Trên dây của đường cong liên tục

27

Trên dây của đường cong liên tục

Tổng quát hóa khái niệm dây cung của một đường tròn, chúng ta sẽ gọi dây cung của một đường cong tùy ý là bất kỳ đoạn nào có các đầu thuộc về α. Ví dụ, đối với đường cong α được hiển thị trong Hình 1, các dây cung không chỉ là các đoạn PQ và RS mà còn là đoạn TU, là một phần của đường cong α.

1. O bài toán M413

Trong bài toán («Kvant», 1976, số 11), nó được trình bày để tìm ra những số dương α nào thì câu lệnh sau là đúng: với mọi hàm f xác định trên khoảng [0, 1], liên tục tại mỗi điểm của khoảng này và cực đại f(0)=f(1)=0, phương trình

$$f(x+a)-f(x)=0$$

(1) có lời giải.

Hãy giải quyết nó. Chúng ta hãy viết lại phương trình (1) ở dạng bằng nhau

$$f(x+a)=f(x).$$

Chúng tôi tin rằng (xem điều kiện bài toán) rằng trong các phương trình (1), (2) a>0 và hàm f được xác định trên khoảng [0, 1], là liên tục tại mỗi điểm của khoảng này và f(0)=f(1)=0.

Đồ thị của hàm α f là một đường cong liên tục nối các điểm A〈0, 0〉 và B·〈1, 0〉. Đồ thị β của hàm y=f(x+a) thu được bằng cách chuyển song song đường cong α dọc theo trục hoành sang trái (vì a>0) sang a (Hình 2).

Sự tồn tại của lời giải trong phương trình (2) có nghĩa là đồ thị của α và β cắt nhau: nếu f(x₀+a)=f(x₀)=y₀, thì điểm có tọa độ 〈x₀, y₀〉 thuộc cả α và β (Hình 3).

Hóa ra là để các đường cong α và β cắt nhau, điều cần thiết và đủ là α phải có một dây cung có độ dài song song với trục hoành. Tuyên bố này xuất phát từ bổ đề sau (bạn hãy tự chứng minh):

Bổ đề. Đường cong α, nối các điểm A và B,_MODEA và milk_MODEA có dây AB song song có độ dài r, trong đó đường cong β, thu được từ α bằng cách dịch song song theo hướng BA ở khoảng cách r, giao với α.

Do đó, chúng ta có thể “dịch” bài toán M413 sang “ngôn ngữ của hợp âm”: chúng ta cần tìm xem đồ thị của bất kỳ hàm f nào xác định trên đoạn [0, 1] liên tục tại mỗi điểm của đoạn này và cực đại hóa f(0)=f(1)=0, ta có một dây cung có độ dài song song với trục hoành.

2. “Vị trí” của số: a≠1/n.

Hãy chứng minh rằng với mọi giá trị α dương không bằng $\frac{1}{n}$ (n=1, 2, 3, 4, …), tồn tại một hàm số có dạng được mô tả, đồ thị của nó không có dây cung có độ dài song song với trục x.

Rõ ràng, với bất kỳ hàm nào như vậy đối với bất kỳ CD dây cung nào của đồ thị song song với trục hoành, |CD|≤|AB|=1 (Hình 4). Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng 0<a<1.

Nếu $\frac{1}{2}<a<1$, vẽ qua A và B bất kỳ đường thẳng nào u₁||u₂ và qua điểm giữa R₁ của đoạn AB - bất kỳ đường thẳng v₁ nào cắt chúng. Dễ dàng thấy rằng hàm f₂, có đồ thị là đường đứt nét α₂=AP₁Q₁B (Hình 5), là hàm bắt buộc, vì đối với bất kỳ CD dây âm nào của đồ thị của nó song song với trục hoành, |CD|≤1.

Hãy để bây giờ $\frac{1}{3}<a<\frac{1}{2}$. Chúng ta hãy chia đoạn AB cho các điểm R₁, R₂ thành ba phần bằng nhau và bất chấp điều này, cho điểm S₁—làm đôi. Hãy thực hiện

28

qua $A$, $S_1$ và $B$ bất kỳ đường thẳng song song nào $u_1 \parallel u_2 \parallel u_3$ và qua $R_1$, $R_2$ bất kỳ đường thẳng song song nào $v_1 \parallel v_2$ cắt chúng. Hàm $f_3$, có đồ thị là đường gãy $\alpha_3 = AP_1Q_1P_2Q_2B$ (Hình 6), là hàm bắt buộc: đối với bất kỳ hợp âm $CD$ nào của đồ thị của nó, song song với trục x, $|CD| \leq \frac{1}{3}$ hoặc $|CD| \geq \frac{1}{2}$. Thực vậy. Nếu các điểm $C$ và $D$ nằm trên các liên kết liền kề của đường đứt nét $\alpha_3$ (tức là trên $AP_1$ và $P_1Q_1$ hoặc trên $P_1Q_1$ và $Q_1P_2$, v.v.), thì rõ ràng là $|CD| \leq \frac{1}{3}$. Nếu điểm $C$ và $D$ nằm “thông qua một liên kết”, thì $|CD| = \frac{1}{3}$ (khi $C \in P_1Q_1$, $D \in P_2Q_2$) hoặc $|CD| = \frac{1}{2}$. Trong các trường hợp khác $|CD| > \frac{1}{2}$.

Tương tự, chúng ta dựng đường đứt nét $\alpha_n$ (đồ thị của hàm $f_n$), nối $A$ và $B$ và không chứa bất kỳ điểm song song nào với trục hoành của dây cung $CD$ sao cho $\frac{1}{n} < |CD| < \frac{1}{n-1}$. Chúng ta hãy chia đoạn $AB$ cho các điểm $R_1, R_2, \dots, R_{n-1}$ thành $n$ các phần bằng nhau và bất kể điều này, theo các điểm $S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ thành $n-1$ các phần bằng nhau. Chúng ta hãy vẽ qua $A, S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ và $B$ mọi đường thẳng song song $u_1, u_2, \dots, u_n$ và qua $R_1, R_2, \dots, R_{n-1}$ mọi đường thẳng song song $v_1, v_2, \dots, v_{n-1}$ cắt chúng. Đường đứt nét $\alpha_n = AP_1Q_1P_2Q_2 \dots P_{n-1}Q_{n-1}B$ (Hình 7 thể hiện đường đứt nét $\alpha_6$) là đường bắt buộc. Điều này được thiết lập lại bằng cách liệt kê các vị trí khác nhau có thể có của các điểm $C$ và $D$ (kiểm tra!).

Sự ngưng tụ 1. Kiểm tra xem $n = 2, 3, 4, \dots$ đồ thị hàm số $g_n$:
$$g_n(x) = \sin(2\pi(n-1)x)$$
trên đoạn $[0, 1]$ không có dây cung có độ dài $\frac{1}{n} < a < \frac{1}{n-1}$ song song với trục x. Vẽ biểu đồ này.

2. Chứng minh rằng với mọi số dương $a$ không bằng $\frac{1}{n}(n=1,2,3,4,\dots)$ thì đồ thị của hàm số $h_a$:
   $$h_a(x) = \sin^2\left(\frac{\pi}{a}x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{a}\right)x$$

29

3. Số 《Tốt》: $a = \frac{1}{n}$

Chúng ta sẽ chứng minh rằng với $a = \frac{1}{n}$ ($n = 1, 2, 3, 4, \dots$) đồ thị của hàm số $f$ được xét có dây cung có độ dài $a$ trên khoảng [0, 1] song song với trục hoành.

Thật vậy: đường dẫn $M_0$ và $N_0$ là các điểm trên đồ thị của hàm $f$, tương ứng với các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm này. Chúng ta hãy vẽ qua $M_0$ và $N_0$ các đường thẳng $m$ và $n$, song song với trục hoành. Rõ ràng là toàn bộ đồ thị của hàm $f$ nằm trong dải $\Delta$, giới hạn bởi các đường thẳng $m$ và $n$ (Hình 8).

Bây giờ chúng ta giả sử rằng đồ thị của hàm $f$ không có dây cung có độ dài $a = \frac{1}{n}$ song song với trục x.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\alpha_0$ đồ thị của hàm $f$ đang được xem xét và bằng $\alpha_h$ đường thẳng thu được từ $\alpha_0$ bằng cách dịch song song theo hướng của trục x sang phải một khoảng cách $ka$ ($k = 1, 2, \dots, n$).

Theo bổ đề, các đường cong $\alpha_0$ và $\alpha_1$ không có điểm chung. Cung $M_0N_0$ của đồ họa $\alpha_0$ (trong Hình 8 được tô đậm) chia sọc $\Delta$ thành hai phần - phải và trái. Vì đường cong $\alpha_1$ không giao nhau với $\alpha_0$ và không bị gián đoạn nên nó hoàn toàn nằm ở bên phải các phần này.

Do đó, nếu $M_kN_k$ là cung của đường $\alpha_k$, thu được từ $M_0N_0$ bằng cách truyền song song, thì tại $l > k$ toàn bộ đường $\alpha_l$ nằm trong dải $\Delta$ bên phải cung $M_kN_k$ và tại $l < k$ - ở bên trái của $M_kN_k$.

Cụ thể, dòng $\alpha_0$ nằm ở dải $\Delta$ ở bên trái của $M_1N_1$ và dòng $\alpha_n$ nằm ở bên phải của $M_1N_1$, và do đó

cả $\alpha_0$ và $\alpha_n$ đều không có điểm chung.

Mặt khác, đường $\alpha_n$ có được từ $\alpha_0$ bằng cách dịch song song đến khoảng cách $na = 1$. Trong trường hợp này, việc chuyển điểm $A \in \alpha_0$ sẽ chuyển sang điểm $B$, tức là $B \in \alpha_n$. Ngoài ra, vì $B \in \alpha_0$ nên các đường thẳng $\alpha_0$ và $\alpha_n$ có một điểm chung.

Mâu thuẫn thu được chứng tỏ đường thẳng $\alpha_0$ có dây cung có độ dài $1/n$ song song với trục x. Như vậy, bài toán M413 đã được giải quyết hoàn toàn.

Bài trước 3. Chứng minh rằng phát biểu này (về sự tồn tại của dây có độ dài $1/n$, song song với trục hoành) không chỉ đúng với đường thẳng $\alpha_0$, là đồ thị và hàm số, mà còn đúng với đường cong liên tục tùy ý nối các điểm $A = < 0, 0>$ và $B = < 1, 0>$.

4. Khái quát hóa

Lý do được thực hiện trong đoạn trước có thể được hiểu như sau. Đặt $\alpha_0$ là một đường cong liên tục tùy ý nối các điểm $A$ và $B$. Giả sử số $a = \frac{1}{n}$ là “xấu” đối với đường cong này, tức là khi truyền song song đến khoảng cách $a$ thì kết quả là đường thẳng $\alpha_1$ không có điểm chung với $\alpha_0$. Khi đó các số $2a, \dots, na$ cũng “xấu” đối với đường thẳng $\alpha_0$, do đó mâu thuẫn hoàn thành chứng minh.

Người đọc có thể xác minh một cách độc lập (bằng cách lặp lại cùng một lý do) rằng tuyên bố tổng quát hơn sau đây là đúng:

Nếu một đường cong liên tục $\alpha$ nối $A$ và $B$ không có dây AB song song có độ dài $p$ và không có dây AB song song có độ dài $q$ thì nó cũng không có dây AB song song có độ dài $p + q$.