Nón trong khung

47

I. Gabovich

Nón trong khung

Với lời giải bài toán trên tổ hợp các hình nón, đôi khi rất khó tưởng tượng được vị trí của chúng trong không gian. Nếu chúng ta bao bọc khoảng cách của các hình nón trong các “khung” (các hình được tạo thành bởi các cạnh của khối đa diện), thì nhận thức về không gian của các hình nón là bắt buộc. Đồng thời, đối tượng bài toán trở nên “hữu hình” hơn và để lời giải được tìm thấy dễ dàng và nhanh chóng hơn, điều này đặc biệt quan trọng đối với người nộp đơn. Đầu tiên, hãy chứng minh một định lý.

Định lý. Gần một hình nón có giá trị tiết diện dọc trục nhỏ hơn π/2, người ta có thể mô tả một tham số có đáy là một tam giác đều và cạnh bên đi qua đỉnh của tam giác này vuông góc với mặt đối diện.

Bằng chứng. Cuối cùng, chúng tôi sẽ tiến hành phát triển phần ASB tùy ý (Hình 1). Trong mặt phẳng đáy hình nón, chúng ta vẽ tiếp tuyến m với đáy hình nón tại điểm B. Trong mặt phẳng khai triển ASB, chúng ta dựng một đường vuông góc với ảnh SB tại điểm S cho đến khi nó cắt phần mở rộng [BA] tại điểm C. Vì $\hat{ASB} < \pi/2$, điểm C nằm ngoài hình nón (tại phần mở rộng [BA]). Bây giờ từ điểm C chúng ta vẽ các tiếp tuyến với đáy hình nón cho đến khi chúng cắt đường thẳng m tại các điểm D và E (M, N là các điểm tiếp tuyến).

Qua các đường thẳng giao nhau CE và CS, CD và CS, SB và DE ta vẽ các mặt phẳng và thu được tham số SCDE mô tả xung quanh hình nón *). Vì trong tam giác CDE đường cao CB cũng là đường phân giác nên tam giác này là tam giác đều. Dễ dàng chứng minh được mặt SDE cũng là tam giác đều ($|SE| = |SD|$).

Vì vậy, tham số SCDE mà chúng tôi đã xây dựng chính là tham số chúng tôi đang tìm kiếm. Chúng ta hãy đồng ý gọi tham số này là tham số khung cho một hình nón nhất định. Dễ dàng chứng minh được các tham số khung của cấu trúc hình nón là cấu trúc.

Bây giờ nó sẽ đi đến những cái đã cho.

Ví dụ 1 (MSU, nhà vật lý, 1970). Hai hình nón tròn thẳng bằng nhau có cùng đỉnh S, chiều cao h và bán kính đáy R ($R < h$) tiếp xúc nhau và mặt phẳng P. Gọi l là đường thẳng giao nhau giữa các mặt phẳng đáy của các hình nón. Tính các giá trị của hình elip giữa đường thẳng l và mặt phẳng P.

Từ sự tương ứng $R < h$ suy ra rằng độ lớn của góc ở đỉnh trong tiết diện trục của hình nón nhỏ hơn π/2. Chúng ta hãy mô tả tham số khung xung quanh mỗi hình nón để chúng có một mặt chung (xem Hình 2): $|SB| — общая$

*) Chúng ta hãy nhớ rằng một tham số được cho là mô tả gần một hình nón nếu đáy của tham số được mô tả gần đáy hình nón và các đỉnh của tham số và hình nón trùng nhau.

48

Hình 2.

cạnh chính, [ZS] là tổng chiều cao của các hình chóp, cạnh bên ZB nằm trên đường thẳng l dọc theo đó các mặt phẳng của các hình nón chính giao nhau. Do đó, lời giải của một bài toán đã cho rút gọn về định nghĩa của $\widehat{ZBS}$.

Từ các hình nón bị tắc nghẽn, suy ra rằng các đáy của chúng tiếp xúc với cạnh ZB tại cùng một điểm F, và do đó [SF] sẽ là một phần tử sinh chung. Rõ ràng là [ZB] $\perp$ [SF]. Do đó tam giác ZFS là tam giác vuông. Tam giác SOE cũng là tam giác vuông vì SO là đường cao của hình nón. Hãy đặt $\widehat{ZBS} = \varphi$; thì $\widehat{ZSF} = \varphi$. Chúng tôi có: $|OE| = R$; $|SO| = h$; $\cos \varphi = \frac{|FS|}{|ZS|}$ (từ $\triangle ZFS$). Nhưng $|FS| = |ES|$ với tư cách là máy phát điện thì $\cos \varphi = \frac{|ES|}{|ZS|} = \text{ctg} \widehat{SEZ}$. Từ $\triangle SOE$: $\text{ctg} \widehat{SEZ} = \text{ctg} \widehat{SEO} = \frac{R}{h}$. Vì vậy, $\cos \varphi = \frac{R}{h}$; $\varphi = \arccos \frac{R}{h}$.

Chúng ta cũng hãy lưu ý. Nếu chúng ta đặt $\widehat{ZES} = \beta$, thì từ lời giải này bài toán chúng ta sẽ nhận được những điều sau:

$$\cos \varphi = \text{ctg} \beta.$$ (*)

Chúng tôi sẽ sử dụng nó trong tương lai.

Ví dụ 2 (MSU, khoa vật lý, 1965). Hai hình nón có một đỉnh chung và tiếp xúc dọc theo một đường sinh chung. Độ lớn của góc trong tiết diện dọc trục của hình nón bằng $2\alpha < \pi/2$. Tìm các giá trị của góc nhị diện giữa hai mặt phẳng

49

1964). Ba hình nón tụ có một đỉnh chung nằm trên một mặt phẳng. Mỗi người trong số họ chạm vào hai cái liền kề. Cụ thể là ở phần trên cùng của phần tự do của một trong những hình nón này.

Không khó để nói rằng nếu bạn mô tả một hình chóp bằng khung xung quanh mỗi hình nón này, bạn sẽ có được một hình chóp tam giác đều ZABC, trong đó ba hình nón đã cho được “nội tiếp”; đỉnh chung của chúng nằm ở tâm của đáy kim tự tháp và các đáy của kim tự tháp nằm ở các mặt bên của kim tự tháp (Hình 4; đối với lời giải bài toán chỉ cần xem xét một trong các hình nón này là đủ).

Vì kim tự tháp ZABC là đều nên $D\hat{CO} = \pi/6$. Như được hiển thị ở trên,

$$tg D\hat{OO}_1 = \cos D\hat{CO} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Do đó, góc mong muốn là $2\arctg \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ví dụ 4 (Học viện Bách khoa Kiev, 1970). Sáu hình nón đồng dạng có một đỉnh chung và mỗi hình nón có một tiếp tuyến chung với bốn hình nón khác. Tên của tổng các vật của hình nón với thể tích của một quả cầu tiếp xúc với mặt phẳng đáy của tất cả các hình nón.

Đối với lời giải cái bài toán này, chúng tôi chọn làm khung là một khối lập phương, ở giữa có một đỉnh chung của các hình nón, các đáy của hình nón được ghi trên các mặt của hình khối (Hình 5; chỉ hiển thị một trong các hình nón). Trong trường hợp này, mỗi hình trong số sáu hình nón sẽ có một tiếp tuyến chung với bốn người bạn, và quả bóng chạm vào đáy hình nón sẽ được ghi trong hình lập phương. Giả sử cạnh của hình lập phương bằng $a$. Khi đó thể tích của một hình nón

$$V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\pi a^3}{24},$$

và sáu hình nón $\pi a^3/4$. Thể tích của hình cầu là $\pi a^3/6$, từ đó tìm ra tỷ số; nó bằng 3:2.

Bài tập

1 (KSU, mekhanite, 1973). Hai hình nón tròn thẳng, mỗi hình nón có tiết diện riêng tạo thành một tam giác đều cạnh $a$, nằm trên một mặt phẳng nằm ngang, tiếp xúc nhau, có một đỉnh chung. Điểm tiếp xúc của đáy của các hình nón này ở độ cao bao nhiêu so với mặt phẳng?

2 (KSU, mekhanit, 1972). Bốn hình nón thẳng có một đỉnh chung và mỗi hình nón có một đường sinh chung với ba hình nón khác. Tên tổng thể tích của hình nón với thể tích của hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng đáy của hình nón.

3 (MSU, nhà vật lý, 1967). Cho ba hình nón tròn thẳng có góc $\alpha$ ở mặt cắt trục và bán kính đáy $r$. Các đáy của các hình nón này nằm trong cùng một mặt phẳng và tiếp xúc với nhau ở bên ngoài theo từng cặp. Đây là bán kính của hình cầu tiếp xúc với cả ba hình nón và mặt phẳng đi qua các đỉnh của chúng.

4 (LSU, mekhanit, 1965). Trên một mặt phẳng có các đường thẳng $n$ đồng dạng của một hình nón có một đỉnh chung tại một điểm nằm trên mặt phẳng này. Mỗi hình nón tiếp xúc với hai hình nón khác. Tên là góc ở đỉnh trong phần trục của hình nón.