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của vòng. Xác định bán kính của vòng quay. (8 lớp)

F415 *. Nói một cách đơn giản, một nguyên tử của gel có thể được biểu diễn dưới dạng một hệ trong đó hai electron dao động xung quanh một tâm chung – một hạt nhân đứng yên. Sử dụng mô hình này, hãy thử ước tính gần đúng hằng số điện môi của gel lỏng trong một điện trường không đổi, có tính đến việc gel hấp thụ mạnh bức xạ tia cực tím ở bước sóng λ = 0,06 μ. Mật độ gel lỏng ρ = 0,14 e/cm³.

S. Kozel

F416. Một chiếc máy bay bay quãng đường l₁ dọc theo đường thẳng AB, đi từ điểm A đến điểm B trong thời gian t₁. Sau đó, anh ta đi quãng đường l₂ dọc theo đường thẳng BC từ điểm B đến điểm C trong thời gian t₂ và quay trở lại điểm A dọc theo đường thẳng CA, đi hết quãng đường l₃ trong thời gian t₃. Trong suốt chuyến bay, gió thổi, tốc độ không thay đổi trong suốt chuyến bay. Xác định tốc độ gió nếu tốc độ của máy bay so với không khí không đổi ở giá trị tuyệt đối trong toàn bộ chuyến bay.

F417. Bình dẫn nhiệt chứa 5 e hydro và 12 e oxy. Hỗn hợp được đốt cháy. Xác định áp suất và nhiệt độ trong bình nếu biết khi tạo thành 1 mol nước thì 2,4·10⁵ ds thoát ra. Thể tích của bình là 100 lít. Nhiệt độ ban đầu của hỗn hợp oxy và hydro là 20°C. Nhiệt dung của hydro ở thể tích không đổi là 14,3 kJ/kg độ và nhiệt dung của hơi nước là 2,1 kJ/kg độ.