Bài toán độc giả của chúng tôi

9

được biểu thị là “chỉ” bằng một lỗi đánh máy: sự thay thế cuối cùng trong (14) được in là $abac \leftrightarrow abacc$. Độc giả G.N. Spiridovich đến từ Leningrad, không nghe lời tác giả của tập tài liệu, đã tìm ra một thuật toán loại trừ cho “phép tính Tseytin bị bóp méo”. Bạn có thể?

Bài toán

1. Xây dựng thuật toán tìm từ tương đương cho phép tính kết hợp trong bảng chữ cái $\{a\}$ bằng một thay thế duy nhất
   $$a a \leftrightarrow \Lambda.$$
2. Tương tự bài toán đối với phép tính trong bảng chữ cái $\{a, b\}$ với sự thay thế
   $$\begin{cases} aaaa \leftrightarrow \Lambda, \\ bb \leftrightarrow \Lambda, \\ abab \leftrightarrow \Lambda. \end{cases}$$
3. Tương tự bài toán đối với phép tính trong bảng chữ cái $\{a, b\}$ với sự thay thế
   $$\begin{cases} aaaaa \leftrightarrow \Lambda, \\ bb \leftrightarrow \Lambda, \\ abab \leftrightarrow \Lambda. \end{cases}$$
4. Tương tự bài toán đối với phép tính trong bảng chữ cái $\{a, b, c\}$ với sự thay thế
   $$\begin{cases} aa \leftrightarrow \Lambda, \\ bb \leftrightarrow \Lambda, \\ cc \leftrightarrow \Lambda, \\ ab \leftrightarrow c, \\ ac \leftrightarrow b, \\ ba \leftrightarrow c, \\ ca \leftrightarrow b, \\ cb \leftrightarrow a. \end{cases}$$
5. Xây dựng một phép tính kết hợp với một bài toán tương đương không thể giải được với 7 chữ thay thế trong bảng chữ cái gồm hai chữ cái. e cũng được chỉ định. Được phép lợi dụng thực tế là đối với phép tính Tseytin (tr. 8), bài toán tương đương là không thể giải được.
6. Có một số $n$, không chứa số 0. Nếu có hai số giống nhau hoặc hai số có hai chữ số giống nhau ở cạnh nhau thì có thể gạch bỏ chúng. Ngược lại, bạn được phép đặt hai số giống nhau hoặc hai số có hai chữ số giống nhau ở bất kỳ vị trí nào. Chứng minh rằng bằng cách kết hợp các phép tính này người ta có thể thu được một số nhỏ hơn 10$^9$. (bài toán này, được phát minh bởi G. Galperny, đã được đề xuất tại Olympic Toán học XXXIX Moscow.)

Bài toán
độc giả của chúng tôi

1. Trong số 15 quả bóng trông giống hệt nhau, có một quả bóng “bị lỗi”, có trọng lượng khác với tất cả những quả bóng còn lại và một quả bóng được đánh dấu là “tiêu chuẩn”.
   Làm thế nào để tìm ra một quả bóng “bị lỗi” chỉ bằng cách cân trên cân má (không có tạ)?
   M. Karajyan
   (r. Stepanavan)

2. Các đường thẳng đi qua đáy có độ cao $BB_0$ và $CC_0$ của tam giác $ABC$ thì song song với cạnh $BC$ và cắt các cạnh $AB$ và $CA$ (hoặc phần mở rộng của chúng) của tam giác tương ứng tại các điểm $C_1$ và $B_1$. Chứng minh rằng
   a) $|B_0C_1| = |B_1C_0|^2$;
   b) $|B_1C_1|^2 = |B_0B_1|^2 + |C_0C_1|^2 + |B_0C_0|^2$.
   Y. Alla
   (r. Võru)

3. Chứng minh bất đẳng thức
   $$1,71 < 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} < 1,72.$$
   S. Berkolayuk
   (v. Kotovo, vùng Belgorod)

4. Giải phương trình
   a) $x^5 = \overline{yyyx}$;
   b) $(x + y)^2 = \overline{xy}$;
   b) $(xx)^2 = yzt \frac{x}{2}$.
   I. Mikhalkovich
   (Vùng Minsk)

5. Trong khối địa hình $ABCD$, các điểm $A', B', C', D'$ là tâm của các đường tròn được mô tả bởi các mặt $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ tương ứng trên mặt phẳng $B'C'D'$, $C'D'A'$, $D'A'B'$, $A'B'C'$, giao nhau tại một điểm.
   Nechyen Kong Kwee
   (r. Hà Nội)

11

Sau đó chúng tôi nhận được

$$\cos \alpha_1' = \frac{2ac - (a^2 + c^2) \cos \alpha_1}{a^2 + c^2 - 2ac \cos \alpha_1} = \frac{2\varepsilon - (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1}{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon \cos \alpha_1}.$$

(3)

Sự tương ứng tương tự có thể được viết cho các góc $\alpha_1''$ và $\alpha_1''$ từ tam giác $ANB$. Xét rằng $\alpha_2 = \pi - \alpha_1''$ và $\alpha_1'' = \pi - \alpha_1'$ và sử dụng sự tương ứng (3), chúng ta thu được

$$\cos \alpha_2 = \cos (\pi - \alpha_1'') = -\cos \alpha_1'' = -\frac{2\varepsilon - (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1''}{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon \cos \alpha_1''} = -\frac{2\varepsilon + (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1'}{1 + \varepsilon^2 + 2\varepsilon \cos \alpha_1'} = -\frac{4\varepsilon (1 + \varepsilon^2) - [4\varepsilon^2 + (1 + \varepsilon^2)] \cos \alpha_1}{4\varepsilon^2 + (1 + \varepsilon^2)^2 - 4\varepsilon (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1}.$$

(4)

Sử dụng biểu thức (4), không khó để chỉ ra rằng với bất kỳ $\alpha_1$ nào sao cho $0 < \alpha_1 < \pi$ (chúng ta hạn chế chỉ xem xét nửa mặt phẳng trên),

$$\cos \alpha_2 < \cos \alpha_1, \text{ и } \alpha_2 > \alpha_1.$$

Người ta có thể tiếp tục xét đường đi của tia $AM$ và tìm biểu thức cho các góc tương ứng $\alpha_3$, $\alpha_4$, …, $\alpha_n$. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ để người đọc tự tiếp tục việc này. Ta chỉ lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, có nhiều phản xạ thì sự tương ứng là hợp lệ

$$\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 < \dots < \alpha_n.$$

Với nghiệm ngày càng tăng $\varepsilon$ “sự hội tụ” của các tia tăng tốc.

Ví dụ, bảng bên dưới trình bày kết quả tính toán cho các góc $\alpha_2$, $\alpha_3$ và $\alpha_4$ tùy thuộc vào góc $\alpha_1$. Hình elip $\varepsilon = 0,5$. Bảng cho thấy rằng sau chu kỳ phản xạ thứ ba, hầu hết tất cả các tia đều “sắp thẳng hàng” dọc theo trục chính của hình elip.

Lý luận tương tự có thể được thực hiện đối với gương elip. bài toán phức tạp hơn cũng có thể được xem xét, chẳng hạn như khi nguồn sáng nằm ở một điểm tùy ý bên trong hình elip hoặc khi mỗi điểm bên trong bề mặt hình elip là một bộ phát.

Lúc đầu, chúng ta gọi tính chất của gương elipson đang xét là một tính chất hình học thú vị. Nhưng thực tế là hầu hết tất cả các tia đều “sắp thẳng hàng” dọc theo trục chính của elipson có nghĩa là năng lượng ánh sáng hầu như tập trung theo một hướng. Có lẽ điều này có thể được sử dụng thực tế?

Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng các điều kiện cần thiết cho việc này—một bề mặt gương phản chiếu hoàn hảo của hình elip và một đèn flash “tức thời”—thực tế là không thực tế. Điều kiện thứ hai đặc biệt khó thực hiện. Thật vậy, thời gian chớp sáng t phải nhỏ hơn thời gian truyền ánh sáng $AMB: \tau < \frac{r_1 + r_2}{c_0} = \frac{2a}{c_0}$. Vì tốc độ ánh sáng trong chân không là $c_0 = 3 \cdot 10^8 \text{ m/сек}$, nên với kích thước hợp lý của hình elip ($a \sim 1 \text{ m}$) $\tau < 10^{-8} \text{ сек}$. Vì vậy, bài toán được xem xét hiện chỉ mang tính lý thuyết.