Bình phương gần đúng của một hình tròn

58

Dưới đây là một vài trong số này bài toán *).

4°. Dữ liệu là một đường thẳng $l$ và hai điểm $P$ và $Q$ ở một bên của $l$. Tìm một điểm $R$ trên đường thẳng $l$ sao cho chu vi của tam giác $PQR$ là lớn nhất. (lớp 6)

*) Trong bài viết nêu trên của A. Zemlykov “Toán học của bi-a”, «Kvant», 1976, số 5, câu hỏi chung về tính chất cực trị của quỹ đạo bi-a đã được thảo luận; đặc biệt, họ đã đề xuất bài toán, tương tự như những gì chúng tôi đặt ra.

5°. Chứng minh rằng trong các tam giác có đáy và chiều cao cho trước thì tam giác đều có chu vi lớn nhất. (lớp 6)

6°. Đường $AB$ băng qua sông $BC$ ở một góc nhọn (xem Hình 5). Người đưa tin đang ở điểm $P$ góc trong $ABC$. Ngựa khát nước, sứ giả vội vàng ra đường $AB$. Nên tưới nước cho ngựa ở điểm nào trên sông để lên đường nhanh nhất? (lớp 6)

7°. Cho một góc nhọn $ABC$ và một điểm $P$ bên trong nó. Vẽ một tam giác có chu vi nhỏ nhất, một đỉnh trùng với điểm $P$ và hai đỉnh còn lại nằm trên các cạnh của góc đã cho. (lớp 6)

lời giải bài toán 6° và 7° thay đổi như thế nào nếu, trong điều kiện của chúng, góc nhọn được thay thế bằng góc thẳng hoặc góc tù?

8°. Trên bàn bida than thẳng $ABCD$ có hai quả bóng $M$ và $N$. Bạn nên đẩy quả bóng $M$ như thế nào để nó phản xạ từ hai bên $AB$ và $BC$, chạm vào quả bóng $N$? (lớp 6)

Bình phương gần đúng của một hình tròn

Tính không thể quyết định của bài toán về việc tìm một hình vuông có kích thước bằng một hình tròn cho trước bằng la bàn và thước đã được chứng minh một cách thuyết phục vào thế kỷ 19. Nhưng phép tính gần đúng bài toán rất dễ giải. Đầu tiên chúng ta hãy tìm tỉ số giữa đường chéo của hình vuông với đường kính của hình tròn: $S_{кр} = \pi R^2$, cạnh của một hình vuông bằng nhau $a = \sqrt{\pi R^2} = R\sqrt{\pi}$, đường chéo của hình vuông (theo định lý Pythagore) $l = R\sqrt{2\pi}$, từ đó

$$\frac{l}{2R} = \frac{R\sqrt{2\pi}}{2R} = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}.$$

Chọn các giá trị gần đúng cần tìm cho số này, chúng ta thu được giá trị gần đúng lời giải bài toán về bình phương của hình tròn. Ví dụ, hãy đặt

$$\frac{l}{2R} = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \approx \frac{\sqrt{2\cdot 3,1416}}{2} \approx \frac{5,013}{4} \approx \frac{5}{4},$$

tức là $l = \frac{5R}{2}$ (xem Hình), thì sai số tương đối của diện tích hình vuông bằng

$$\delta = \frac{\left|\pi R^2 - \frac{1}{2} l^2\right|}{\pi R^2} = \frac{\left|\pi - 2\left(\frac{l}{2R}\right)^2\right|}{\pi} \approx 0,0053.$$

A. Padalko (Svobodny)