Một phần có thể bằng toàn bộ không?

Kvant 1976, số 9 tr. 72-75 Thẻ IWT1

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Tamuna và Georgy bằng cách nào đó đã chạy đến chỗ tôi và ngắt lời nhau và hỏi:

-Một bộ phận có thể bằng toàn thể không?

Một phần của tổng thể? - tôi nói. - Tất nhiên là anh ấy không thể. Bộ phận luôn nhỏ hơn toàn bộ. Nhân tiện, nhà toán học Hy Lạp cổ đại vĩ đại Euclid, người viết khóa học có hệ thống đầu tiên về hình học, đã coi tuyên bố này là một trong những tiên đề của mình.

“Nhưng hôm nay, anh trai của bạn cùng lớp Kakha của chúng tôi, anh ấy là học sinh, đến gặp chúng tôi ở trường và nói rằng không phải như vậy, rằng có những trường hợp một phần bằng toàn bộ. “Anh ấy thậm chí còn làm gương cho chúng tôi”, Georgy nói.

Bạn có nhớ ví dụ này không?
“Chúng tôi nhớ, chúng tôi nhớ rất rõ, nghe này…” họ đồng thanh nói.
Làm ơn, tôi sẵn sàng phục vụ bạn. Cứ đi theo thứ tự, đừng ngắt lời nhau. Được rồi, Tamuna, kể cho tôi nghe chuyện đó là thế nào đi.
Vậy, vậy. Hãy lấy tập hợp tất cả các số tự nhiên
{1, 2, 3, 4,…}
và trong đó là tập con của tất cả các số chẵn
{2, 4, 6, 8,…}.

Rốt cuộc, cái thứ hai là một phần của cái thứ nhất?

Chắc chắn.
Và hóa ra họ bằng nhau. Nhìn này,” và cô ấy vẽ bảng sau:

| 1 | 2 | 3 | 4 | … | 100 | 101 | … | 500 | 501 | … |
| 2 | 4 | 6 | 8 | … | 200 | 202 | … | 1000 | 1002 | … |

Trong bảng này, dưới mỗi số tự nhiên, định nghĩa số chẵn được viết, không thiếu số nào và không có số nào lặp lại. Hóa ra có cùng số số chẵn với số tự nhiên, tức là các bộ này bằng nhau!

Bạn vừa nói gì - “bằng nhau”? Bạn không nhớ những tập hợp nào được gọi là bằng nhau sao?

Tôi nhớ: hai bộ $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp $A$ cũng thuộc về tập hợp $B$ , và ngược lại, mỗi phần tử của tập hợp $B$ cũng thuộc về tập hợp $A$ , tức là nếu các tập hợp này được tạo thành từ các phần tử giống nhau.

Bạn nghĩ sao, tập hợp số tự nhiên và tập hợp số chẵn có bằng nhau không?

Không, chúng không bằng nhau, nhưng… hóa ra chúng có cùng số phần tử…

Vâng, vâng,” Georgy nhặt lên, những bộ này bằng nhau về số phần tử, tức là xét cho cùng thì phần đó cũng bằng tổng thể.

Hãy nói. Chúng ta sẽ nói rằng phần đó bằng với toàn thể về mặt số lượng. Bạn sẽ nói gì nếu với cùng một bộ tôi lập bảng sau:

| 1 | 2 | 3 | 4 | … | 100 | 101 | … | 500 | 501 | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | 2 | | 4 | … | 100 | | … | 500 | | … |

Ở đây, trong dòng thứ hai, tất cả các số chẵn đều được viết ra và cũng có các ô trống, và như bạn có thể đoán, số lượng của chúng là vô hạn. Hóa ra số chẵn vẫn ít hơn số tự nhiên!

— ??

Tamunia và Georgiy kinh ngạc - họ nhìn nhau ngạc nhiên, rồi nhìn tôi dò hỏi.

Chà, tôi đã nói, hãy tìm hiểu chuyện gì đang xảy ra ở đây. Hãy bắt đầu với các tập hợp hữu hạn. Giả sử chúng ta có hai tập hợp hữu hạn và chúng ta cần so sánh số của chúng, tức là tìm hiểu xem chúng có chứa các phần tử bằng nhau hay không. Bạn nghĩ cần phải làm gì cho việc này?

“Hãy tính số phần tử của tập hợp này,” Georgy nói không do dự.

Tất nhiên, hãy đếm rồi so sánh những con số thu được,” Tamunia nói thêm.

Phải. Đây là điều đầu tiên bạn nghĩ đến. Tất nhiên, về nguyên tắc, vượt biển sẽ giải quyết được vấn đề, nhưng nếu tiếp cận vấn đề quan trọng thì hóa ra phương pháp vượt biển không phải là tốt nhất. Bên cạnh thực tế là nó không thể áp dụng cho các tập vô hạn, nó còn có những nhược điểm khác.

Đầu tiên, khi vượt qua, chúng tôi nhận được thêm thông tin mà chúng tôi không cần - chúng tôi hoàn toàn không quan tâm đến việc có bao nhiêu phần tử trong mỗi bộ đã cho, chúng tôi chỉ cần tìm hiểu xem chúng có được phân bố đều trong các bộ hay không.

Thứ hai, không phải lúc nào cũng thuận tiện khi sử dụng phương pháp này. Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng bạn đang tổ chức một đêm toán vui vẻ và bạn mời học sinh từ một trường học gần đó đến tham dự. Rất nhiều khách đến và cũng rất nhiều chủ nhà. Mọi người tập trung tại hội trường lớn, nơi những chiếc ghế được kê dọc theo bức tường. Bạn cần tìm hiểu xem có đủ ghế cho tất cả mọi người hay không. Bạn có thực sự cần đếm số người có mặt - một, hai, ba, bốn, năm, …?

Không, điều đó sẽ bất tiện, những người đối thoại với tôi nói.

Bất tiện và không dễ dàng gì,” tôi nói thêm, - Còn thiếu thì phải làm sao đây, nếu không đủ thì phải mang ghế đến đúng giờ?

Nếu bạn mời mọi người đi ăn thì sao? - Tamunia nói sau một hồi suy nghĩ, - khi đó sẽ dễ dàng tìm ra ai đã bị bỏ lại không nơi nương tựa…

Phải! Bạn cần yêu cầu mọi người ngồi vào chỗ và đảm bảo rằng mỗi bàn có một học sinh. Có những lựa chọn nào, Georgiy?

Không có ghế miễn phí - lựa chọn đầu tiên; vẫn còn ghế trống - lựa chọn thứ hai; tất cả các ghế đều đã có người ngồi, và có người không có chỗ ngồi - người thứ ba. Với tùy chọn!

Chính xác. Trong trường hợp đầu tiên, trong tập người và tập ghế các phần tử bằng nhau, trong trường hợp thứ hai có người

ít hơn ghế, ở phần thứ ba - ngược lại. Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra cách so sánh định lượng hai tập hợp hữu hạn, có thể dễ dàng chuyển sang trường hợp tập hợp vô hạn. Hãy xem làm thế nào điều này có thể được thực hiện. Chúng ta được cấp hai bộ: $A$ và $B$ . Việc họ đã hoàn thành hay chưa không còn quan trọng nữa. Tập hợp $A$ được cho là được ánh xạ một-một với tập hợp $B$ nếu có sự tương ứng trong đó mỗi phần tử $A$ tương ứng với một phần tử cụ thể $B$ của tập hợp $B$ và mỗi phần tử $B$ tương ứng với một $a$ duy nhất. Rõ ràng là từ các phần tử của tập hợp $A$ và $B$ , người ta có thể tạo các cặp $(a, b)$ tuân theo các điều kiện đã chỉ định, sau đó $A$ được ánh xạ một-một lên $B$ . Hãy để tôi cho bạn một ví dụ. Cho phép

$A = \{m, o, p, e\}, \quad B = \{1, 2, 3, 4\}.$

Hãy tạo thành cặp $(m, 1), (o, 2), (p, 3), (e, 4)$ . Chúng thỏa mãn các điều kiện trên, tức là $A$ được ánh xạ một-một lên $B$ .

— Có thể tạo cặp theo cách khác: $(m, 4), (o, 3), (p, 2), (e, 1)$ hoặc $(m, 1), (o, 2), (p, 4), (e, 3)$ ? - Tamuna hỏi.

Tất nhiên là có thể. Điều quan trọng là phải đáp ứng các điều kiện quy định. Ví dụ, trong trường hợp của chúng tôi, sẽ có 24 cách để tạo cặp. Điều này cho thấy rằng, theo quy luật, một tập hợp có thể được ánh xạ từ một đến một tập hợp khác theo nhiều cách (tất nhiên nếu việc ánh xạ như vậy là có thể). Thay vì nói: “Tập hợp $A$ ánh xạ 1-1 tới $B$ ,”

họ nói ngắn gọn: “ $A$ tương đương với $B$ ”, và viết: “ $A \sim B$ ”. Rõ ràng là nếu $A \sim B$ thì cũng $B \sim A$ . Hãy nghĩ về điều kiện để hai tập hợp hữu hạn tương đương nhau?

“Nếu chúng chứa cùng số phần tử,” cả hai đều trả lời không do dự.

Phải. Rõ ràng điều ngược lại cũng đúng: nếu hai tập hữu hạn tương đương nhau thì…

“Chúng chứa lượng nguyên tố bằng nhau,” Georgy kết luận.

“Điều này có nghĩa là hai tập hợp hữu hạn tương đương nhau khi và chỉ khi chúng chứa cùng số phần tử,” Tamuna kết luận.

Hoàn toàn đúng! Vì vậy, đối với các tập hợp hữu hạn, toàn bộ đối tượng rất đơn giản và sẽ khó đưa ra khái niệm tương đương nếu… các tập hợp vô hạn không tồn tại. Trường hợp này của thành phố thú vị hơn. Ở đây chúng ta gặp phải một tình huống thậm chí còn khó tin. Hãy lấy ít nhất các bộ số tự nhiên và số chẵn (dương). Nhìn vào bảng tôi vẽ,” tôi quay sang Tamuni, “chúng ta thấy các phần tử của các tập hợp này có thể ghép theo cách yêu cầu, tức là tập hợp các số tự nhiên tương đương với phần của nó - tập hợp các số chẵn. Điều này không thể xảy ra trong tập hợp hữu hạn!

“Đúng, nhưng theo bảng của bạn thì hóa ra những bộ này không tương đương…” Tamuna rụt rè hỏi.

Tôi lỡ rồi, vậy anh hỏi câu này đi. Trên thực tế, có vẻ như những bộ này tương đương và đồng thời không tương đương, nhưng bộ này không phải như vậy - mọi thứ ở đây đều đúng và không có mâu thuẫn. Vấn đề là $A$ tương đương với $B$ , nếu không thể, tôi nhấn mạnh - “các bộ” được ánh xạ một-một lên $B$ . Vì vậy, nếu có thể ánh xạ 1-1, nếu không thì không

Ví dụ thứ hai, hãy lấy đoạn [0, 1] và đoạn [a, b], trong đó a và b là các số tùy ý. Các phân đoạn này (chúng được coi là một tập hợp số) hóa ra là tương đương, mặc dù phân đoạn [a, b] có thể dài hơn (hoặc ngắn hơn) nhiều lần so với phân đoạn [0, 1]. Sự tương đương này có thể được chứng minh, chẳng hạn như thế này. Chúng ta hãy xem xét hàm $y = a + (b - a)x$ từ miền [0, 1]. Khi x thay đổi trong miền định nghĩa (từ 0 thành 1), y sẽ thay đổi từ a thành b, tức là tập giá trị của hàm này sẽ là [a, b]. Và vì đồng thời

$x = \frac{y - a}{b - a},$

thì mỗi y sẽ chỉ tương ứng với một x.

Đây là nơi cuộc trò chuyện của chúng tôi kết thúc. Tamchina và Georgy rất hài lòng. Tôi đã giao cho họ một số bài toán như một nhiệm vụ và tôi cũng giao cho bạn nhiệm vụ này.

Chứng minh rằng tập hợp các số tự nhiên tương đương với tập hợp các số chia hết cho 10.
Chứng minh tập hợp các điểm AC và cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC bằng nhau (Hình 2).
Biểu thị sự tương ứng hình học một-một giữa tập hợp điểm của đoạn $|AB|$ và tập hợp điểm của đoạn $|A'B'|$ (Hình 3). Hãy thử làm điều này theo hai cách khác nhau.
Chứng minh rằng tập hợp số nguyên Z tương đương với tập hợp số tự nhiên N.