Câu đố của nghệ sĩ Gromov

39

Yu. Danilov

Câu đố
nghệ sĩ Gromov

“Proogle in the Zoological Garden không phải là động vật học theo nghĩa học thuật của từ này. Tuy nhiên, đối với tôi, có vẻ như trước tiên bạn cần phải quan tâm đến động vật, sau đó xử lý việc phân loại và giải phẫu của chúng. Khu vườn mở cửa cho tất cả mọi người, kể cả những người nhìn động vật chỉ để giải trí. Vì vậy, sẽ không có vấn đề gì nếu ai đó nói rằng những bức tranh của tôi không phải là toán học. Bất cứ ai tua lại chúng từ đầu đến cuối có lẽ sẽ nhận ra điểm chung của chúng, và đây chính là toán học.”

Hugo Steinhaus
(lời nói đầu trong cuốn sách
“Kính vạn hoa toán học”).

Hãy bắt đầu với trò chơi
Hãy nhìn vào các số liệu được hiển thị trên trang. 40-41. Để biến bất kỳ thứ nào trong số chúng thành bất kỳ thứ nào khác (ví dụ: tạo ra một con voi từ một con hà mã, một con tê giác từ một con đà điểu hoặc một con vật bị săn từ một thợ săn), bạn không cần phải là một người hay chửi thề hay một phù thủy hay tìm đến Hasan Abdurahman Ibn-Khottab, còn được gọi là Hottab, để được giúp đỡ. Tất cả những hình vẽ này được làm từ các bộ phận của bộ xây dựng phi giáo dục - các bộ phận của hình vuông, được cắt như trong Hình 1. (Mỗi bộ phận, nếu cần, có thể lộn ngược.)

Nghệ sĩ Aleksadr Illarionovich Gromov đã nghĩ ra phương pháp cắt ra những hình vuông và biểu cảm có thể được tạo ra từ những “mảnh ghép”. Năm 1930, Nhà xuất bản Nhà nước xuất bản 5 cuốn sách đố nhỏ của ông: “Ấn Độ”, “Đầu máy hơi nước”, “Nhà máy”, “Gà trống” và “Nhà”. Được xuất bản bởi một nhóm nhỏ người, những cuốn sách trò chơi hấp dẫn này đã bán hết từ lâu và trở thành một thư mục hiếm có. Trong số này, chúng tôi giới thiệu với độc giả những nhân vật trong cuốn sách “Người da đỏ” của A. Gromov.

Các câu đố của A. Gromov là họ hàng gần của trò chơi nổi tiếng “tangram”, người đã dành nhiều trang tuyệt vời trong tác phẩm của mình cho các tác phẩm kinh điển do các nhà toán học Sam Loyd và Henry Duden sử dụng. Chúng ta sẽ nói về tangram, các câu đố khác liên quan đến bố cục của các hình từ các phần của hình gốc được cắt đặc biệt và chủ đề xa xôi chung của chúng - trò chơi “stomaton”, trò chơi đã được Archimedes biết đến trong các số sau «Kvant».

Lập các số liệu hiển thị trên trang. 40-41, hoặc phát minh ra cách cắt hình vuông và bố cục * của riêng họ), độc giả của chúng tôi (và thậm chí cả các em trai và em gái của họ, những người chưa có thời gian làm quen với một công cụ cổ xưa và dựa trên máy chủ như vậy).

*) Các biên tập viên «Kvant» kêu gọi độc giả gửi cho họ những nhân vật thành công nhất mà họ đã nghĩ ra. Những tác phẩm hay nhất sẽ được xuất bản và tác giả của chúng sẽ được trao tặng khoản đăng ký hàng năm cho «Kvant».

Hình 1.

42

Hình 2.

khoa học, như hình học), về cơ bản sẽ tham gia vào việc chứng minh các định lý về các số tương đương. Không có vấn đề gì khi những hình hình học này được đặt tên hơi khó giải thích: Johannes Kepler đang bận tính toán thể tích của một “quả táo”, “dâu tây”, “hình nón thông” và “khăn xếp kiểu Thổ Nhĩ Kỳ”.

Một chút khoa học

Một nhánh đặc biệt của lý thuyết, hình học tổ hợp, nghiên cứu sự sắp xếp khác nhau của các hình và đặc biệt là sự biến đổi của các hình có cấu tạo bằng nhau.

Một lý thuyết quan trọng của lý thuyết tổ hợp mặt phẳng, được chứng minh vào những năm ba mươi của thế kỷ 19 bởi nhà toán học Hungary Farkas Bolyany (cha của một trong những người sáng tạo ra hình học phi Euclide - Janos Bolyany) và, độc lập với ông, bởi nhà toán học người Đức Gerwin, tuyên bố rằng hai đa giác có cùng độ dài bằng nhau (có cùng diện tích) đều bằng nhau, tức là một trong số chúng cho phép chia thành các phần để từ đó một đa giác khác có thể được hình thành. Điều tò mò là lý thuyết phân tích không đúng với không gian: như nhà toán học người Đức Dehn đã chứng minh vào đầu thế kỷ 20, có những khối đa diện có kích thước bằng nhau (có thể tích bằng nhau), nhưng không có những khối đa diện có kích thước bằng nhau. Chứng minh cơ bản về định lý Boyani - Gervin và Dehn được dành cho tập tài liệu “Các số tương đương và các số bằng nhau” của V. G. Boltyansky, do Viện Kỹ thuật Nhà nước xuất bản năm 1956 trong loạt bài “Các bài giảng phổ biến về Toán học”.

Định lý Bojani-Gerwin là một trong những định lý được gọi là định lý tồn tại thuần túy: nó không nói gì về cách tìm một phân vùng của một trong các đa giác có diện tích bằng nhau thành các phần mà từ đó một đa giác khác có thể được tạo thành. Trong một thời gian dài, không có phương pháp chung nào cho phép người ta tìm ra các phân vùng cần thiết và việc tìm kiếm chúng không được thực hiện nhiều bởi các nhà hình học mà bởi các “nhà chiến lược toán học”, những người đôi khi tìm ra khái niệm “cốm” có vẻ đẹp đáng kinh ngạc. Ví dụ, Henry Dueden tổng hợp việc cắt một hình vuông thành bốn phần, từ đó có thể tạo thành một tam giác đều (Hình 2).

Chuyên gia hiện đang sống của Văn phòng Bằng sáng chế Úc, Harry Lindgren, đã phát triển các phương pháp chung lời giải của các lớp rộng bài toán để cắt, tính tổng, biến đổi hình học của các vết cắt từ một tập hợp hỗn loạn các dữ kiện riêng lẻ thành một khoa học. Cuốn sách “Giải trí bài toán cho việc cắt” của Harry Lindgren sẽ sớm được Nhà xuất bản Mir xuất bản.

(Kết thúc. Xem phần đầu ở trang 20, 37)

12. Cho tám số nguyên $a_1, a_2, \dots, a_8$, với $0 < a_1 < \dots < a_8 < 16$. Chứng minh rằng với một số $k$ trong tám số nguyên đã cho, người ta có thể chọn ít nhất ba cặp $(a_i, a_j)$ liên quan đến quan hệ $a_i - a_j = k$.

13. Chứng minh rằng dù là số tự nhiên $a, m$ thì số dư khi chia số $a, a^2, a^3, \dots, a^n$, … cho $m$ đều tuần hoàn và lặp lại.

14. Có một bộ gồm 4 số dương $n$. Được biết, bất kỳ bốn số phân biệt theo cặp nào trong tập hợp này đều có thể được sử dụng để tạo thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng có $n$ số giống nhau trong tập hợp.

15. Chứng minh rằng từ 990 số tự nhiên khác nhau không quá 1977 có thể chọn được ba số mà tổng của hai số đó bằng số thứ ba. Có thể giảm số 990 ở đây không?

16. Phần trên của một 65 giác lồi chứa các số tự nhiên khác nhau, mỗi số không vượt quá 1977. Chứng minh rằng có hai đường chéo sao cho hiệu các số viết ở hai đầu của chúng là như nhau.

17. Đặt $a_1, \dots, a_n$ là số tự nhiên và $a_1 < \dots < a_n \leq 2n$. Chứng minh rằng nếu bội số chung nhỏ nhất của bất kỳ số nào trong hai số này lớn hơn 2$n$ thì $a_1 > \frac{2n}{3}$.