Bài toán M436—M440; F448—F452

30

Bài toán

M436 — M440; F448 — F452

M436. Cho 20 số $a_1, a_2, \dots, a_{10}, b_1, b_2, \dots, b_{10}$. Chứng minh rằng một tập hợp gồm 100 số (không nhất thiết phải khác nhau) $a_1 + b_1, a_1 + b_2, \dots, a_{10} + b_{10}$ có thể chia thành 10 tập con, mỗi tập chứa 10 số sao cho tổng các số trong mỗi tập con là như nhau.

S. Berkolaiko

M437. Chứng minh rằng một số lẻ là tích $n$ của các thừa số nguyên tố khác nhau có thể biểu diễn dưới dạng hiệu các bình phương của hai số tự nhiên bằng $2^{n-1}$ theo nhiều cách khác nhau.

O. Goncharik,
S. Sergey

M438. Tất cả các cặp đường tròn tiếp tuyến có thể phù hợp với đoạn này (Hình 1). Đối với mỗi cặp đường tròn, một đường thẳng tiếp tuyến với chúng được vẽ qua điểm tiếp xúc. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng này đều đi qua một điểm.

Z. Skopets

M439*. a) Chứng minh rằng phương trình
$$ax^k + bx^l + cx^m = 1$$
(trong đó $a, b, c$ là số thực, $k, l$ và $m$ là số tự nhiên) có nhiều nhất ba nghiệm dương.

b) Chứng minh rằng phương trình
$$a_1x^{k_1} + a_2x^{k_2} + \dots + a_nx^{k_n} = 1$$
(trong đó $a_1, a_2, \dots, a_n$ là số thực, $k_1, k_2, \dots, k_n$ là số tự nhiên) có nhiều nhất $n$ nghiệm dương.

b) Chứng minh rằng phương trình
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(trong đó $a, b, c$ là số thực, $k, l, m, p, q, r$ là số tự nhiên) có không quá 14 nghiệm dương.

A. Kushirenko

M440. Khối lập phương $100 \times 100 \times 100$ được tạo thành từ một triệu cốc đơn vị. Dùng xiên vẽ một đường thẳng đi qua tâm của các cốc và song song với cạnh của hình lập phương.