Cách giải bài toán cho chuyển động cơ học

50

E. Turchin

Cách giải bài toán cho chuyển động cơ học

Như bạn đã biết, nhiệm vụ chính của cơ học là xác định vị trí của vật thể bất cứ lúc nào. Đối với lời giải bài toán này, tức là để tìm tọa độ của phần thân trong hệ thống báo cáo đã chọn, bạn cần biết tọa độ ban đầu và các biến của phần thân. Các biến có thể được tìm thấy bằng cách biết tốc độ ban đầu và gia tốc của cơ thể tại mỗi thời điểm. Nếu đã biết các lực tác dụng lên vật và các lực này không thay đổi theo thời gian thì gia tốc của vật được xác định trực tiếp từ định luật thứ hai của Newton - định luật cơ bản của diamana. Do đó, đường lời giải bài toán dẫn đến chuyển động cơ học như vậy được gọi là đường kính.

Khi các lực tác dụng lên một vật không phải là hằng số, việc áp dụng định luật thứ hai của Newton gắn liền với những khó khăn toán học lớn. Trong những trường hợp như vậy, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng các định luật bảo toàn, và trên hết là các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng, thỏa mãn cho các hệ vật thể đóng (cô lập). Trong trường hợp này, loại định luật bảo toàn năng lượng cụ thể phụ thuộc vào lực nào tác dụng giữa các phần của hệ.

Ví dụ, nếu đây là lực hấp dẫn hoặc lực đàn hồi thì tổng cơ năng của hệ không đổi. Khi có ma sát, cơ năng không được bảo toàn và sự thay đổi của nó bằng sự cân bằng của lực ma sát. Kết quả là nội năng của hệ tăng lên, do đó tổng năng lượng tất nhiên không thay đổi. Hoặc một ví dụ như vậy - phần tích điện của chuyển động trong điện trường dưới tác dụng của lực Coulomb. Trong trường hợp này, tổng năng lượng cơ và điện được bảo toàn.

Nếu hệ không cô lập thì năng lượng và động lượng có thể không được bảo toàn và độ biến thiên của năng lượng bằng giá trị bằng của các ngoại lực tác dụng lên hệ.

Do đó, ở lời giải bài toán chuyển động cơ học không chỉ có thể bị ảnh hưởng bởi phương pháp đường kính mà còn bởi phương pháp năng lượng, dựa trên các định luật bảo toàn và biến đổi năng lượng. Việc lựa chọn phương pháp lời giải nào tùy thuộc vào loại tương tác giữa các vật thể (hoặc vật thể và trường) có trong hệ thống, cũng như các điều kiện của bài toán này.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán.

Nhiệm vụ 1. Sau khi bị đánh bằng gậy, quả bóng tăng tốc $v_0$ và bắt đầu trượt trên mặt băng. Xác định quãng đường quả bóng đi được trước khi dừng lại. Ta không tính đến lực cản của không khí, giữ lực không đổi thì hệ số thời gian của quả bóng trên mặt băng bằng μ.

Khi nó di chuyển, quả bóng tương tác với Trái đất và băng. Vì chúng ta quan tâm đến chuyển động của quả cầu dọc theo bề mặt Trái đất, nên điều tự nhiên là dưới các điều kiện của một bài toán cho trước, coi Trái đất, và do đó, băng, là bất động.

Sự tồn tại cơ bản của quả bóng với các vật thể khác (ví dụ: với Mặt trăng, Mặt trời, v.v.). Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không tính đến chúng quá nhiều.

Hãy phân tích sự tương tác của quả bóng với Trái đất và băng. Có một sự tương tác bằng đá granit giữa quả bóng và Trái đất, số đo của nó là lực hấp dẫn của quả bóng $mg$ (ký hiệu là $m$ khối lượng của quả bóng). Việc thay thế quả bóng bằng nước đá có thể được đặc trưng bởi phản lực hỗ trợ (lực đàn hồi) $\vec{N}$ và lực ma sát trượt $\vec{F}_{\text{тр}}$. Như vậy

51

Hình 1.

cùng một lúc, ba lực tác dụng lên quả bóng, tức là có nhiều lực tương tác với nó. Không thể nói về bất kỳ lực nào khác - lực đẩy, lực ném, chuyển động, quán tính, v.v., thật không may, những lực này thường được người nộp đơn chỉ ra.

Vì tất cả các tương tác đều đứng yên (không thay đổi theo thời gian) nên cả hai phương pháp lời giải đều phát sinh - cả động và năng lượng. Hãy giải bài toán theo nhiều cách khác nhau.

1. Phương pháp động. Trước hết, hãy vẽ một sơ đồ (Hình 1). Hãy chọn hệ tọa độ (XOY), lưu ý các tham số về trạng thái ban đầu ($x_0=0, v_0$) và cuối cùng ($x=|\vec{s}|, v=0$) của quả cầu và các lực tác dụng lên nó ($mg, \vec{N}, \vec{F}_{\text{tp}}$). Tất nhiên, Tsaibu sẽ được coi là điểm vật chất.

Chúng ta hãy viết biểu thức đã biết cho mô hình chuyển vị $|\vec{s}|$ trong các hình chiếu trên trục OX và OY:

$$|\vec{s}| = x = \frac{v_0^2}{2|\vec{a}|}$$

và định luật II Newton:

$$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_{\text{tp}}|}{m}, |\vec{N}| - m|\vec{g}| = 0.$$

Có tính đến phương trình ghép

$$|\vec{F}_{\text{tp}}| = \mu |\vec{N}|$$

chúng tôi nhận được

$$|\vec{s}| = x = \frac{v_0^2}{2|\vec{a}|} = \frac{v_0^2 m}{2|\vec{F}_{\text{tp}}|} = \frac{v_0^2}{2\mu |\vec{g}|}.$$

II. Phương pháp năng lượng. Chúng ta hãy xem xét hệ thống đóng puck-Earth-ice. Lực ma sát trượt tác dụng bên trong hệ thống này. Trong trường hợp này, độ biến thiên cơ năng của hệ bằng công của lực ma sát:

$$(K + \Pi) - (K_0 + \Pi_0) = A_{\text{tp}}.$$

So với Trái đất đứng yên (và băng), động năng của hệ tại thời điểm ban đầu bằng động năng của quả bóng:

$$K_0 = \frac{mv_0^2}{2},$$

và tại thời điểm cuối cùng nó bằng 0:

$$K = 0.$$

Thế năng tương tác giữa quả bóng và Trái đất đương nhiên không có trên bề mặt Trái đất, do đó

$$\Pi_0 = \Pi = 0.$$

Công của lực ma sát

$$A_{\text{tp}} = |\vec{F}_{\text{tp}}| |\vec{s}| \cos \alpha = -\mu m |\vec{g}| |\vec{s}|,$$

kể từ $\alpha = 180^\circ$.

Rồi cuối cùng

$$0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\mu m |\vec{g}| |\vec{s}|, \text{ и } |\vec{s}| = \frac{v_0^2}{2\mu |\vec{g}|}.$$

Nếu băng không được đưa vào hệ thống tương tác giữa các vật thể thì nó sẽ không còn đóng nữa. Phản lực hỗ trợ và lực ma sát là ngoại lực của hệ này và công của chúng bằng độ biến thiên cơ năng của hệ. Vì góc giữa lực $\vec{N}$ và độ dịch chuyển $s$ bằng $90^\circ$, nên công do lực này thực hiện bằng 0, và như trước

$$K - K_0 = A_{\text{tp}}$$

(bạn đã nói rồi $\Pi = \Pi_0 = 0$).

Nếu chúng ta chỉ xem xét quả bóng thì tất cả các lực tác dụng lên nó sẽ là lực từ bên ngoài. Theo định lý động năng, công do các lực này thực hiện bằng độ biến thiên động năng của quả bóng. Công của trọng lực, giống như công của phản lực hỗ trợ, bằng 0 nên biểu thức tính độ biến thiên cơ năng cũng tương tự như biểu thức trước.

Bài tập 2. Một hạt có khối lượng $m$ và điện tích $q$ chuyển động trong điện trường có cùng điện tích cố định $Q$马克, hạt ở khoảng cách $R_1$ tốc độ $v_1$ là cấp tính

53

ở khoảng cách $h_1$. Mật độ điện tích bề mặt của mặt phẳng $\sigma$, vận tốc tự nhiên của hạt $\vec{v}_0$. Khoảng cách tối thiểu mà một hạt có thể di chuyển đến các mặt phẳng là bao nhiêu nếu điện tích của chúng không rõ ràng?
Không có sự lưu giữ không khí.

Hạt tương tác với Trái đất và trường năng lượng đều của mặt phẳng. Các lực đặc trưng cho các tương tác này—lực hấp dẫn và lực điện—là đứng yên, do đó, về nguyên tắc, cả hai phương pháp lời giải bài toán đều được sử dụng. Chúng ta hãy phủ nhận khoảng cách chỉ có năng lượng lời giải.

Cho hệ chỉ gồm một hạt tích điện. Khi đó tất cả các lực tác dụng lên nó đều là bên ngoài và công của chúng bằng độ biến thiên động năng của hạt.

Ở khoảng cách tối thiểu $h_2$ tính từ mặt phẳng, tốc độ của hạt bằng 0 nên độ biến thiên động năng

$$\Delta K = 0 - \frac{m |\vec{v}_0|^2}{2}.$$

Công việc của trọng lực

$$A_T = m |\vec{g}| (h_1 - h_2),$$

a Công trình lực lượng nhà máy điện

$$A_a = -q |\vec{E}| (h_1 - h_2) = -q \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (h_1 - h_2),$$

trong đó $\vec{E}$ là hướng của trường của mặt phẳng tích điện vô hạn.

Theo định lý động năng,

$$0 - \frac{m |\vec{v}_0|^2}{2} = m |\vec{g}| (h_1 - h_2) - \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0} (h_1 - h_2).$$

Từ đây

$$h_2 = h_1 - \frac{|\vec{v}_0|^2}{2 \left( \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0} m - |\vec{g}| \right)}.$$

Lưu ý rằng nếu $|\vec{v}_0|^2 > 2h_1 \left( \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0} m - |\vec{g}| \right)$ thì $h_2 < 0$, tức là hạt có thể rơi xuống mặt phẳng, có vận tốc nhất định.

Tóm lại, chúng tôi cung cấp một số bài toán cho một lời giải độc lập.

Có một người phụ nữ

1. Một quả cầu nhỏ có khối lượng $m=200$ e được cố định ở đầu một thanh điều khiển có chiều dài 1 m và độ cứng 24 N/m. Quả bóng và sợi chỉ được chuyển sang vị trí nằm ngang và thả ra. Khi quả bóng đi qua vị trí cân bằng thì sợi dây dãn ra 25 cm. Xác định vận tốc của quả bóng tại thời điểm này. Bỏ qua sức cản của không khí.

2. Một chiếc xe trượt có trọng lượng 50 ke được trượt xuống một ngọn núi cao 7 m. Xác định công do lực ma sát thực hiện nếu vận tốc của xe trượt ở chân núi là 10 m/s.

3. Một sợi dây dài 20 m được ném qua một khối không bằng nhau có bán kính nhỏ. Nó treo đối xứng và kết thúc, sau đó, do một lực đẩy nhẹ, nó bắt đầu chuyển động dọc theo khối mà không có ma sát. Vận tốc của sợi dây lúc nó rời khỏi vật chắn là bao nhiêu? Không có sức cản không khí.

4. Một quả cầu thủy tinh có thể tích 0,2 cm³ rơi đều vào nước với vận tốc nhỏ. Xác định công của lực cản nước thực hiện khi quả bóng đi được 6 cm. Mật độ của ngăn xếp là 2,7 e/cm³.

5. Một electron chuyển động với tốc độ 3,106 m/s đi vào vùng có trường năng lượng đều và chuyển động chậm lại cho đến khi dừng hẳn. Xác định hiệu điện thế giữa điểm dừng và điểm bắt đầu của electron trong trường. Bỏ qua trọng lực và lực cản của không khí.

6. Một bộ phận có điện tích $q$ và khối lượng $m$, nằm cách mặt phẳng một khoảng $H$, bắt đầu rơi tự do trên mặt phẳng nằm ngang. Tốc độ của hạt ở khoảng cách $h < H$ tính từ mặt phẳng sẽ là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của không khí.

Gợi ý. Sự tương tác của một hạt tích điện với điện tích cảm ứng của mặt phẳng có thể được thay thế bằng sự tương tác của hạt này với một điện tích chính xác nằm đối xứng với mặt phẳng (ví dụ, xem bài viết của G. Myakishev “Trường điện”, «Kvant», 1975, số 4).