Lời giải bài toán M411, M412, M414, M415; F423—F427

34

F466. Hình 3 được tạo bằng ảnh chụp đường đi của một bộ phận trong buồng mây. Sự phân rã của các hạt nhân khí lấp đầy buồng mây trong trường hợp này là do tác động của các neutron nhanh lên chúng. Buồng mây chứa đầy hỗn hợp hydro (H₂), hơi rượu (C₂H₅OH) và nước (H₂O) và được đặt trong từ trường có cảm ứng 1,3 ml. Vectơ cảm ứng từ có hướng vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.

1. Xác định năng lượng của proton xuất hiện tại điểm A. Quỹ đạo của proton này là đường cong AA′. Tại sao độ cong của quỹ đạo proton thay đổi? Xác định năng lượng của proton tại điểm C trên quỹ đạo của nó.

Khối lượng của proton là 1,67·10⁻²⁷ kcal.

2. Xác định hạt nhân của nguyên tố nào phân rã tại điểm A nếu dấu vết của phần bắt đầu tại điểm này được xác định là dấu vết của hai proton và hai hạt α. (10 lớp)

F467. Mặt trăng được chụp ảnh đồng thời từ cùng một phía từ Trái đất và từ vệ tinh của Mặt trăng. Quỹ đạo của vệ tinh rất dốc. Đường kính của hình ảnh Mặt trăng trong ảnh chụp trên Trái đất là 4 mm và trên vệ tinh của Mặt trăng là 250 mm. Tìm chu kỳ quay của vệ tinh Mặt Trăng trong quỹ đạo của nó nếu cả hai ảnh được tạo ra bằng các vật thể giống hệt nhau có tiêu cự 500 mm. Chấp nhận rằng gia tốc trọng trường trên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần và khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng là 380.000 km. (10 lớp)

Lời giải bài toán
M411, M412*), M414, M415; F423—F427

M411. Ba đoạn thẳng có hai cạnh cuối cùng song song với các cạnh của tam giác, đi qua một điểm và có cùng độ dài x. Tìm x nếu độ dài các cạnh của tam giác là a, b, c.

Hình 1 cho thấy ba hình tam giác được tô bóng giống như ABC, mỗi hình có một cạnh dài x.

Xét các cạnh của ba tam giác tô bóng song song với cạnh AC có độ dài b; Hãy biểu thị độ dài của các cạnh này bằng b₁, b₂ và b₃. Lưu ý rằng tổng độ dài của chúng là 2b (b = |AC|): b₁ + b₂ + b₃ = 2b, vì vậy $\frac{b_1}{b} + \frac{b_2}{b} + \frac{b_3}{b} = 2$ là tổng các hệ số tương tự của các tam giác này bằng 2. Vì vậy, $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} + \frac{x}{c} = 2$, từ đâu

$$x = \frac{2abc}{ab + ac + bc}.$$

A. Yagulchi

*) Bài toán M413 đã được I. Yaglom giải trong bài viết “Về hợp âm của các đường cong liên tục”, «Kvant», 1977, số 4.

35

M412. Ở zorode, mỗi ô vuông có ít nhất ba con phố. Tất cả các đường phố đều có giao thông một chiều, vì vậy bạn có thể lái xe từ bất kỳ quảng trường nào đến bất kỳ quảng trường nào khác. Chứng minh rằng có thể cấm giao thông trên một trong các đường phố (trong khu vực giữa hai ô vuông) và vẫn có thể lái xe từ ô vuông này sang ô vuông khác.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

M414. a) Trong các hình tam giác vuông cắt ra từ một đường thẳng lồi cho trước (Hình 5), diện tích của bốn hình bằng S, diện tích của đường thẳng là 3S/2. Tìm diện tích x của một đa giác thẳng.

6. Chứng minh rằng nếu $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ là diện tích tam giác vuông và $x$ là diện tích tam giác vuông thì 3S/2. Tìm diện tích x của một đa giác thẳng.

7. Chứng minh rằng nếu $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ là diện tích tam giác vuông và $x$ là diện tích tam giác vuông thì 3S/2. Tìm diện tích x của một đa giác thẳng.

Hãy để chúng tôi chứng minh phát biểu của mình bằng cách chỉ ra số diện tích. Nếu có hai hình vuông thì ta sẽ để lại hai đường nối hình vuông thứ nhất với hình vuông thứ hai và hình vuông thứ hai, đóng phần còn lại.

Hãy có nhiều hơn hai khu vực. Giả sử rằng chúng tôi đã cố gắng chỉ ra một tuyến đường khép kín dọc theo các đường phố trong thành phố, bắt đầu và kết thúc ở ô vuông A và đi qua ít nhất ba ô vuông. (Cách xây dựng các tuyến đường vòng được thể hiện trong Hình 2: chúng ta chọn một tuyến đường nối khu vực A với một số khu vực B, sau đó là tuyến đường nối B với A và chọn tuyến đường chúng ta cần - “vòng” màu đỏ trong hình.) Hãy thay đổi quy hoạch thành phố: chúng ta sẽ khai báo toàn bộ tuyến đường vòng này là một hình vuông mới và chúng ta sẽ khai báo tất cả các đường phố không nằm trong tuyến đường vòng của chúng ta, giữ nguyên hướng di chuyển trên chúng. Đồng thời, chúng ta có thể có những con phố bắt đầu và kết thúc ở một quảng trường mới. Hãy kiểm tra xem “thành phố” thu được có thỏa mãn mọi điều kiện bài toán hay không. Để làm điều này, bạn cần đảm bảo rằng có ít nhất ba con đường mở vào quảng trường mới. Điều này đảm bảo giả định của chúng tôi rằng có ít nhất ba hình vuông trên đường tròn (xem Hình 3). Không kém phần rõ ràng là vẫn có thể lái xe từ bất kỳ quảng trường nào đến bất kỳ quảng trường nào khác - việc “tái phát triển” của chúng tôi chỉ có thể rút ngắn các tuyến đường tương ứng. Như vậy, chúng ta đã có được một thành phố thỏa mãn điều kiện bài toán và có ít diện tích hơn. Theo giả định về chỉ dẫn, nó chứa một con phố “phụ”. Nó tương ứng với một con phố nào đó trong thành phố cổ. Chúng tôi sẽ cấm giao thông trên đó. Thật dễ dàng để xác minh rằng việc đi lại vẫn có thể thực hiện được. Thật vậy, hãy xem xét các ô vuông $\Pi_1$ và $\Pi_2$ và một tuyến đường nối $\Pi_1$ đến $\Pi_2$ trong một thành phố mới và không đi qua một con phố bị đóng. Băng qua tuyến đường này để đến khu phố cổ. Nếu tuyến đường này không đi qua hình vuông mới thì nó sẽ kết nối $\Pi_1$ với $\Pi_2$. Nếu không, nó sẽ vỡ thành hai phần: trước “chiếc nhẫn” và sau “chiếc nhẫn”. Bằng cách thêm phần tương ứng của vòng vào đó, chúng ta sẽ có được tuyến đường mong muốn kết nối $\Pi_1$ với $\Pi_2$ trong khu phố cổ và không đi qua một con phố kín.

Vẫn còn phải xem xét các thành phố không có tuyến đường vòng dài. Chúng ta hãy lấy một số khu vực A của một thành phố như vậy. Nếu bạn có thể lái xe từ quảng trường B dọc theo một con phố, thì từ quảng trường B bạn có thể lái xe đến quảng trường B dọc theo một con phố - nếu không thì khoảng cách sẽ biểu thị một vòng lớn hơn. Bây giờ chúng ta tiến hành như sau: xét diện tích A và diện tích liền kề B1. Khu B1 được kết nối với khu A (xem Hình 4). Ngoài ra còn có một con đường khác hướng về A. Đầu kia của nó đi vào quảng trường B2. Nhưng sau đó có một con đường khác nối A và B2 - với hướng đi ngược lại. Do đó, chúng tôi sẽ khai báo vòng $AB_1A$ một hình vuông mới, các điều kiện bài toán sẽ được thỏa mãn: ít nhất ba đường phố sẽ mở vào hình vuông mới.

L. Limanov

◆ Hãy bắt đầu ngay với bài toán 6). Gọi $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ lần lượt là diện tích của các hình tam giác $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, A_4A_5A_1, A_5A_1A_2$. Chúng ta hãy biểu thị bằng a diện tích tam giác $A_1A_2A_4$, b diện tích tam giác $A_1A_3A_4$ và c diện tích tam giác $A_1A_3A_5$. Sau đó (xem Hình 6-8):

$$\begin{align*} x &= S_2 + a + S_4; \\ x &= S_1 + b + S_4; \\ x &= S_1 + c + S_3. \end{align*}$$

Đặt các góc $A_2A_1A_3, A_2A_1A_4, A_2A_1A_5$ lần lượt bằng $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$. Sau đó (Hình 9):

$$\begin{align*} 2S_1 &= |A_1A_2| \cdot |A_1A_3| \sin \alpha, \\ 2S_4 &= |A_1A_4| \cdot |A_1A_5| \sin (\gamma - \beta), \\ 2S_5 &= |A_1A_2| \cdot |A_1A_5| \sin \gamma, \end{align*}$$

36

Hình 5.

Hình 6.

Hình 7.

$$2b = |A_1A_3| \cdot |A_1A_4| \sin(\beta - \alpha),$$
$$2a = |A_1A_2| \cdot |A_1A_4| \sin \beta,$$
$$2c = |A_1A_3| \cdot |A_1A_5| \sin(\gamma - \alpha),$$

Ở đâu
$$S_1S_4 + bS_5 = k \left[ \sin \alpha \sin(\gamma - \beta) + \sin \gamma \sin(\beta - \alpha) \right],$$
$$ac = k \sin \beta \sin(\gamma - \alpha),$$
(2)

ở đâu $k = \frac{1}{4} |A_1A_2| \cdot |A_1A_3| \cdot |A_1A_4| \cdot |A_1A_5|$. Dễ dàng kiểm tra điểm
$$\sin \alpha \sin(\beta - \gamma) + \sin \beta \sin(\gamma - \alpha) + \sin \gamma \sin(\alpha - \beta) = 0.$$
Pozny, do (2),
$$S_1S_4 + bS_5 - ac = 0.$$

Thay thế theo (3) với $a, b$ và $c$ biểu thức của chúng thông qua $x, S_1, S_2, S_3, S_4$ và $S_5$, ta thu được:
$$S_1S_4 + (x - S_1 - S_4)S_5 - (x - S_2 - S_4)(x - S_1 - S_3) = 0,$$
và do đó
$$x^2 - x(S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5) + (S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_4 + S_4S_5 + S_5S_1) = 0.$$

Thay $S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S, S_5 = 3S/2$ vào phương trình này, chúng ta thu được đáp số nhiệm vụ a): $x = 4S$ (xem Hình 10).

Điều mà chúng tôi đưa ra lời giải bài toán 6) được đề xuất vào năm 1824 bởi Gauss - “cố vấn lái xe” Gauss (Herr Hofrath Gauss). Nó được xuất bản trên tạp chí “Astronomische Berichte”, 1824, tập. 2, tr. 343. Điều này lời giải sử dụng đáng kể độ lồi của hình ngũ giác ban đầu. Tuy nhiên, kết quả đã được chứng minh là đúng đối với một hình ngũ giác tùy ý - và không chỉ là hình ngũ giác không lồi mà còn là hình có các cạnh cắt nhau (ví dụ, như trong Hình 11). Điều này được mô tả chi tiết trong bài viết của A. Lopshtz “Vấn đề Mobinus và sự tiếp diễn của nó”, «Kvant», 1977, số 3.

A. Lopshtsa

Hình 10.

Hình 11.

38

F423. Khối lượng của quả bóng cùng với lực cản của sợi dây phía sau nó bằng M (Hình 18). Lực kéo tác dụng lên quả bóng bằng $\vec{F}$, hệ số ma sát của sợi dây với Trái đất là μ. Lực cản của không khí tác dụng lên quả bóng tỷ lệ thuận với tốc độ của quả bóng so với không khí: $\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$. Quả bóng Naimenskoe so với Trái đất nếu chúng ta thổi một cơn gió ngang với tốc độ $\vec{u}$.

Hình 18.

F424. Để làm điều này, một bóng đèn, được kéo dài đến điện áp 7 110 V, được kết nối với mạng có điện áp 220 V, bạn có thể sử dụng một điện trở, có thể kết nối theo sơ đồ a) và b) (Hình 19). Tên hiệu suất của từng mạch. Điện trở của bóng đèn là 1000 ôm, điện trở suất là 2000 ôm.

Hình 19.

Năm lực tác dụng lên quả bóng (xem Hình 18): lực hấp dẫn $\vec{F}_T = M \vec{g}$, lực nổi $\vec{F}$, lực cản của không khí $\vec{F}_c$, lực phản ứng của Trái đất $\vec{N}$ và lực ma sát từ Trái đất $\vec{F}_{Tp}$.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\vec{v}'$ tốc độ của quả bóng so với Trái đất.

Sau đó
$$\vec{F}_c = -\alpha (\vec{v}' - \vec{u}).$$

Từ điều kiện quả bóng chuyển động đều theo phương ngang thì suy ra

$$|\vec{F}_c| - |\vec{F}_{Tp}| = 0$$

Và
$$|\vec{F}| + |\vec{N}| - M |\vec{g}| = 0.$$

Bên cạnh đó,
$$|\vec{F}_{Tp}| = \mu |\vec{N}|.$$

Có tính đến thực tế là $\vec{F}_c = -\alpha (|\vec{v}'| - |\vec{u}|)$, từ ba phương trình cuối cùng, chúng ta thu được
$$|\vec{v}'| = |\vec{u}| - \frac{\mu}{\alpha} (M |\vec{g}| - |\vec{F}|).$$

A. Trubachev

Trước hết hãy ước tính xem trường hợp nào trong hai trường hợp có hiệu quả cao hơn. Trong cả hai trường hợp, điện áp trên bóng đèn là như nhau, do đó điện áp trên đoạn AB là như nhau (xem Hình 19). Dòng điện chạy qua đèn cũng giống nhau ở mạch a) và b), nghĩa là dòng điện ở phần AB ở mạch a) lớn hơn dòng điện ở mạch b). Do đó, tổn thất điện năng ở đoạn AB trong trường hợp thứ nhất lớn hơn trong trường hợp thứ hai. Ngoài ra, mạch a) còn đảm bảo tiêu thụ điện năng trên đoạn điện trở BC.

Vì vậy, tổn thất điện năng trong mạch a) lớn hơn và hiệu suất theo đó cũng nhỏ hơn.

Bây giờ chúng ta hãy tìm các giá trị hiệu suất cụ thể trong các sơ đồ a) và b). Trong trường hợp đầu tiên, công suất tỏa ra trong bóng đèn bằng $\frac{U^2}{R_1} + \frac{R_2 R_\pi}{R_2 + R_\pi}$ (ở đây $R_1$ là điện trở của phần điện trở AB, và $R_2$ là phần BC). Sau đó
$$\eta_1 = \frac{U^2}{U^2} \frac{R_1 + \frac{R_2 R_\pi}{R_2 + R_\pi}}{R_1}.$$

Để tính $\eta_1$, cần xác định $R_1$ và $R_2$.

Với kết nối nối tiếp, điện áp trong các phần riêng lẻ của mạch tỷ lệ thuận với điện trở của các phần đó:
$$\frac{U - U_\pi}{U_\pi} = \frac{R_1}{R_2 R_\pi}.$$

Bên cạnh đó,
$$R_1 + R_2 = R_p = 2R_\pi.$$

39

Có tính đến thực tế là $U = 2U_\pi$, từ hai đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được

$$R_1 = (2 - \sqrt{2}) \cdot 10^3 \text{ ом} \text{ и } R_2 = \sqrt{2} \cdot 10^3 \text{ ом}.$$

phương trình dương

$$\eta_1 = \frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)} \approx 0,3.$$

Trong trường hợp thứ hai (trong sơ đồ 6)), điện áp ở phần trên của bộ điều chỉnh bằng $220 \text{ ом} - 110 \text{ ом} = 110 \text{ ом}$, tức là điện áp trên các bóng đèn bằng nhau. Điều này có nghĩa là năng lượng được giải phóng ở khu vực này giống như trong bóng đèn. Kể từ đây,

$$\eta_2 = 0,5.$$

I. Soloveichik

F425. Trong khoảng trống giữa các bản của một tụ điện phẳng độc lập có một tấm kim loại có điện tích Q. Các khoảng trống $l_1$ và $l_2$ sẽ vẫn còn giữa tấm và các bản của tụ điện. Diện tích các bản bằng nhau và bằng S. Xác định hiệu điện thế giữa các bản của tụ điện.

Hình 20.

F426. Trong một lô hai lớp gồm các phần mờ đục có bán kính $r_1=5$ µm với hàm lượng khối lượng chất $m_1=0,04$ e trên một mét khối áp suất không khí $l_1=50$ m. Bao nhiêu chất trong một mét khối không khí được phun bởi một nguồn hút khác, tạo ra bán kính một phần $r_2=10$ µm, nếu áp suất giảm xuống $l_2=20$ m?

Vì tụ điện không được tích điện nên các bản của nó không tham gia tạo ra điện trường. Do đó, trường bên trong tụ điện chỉ được tạo ra bởi tấm tích điện bên ngoài.

Chúng tôi giả định rằng kích thước tuyến tính của tấm lớn hơn nhiều so với độ dày của nó và độ dày của các khoảng trống $l_1$ và $l_2$. Điều này có nghĩa là điện trường đều. Điện áp của nó được hướng từ tấm nếu $Q > 0$ (Hình 20) và hướng về phía tấm ở $Q < 0$. Theo giá trị tuyệt đối của điện áp $\vec{E}_1$ và $\vec{E}_2$ trong các khoảng trống $l_1$ và $l_2$ là như nhau:

$$|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2| = \frac{|Q|}{2\varepsilon_0 S}.$$

Hiệu điện thế giữa các bản tụ điện bằng công thực hiện bởi điện trường làm di chuyển một đơn vị điện tích dương từ bản này sang bản khác:

$$U_{12} = -|\vec{E}_1|l_1 + |\vec{E}_2|l_2 = \frac{|Q|}{2\varepsilon_0 S}(l_2 - l_1).$$

I. Slovodetsky

Chúng ta hãy xem xét một lớp không khí có hai lớp trên đường đi của chùm sáng (Hình 21). Chúng ta hãy chọn $\Delta l$ nhỏ đến mức trong trường hợp này không có bóng của một số hạt khác. Polgitite như vậy phải nhẹ, được xác định bởi mặt cắt ngang $\Delta S$ của tất cả các hạt nằm trong lớp này. Trên mỗi đơn vị tiết diện của dầm chúng ta thu được

$$\Delta S = N\Delta l\pi r^2 = \frac{m}{4/3\pi r^3\rho} \Delta l\pi r^2 = \frac{m\Delta l}{4/3\rho},$$

trong đó $N$ là số lượng hạt trên một đơn vị thể tích, $\rho$ là mật độ của chất được phun.

Chúng ta hãy viết sự tương ứng (*) cho hai lớp đang xét và tìm tỷ lệ độ dày của các lớp trong đó cùng một phần ánh sáng được hấp thụ:

$$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{m_2}{m_1} \frac{r_1}{r_2}.$$

Các sự tương ứng tương tự có thể được viết cho các lớp 2, 3,…, $n$, trong đó một lần nữa có thể tránh được sự che bóng lẫn nhau của các hạt. Nếu trong trường hợp đầu tiên, hãy đưa thêm ánh sáng vào với sự tương ứng $\Delta l$ đã chọn

40

Hình 21.

F427. Hai viên sỏi có số vòng $n_1=125$ và $n_2=1000$ được quấn trên một lõi sắt từ đạo đức có đường kính $d=5$ cm và diện tích mặt cắt ngang $S=1$ cm$^2$ (Hình 22). Theo viên sỏi đầu tiên, mok địa phương $I_1=1$a, viên sỏi thứ hai được kết nối với điện kế. Khi mạch điện của viên sỏi đầu tiên được mở, một điện tích $q=10^{-3}$ k chạy qua điện kế. Tổng điện trở của mạch của viên sỏi thứ hai là $R=100$ ohm. Xác định độ thấm từ của vật liệu làm lõi.

Hình 22.

$$l_1 = n\Delta l_1,$$
thì trong trường hợp thứ hai, hiển nhiên là $l_2 = n\Delta l_2$. Sau đó chúng ta có thể viết

$$\frac{l_1}{l_2} = \frac{n\Delta l_1}{n\Delta l_2} = \frac{m_2}{m_1} \frac{r_1}{r_2}.$$

Từ đây

$$m_2 = m_1 \frac{r_2}{r_1} \frac{l_1}{l_2} = 0,2 \text{ e/m}^3.$$

V. Belonchkin

Khi dòng điện chạy qua cuộn dây thứ nhất sẽ xuất hiện một từ trường trong lõi. Cảm ứng từ của từ trường do dây dẫn mang dòng điện tạo ra luôn tỉ lệ với dòng điện trong dây dẫn. Nó cũng phụ thuộc vào cấu hình của dây dẫn và tính thấm từ của môi trường.

Từ các báo cáo về tính đối xứng, có thể thấy rất rõ rằng ở toron, cảm ứng từ trường là như nhau về giá trị tuyệt đối tại tất cả các điểm của vòng tròn, tâm của nó trùng với tâm của hình xuyến (xem Hình 22). Ngoài ra, mặt cắt ngang của toronad nhỏ. Vì vậy, trường bên trong hình xuyến có thể được coi là đồng nhất. Một tính toán chặt chẽ được thực hiện cho trường hợp này cho

$$|\vec{B}| = \mu_0 \frac{n_1 I_1}{\pi d},$$

trong đó $\mu_0 = 4 \cdot 10^{-7} \text{ eH/m}$ là hằng số từ, $\mu$ là độ thấm từ của vật liệu lõi.

Dòng cảm ứng từ qua mặt cắt ngang có diện tích $S$ bằng

$$\Phi = \left| \vec{B} \right| S = \mu_0 \mu \frac{n_1 I_1}{\pi d} S.$$

Khi mở cuộn dây thứ nhất thì từ thông sẽ giảm. Để dòng chảy giảm $\Delta \Phi$ trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$. Ở cuộn dây thứ hai xuất hiện suất điện động cảm ứng

$$|\mathcal{E}_2| = n_2 \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$$

và anh ấy sẽ có được nó như thế này

$$I_2 = \frac{|\mathcal{E}_2|}{R} = \frac{n_2}{R} \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}.$$

Trong thời gian $\Delta t$ bán điện tích qua điện kế

$$\Delta q = I_2 \Delta t = \frac{n_2}{R} |\Delta \Phi|.$$

Toàn bộ điện tích chạy qua cuộn dây thứ hai được xác định bởi sự thay đổi hoàn toàn của từ thông cảm ứng từ:

$$q = \Sigma \Delta q = \frac{n_2}{R} \Sigma |\Delta \Phi| = \frac{n_2}{R} \Phi =$$

$$= \frac{n_1 n_2 \mu_0 \mu I_1 S}{\pi d R}.$$

Từ đây

$$\mu = \frac{q \pi d R}{n_1 n_2 \mu_0 I_1 S} = 1000.$$

V. Svetozarov

42

Hình 1.

Mối quan hệ giữa độ dài các đường chéo của một tứ giác nội tiếp và độ dài các cạnh của nó (định lý Ptolemy *)).

Sau sự sụp đổ của Đế chế La Mã (1/4 cuối thế kỷ thứ 5 sau Công nguyên) và sự lan rộng của Cơ đốc giáo, phủ nhận khoa học và triết học ngoại giáo, trung tâm nghiên cứu khoa học dần dần chuyển sang các nước nói tiếng Ả Rập. Các quốc gia này đã học được các hàm lượng giác mới và các bảng hợp âm được cải tiến.

Việc nghiên cứu mối quan hệ chung giữa các đại lượng bắt đầu vào thế kỷ 14 bởi nhà khoa học người Pháp Nicholas Orsim. Bản thảo của ông chứa các bản vẽ điền vào đồ thị hàm số hiện đại. Ông thậm chí còn cố gắng phân loại những biểu đồ này. Tuy nhiên, việc thiếu biểu tượng đại số tổng quát đã ngăn cản ông tiến xa hơn. Chỉ sau khi đại số chữ cái bắt đầu được phát triển vào thế kỷ 16 (bởi François Viète) thì những bước tiếp theo mới có thể được thực hiện.

Toán học của các biến

Vào thế kỷ 16-17, bộ điều hướng, kỹ thuật bài toán, không đủ cho toán học thời cổ đại, vốn xử lý các vật thể cố định, với các đại lượng có sẵn.

Đồng thời, niềm tin bắt đầu lan rộng rằng thế giới bị chi phối bởi những quy luật tự nhiên có thể biết được. Để xây dựng

*) «Kvant», 1976, № 7, c. 26.

cần có những định luật này và lời giải được đặt ra bởi bài toán các phương pháp toán học mới.

Galileo Galileo, người sáng lập Động lực học, là một trong những người đầu tiên nghĩ đến việc tạo ra các phương pháp mới để hiểu thế giới. Anh nghĩ về tốc độ của một vật rơi thay đổi như thế nào, nam châm dao động theo định luật nào, một điểm nằm trên vành của một bánh xe lăn chuyển động như thế nào.

Để mô tả các định luật vật lý của chuyển động toán học, cần phải đưa ra khái niệm đại lượng thay đổi. Điều này được thực hiện bởi nhà sinh lý học và toán học người Pháp Rene Descartes, người sống vào cuối thế kỷ 16 và nửa đầu thế kỷ 17.

“Bước ngoặt trong toán học là biến Descartes về độ lớn. Nhờ đó mà chuyển động và phép biện chứng đã đi vào toán học.” (F. Engels).

Để ghi lại mối quan hệ giữa các đại lượng, Descartes đã sử dụng các chữ cái và mối quan hệ giữa các đại lượng chưa biết và đã biết được thể hiện dưới dạng một phương trình.

Bằng cách chọn một số đơn vị đo nhất định, bạn có thể biểu thị tất cả các đại lượng đã học bằng số. Do đó, sự phụ thuộc giữa các đại lượng chuyển thành sự phụ thuộc giữa các con số. Ví dụ: nếu đơn vị đo khoảng cách và dự đoán thời gian là mét và giây, thì sự phụ thuộc của quãng đường mà vật rơi tự do vào thời gian sẽ được biểu thị bằng công thức $s=1/2 gt^2$, trong đó $g=9.81$. Khi số $t$ thay đổi, số $s$ cũng thay đổi và do đó công thức này kết nối các biến số $t$ và $s$ với nhau.

Tuy nhiên, trong một thời gian dài người ta tránh nói về các biến số mà thay vào đó nói về các biến số có độ lớn. Để phân biệt giữa đại lượng thay đổi và số đo chiều dài, các số không phải là 1, 2, 3 mà là 1 m, 2 m, 3 cm, v.v.; Hơn nữa, mặc dù 3 cm và 0,03 m được biểu thị bằng các số 3 và 0,03 khác nhau, nhưng 3 cm = 0,03 m.

Khám phá toán học của Descartes đã đưa ra một phương pháp chung để nghiên cứu các đường cong. Giờ đây, vị trí của các phép xem xét hình học, bảng được các nhà toán học Hy Lạp ưa chuộng, đã được thay thế bằng đại số.

43

Nghiên cứu của Ranich về phương trình đường cong - tính chất hình học được thiết lập bằng phương pháp đại số. Đây là một bước quan trọng hướng tới việc hình thành tính chất chung và/hoặc sự phụ thuộc của một số biến số vào các biến số khác. Nhiều đường cong được nghiên cứu vào thế kỷ 17 xuất phát từ thực tế bài toán - chúng cần thiết để mô tả sự chuyển động của các bánh răng, chuyển động của con lắc, v.v. Đồ thị của các hàm cơ bản - sin, tiếp tuyến, v.v. cũng đã được nghiên cứu.

Sự ra đời của thuật ngữ

Trong khoa học, thường xảy ra trường hợp lâu nay người ta đã quen với một khái niệm khác nhưng nó chỉ xuất hiện một cách ngầm định, không có mục đích cụ thể - mà các nhà khoa học gọi theo cách riêng của mình. Bởi vì điều này, các tính toán tương tự được lặp đi lặp lại. Việc đưa ra một thuật ngữ mới dẫn đến việc làm rõ khái niệm tương ứng, giải phóng nó khỏi mọi thứ ngẫu nhiên và không quan trọng, đồng thời xác định các đặc điểm chung trong các phép tính được thực hiện độc lập với nhau trong các lĩnh vực khoa học khác nhau.

Từ năm 1673, nhà triết học và toán học nổi tiếng người Đức Gottfried Wilhelm Leibn đã tìm cách sử dụng từ “hàm số” trong các bản thảo của mình. Tuy nhiên, ông sử dụng thuật ngữ này theo nghĩa rất hẹp, ông chỉ nói về các đoạn tiếp tuyến với đường cong, về hình chiếu của chúng trên trục tọa độ và về “các loại đường khác thực hiện một chức năng nhất định cho một hình nhất định” (từ tiếng Latin “functus” - biểu diễn).

Johann Bernul, một trong những học trò đầu tiên của Leibniz, đã đưa ra một hàm xác định, không phụ thuộc vào các thuật ngữ hình học: “một hàm của một biến được gọi là một bánh xe, được hình thành theo cách nào đó từ đại lượng và các hằng số này”. Định nghĩa này khiến Leibniz thích thú: ông đoán rằng việc rời bỏ thuật ngữ hình học đánh dấu một kỷ nguyên mới của toán học - nghiên cứu các hàm như những đối tượng độc lập, hơn nữa, dựa trên các con số chứ không dựa trên hình học.

Vào thời Bernoulli, “theo cách góc cạnh nào” được hiểu là các phép toán tranh luận, các phép toán rút căn, lượng giác và lượng giác nghịch đảo, “các phép toán” hàm mũ và logarit, cũng như các kết hợp khác nhau của chúng. Những chức năng như vậy hiện nay được gọi là “sơ cấp” (hiện nay chúng được dạy ở trường).

Vào thế kỷ 17 và đặc biệt là thế kỷ 18, các nhà toán học bắt đầu xem xét các hàm thu được bằng cách tính tổng vô số phần tử của hàm. Điều này dẫn đến việc mở rộng lớp chức năng đang được nghiên cứu. Một trong những nhà toán học đáng chú ý nhất của thế kỷ 18, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, Leonard Euler, đã định nghĩa một hàm số như sau: “khi một số đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác theo cách mà khi đại lượng sau thay đổi, bản thân chúng cũng thay đổi, thì đại lượng trước được gọi là hàm của đại lượng sau”. Trong một tác phẩm của mình, ông thậm chí còn nói về đồ thị của hàm số như một đường cong được vẽ bởi “chuyển động tự do của bàn tay”.

Tranh cãi về khái niệm chức năng

Câu hỏi hàm là gì và làm thế nào các khái niệm về hàm và biểu thức phân tích của nó được kết nối với nhau đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học liên quan đến một cuộc tranh chấp trong đó các nhà khoa học lỗi lạc nhất của thế kỷ 18 đã tham gia - Euler, d’Alembert, D. Bernoulli và nhiều người khác.

Giải bài toán về các dao động của cấu trúc, Euler và d’Alembert thu được đáp số, trong đó bao gồm một hàm số nhất định. Hàm này liên quan đến công thức cấu trúc dao động ban đầu. Euler tin rằng độ lệch ban đầu của cấu trúc so với vị trí cân bằng có thể được xác định ở các phần khác nhau của cấu trúc bằng các công thức khác nhau, ví dụ:

$$y = \begin{cases} ax, \text{ если } 0 \leq x < \frac{l}{2}, \\ a(l-x), \text{ если } \frac{l}{2} \leq x < l \end{cases}$$

(l là chiều dài của kết cấu). D’Alembert tin rằng những chức năng như vậy không được phép.