đá rung chuyển

10

đá bập bênh

“…Phải nói rằng ở những nơi này không có gì lạ khi bắt gặp cái gọi là “đá đu đưa” - một hiện tượng rất được yêu thích, bản chất của nó là một khối đá riêng biệt, từ xa xưa, đạt được sự ổn định ở trạng thái cân bằng. Nó thường đứng trên một bệ đá và nếu bạn vung nó, nó giống như một vật chèn, trở về vị trí ban đầu. Những tảng đá như vậy đôi khi nặng hàng nghìn tấn, nhưng tuân theo chuyển động của bàn tay của một người có sức khỏe trung bình. Một tảng đá như vậy không thể rơi, trừ khi, của tất nhiên là nó bị nổ tung rồi…”

Đây là những dòng trong câu chuyện “The Rocking Rock” của Alexander Green - một câu chuyện buồn về một người thợ săn nghèo được đề nghị với giá ba triệu đô la để lật đổ một cây cột khổng lồ đang đung đưa gần vị trí cân bằng của nó. Người thợ săn dù đã cố gắng hết sức nhưng vẫn không hoàn thành được nhiệm vụ và phát điên (nhưng không bao giờ rời bỏ mình và tiếp tục cố gắng đẩy hòn đá).

Chúng ta hãy cố gắng hiểu tại sao “tảng đá bập bênh” lại ổn định.
Chúng ta biết rằng để ở vị trí cân bằng thì phải thỏa mãn hai điều kiện:

tổng vectơ của tất cả các lực,
tác động lên cơ thể
bằng 0; (*)
tổng đại số
khoảnh khắc của tất cả sức mạnh
liên quan đến một điểm tùy ý
bằng không. (**)

Không phải mọi vị trí cân bằng đều ổn định. Ví dụ, một cây kim, chỉ chịu tác dụng của trọng lực và phản lực của giá đỡ, không đứng tự do trên một mặt bàn nhẵn, mặc dù nếu cây kim được đặt thẳng đứng thì các điều kiện (*) và (**) sẽ được thỏa mãn. Nhưng khi kim lệch một chút so với phương thẳng đứng, sẽ xuất hiện một lực làm lật kim. Đồng thời, viên gạch đứng vững trên mọi cạnh. Và dù chúng ta có giảm bớt viên gạch như thế nào, vẫn giữ nguyên hình dạng thì nó vẫn đứng vững trên bàn. Nhưng cùng một viên gạch rất khó để “cân bằng”, chẳng hạn như trên một quả bóng đá (chúng ta sẽ giữ cho quả bóng đứng yên).

11

Từ những điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng độ ổn định của trạng thái cân bằng của vật thể phụ thuộc vào hình dạng của vật thể (chính xác hơn là đế của nó) và bề mặt của giá đỡ. Để rút ra tiêu chí về độ ổn định, chúng ta hãy quay lại với một tảng đá bập bênh một lần nữa và xem xét trường hợp hòn đá và giá đỡ ở vùng tiếp xúc có dạng hình cầu. Chúng ta sẽ cho rằng viên đá và khối đặt nó đã bị bào mòn hoặc bị phong hóa và trở nên nhẵn, không có sứt mẻ hoặc lồi lõm, do đó diện tích tiếp xúc giữa đá và giá đỡ nhỏ và có thể được coi là một điểm. Hình 1 thể hiện chuyển động của đá và gối đỡ bằng mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm tiếp xúc của chúng (điểm C). O và O’ là tâm của mặt cầu của đá và phần đỡ trong vùng tiếp xúc, r và R là bán kính tương ứng.

Để hòn đá được cân bằng thì trước hết trọng tâm (điểm P) phải nằm trên đường thẳng đứng OO’. Trong trường hợp này, điều kiện (*) và (**) sẽ được thỏa mãn. Chúng ta hãy xem một hòn đá lệch một chút so với vị trí ban đầu sẽ dẫn đến điều gì.

Giả sử, do bị lệch, vị trí của hòn đá trên giá đỡ giống như trong Hình 2. Nếu trong trường hợp này trọng tâm của hòn đá bằng AA’ theo phương thẳng đứng, thì mô men của trọng lực so với điểm đỡ A sẽ góp phần làm lệch thêm và hòn đá sẽ không trở lại vị trí ban đầu. Nếu điểm P trở thành

Cơm. 1.

trái thẳng đứng AA’ thì mô men trọng trường đối với điểm A sẽ đưa hòn đá về vị trí ban đầu. Điều này có nghĩa là sự cân bằng của đá ổn định.

Vì vậy, nếu CP < CQ (xem Hình 2), thì trạng thái cân bằng ổn định. Hãy xem CP R và r có liên quan với nhau như thế nào. Trong tam giác OAQ

$$\angle OAQ = \alpha, \angle AOQ = \beta = \frac{\widehat{CA}}{r} = \frac{\widehat{C'A}}{r} = \alpha \frac{R}{r} \text{ (так как } \alpha \text{ мало).}$$

Theo định luật sin ta có:

$$\frac{OQ}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin[\pi - (\alpha + \beta)]} = \frac{r}{\sin(\alpha + \alpha \frac{R}{r})}.$$

Đối tượng quan tâm cho thấy hòn đá có những sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng của nó. Với “độ lệch nhỏ” chúng tôi muốn nói rằng khoảng cách “đi ngang” bởi điểm tiếp xúc trên bề mặt của vật đỡ, tức là cung C’A (và do đó cung C’A = C’A), là nhỏ so với bán kính r và R của bề mặt đá và vật đỡ. Và điều này có nghĩa là các góc α và β đều nhỏ, tức là α << 1 và β = α \frac{R}{r} << 1.

Đối với các góc nhỏ, như đã biết, sin của góc bằng chính góc đó với độ chính xác tốt. Do đó biểu thức

12

(1) có thể được viết như sau:

$$\frac{OQ}{r} = \frac{1}{1 + \frac{R}{r}}.$$

Do đó $OQ = \frac{r^2}{R + r}$. Vì $CQ = r - OQ = \frac{Rr}{R + r}$, điều kiện để hòn đá cân bằng ổn định (tức là điều kiện $CP < CQ$) được viết là bất đẳng thức

$$CP < \frac{Rr}{R + r}$$

(2) Nếu bề mặt có dạng lượn sóng với bán kính $R$ (hình dạng bề mặt bên trong của một quả cầu có bán kính $R$), thì điều kiện để đá cân bằng ổn định trên giá đỡ trông như sau:

$$CP < \frac{Rr}{R - r}$$

(CP vẫn là khoảng cách từ điểm tiếp xúc đến trọng tâm ở vị trí cân bằng). Hãy cố gắng tự rút ra công thức này.

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý tình huống quan trọng sau đây. Giả sử rằng sự cân bằng của hòn đá trên giá đỡ là ổn định. Khi hòn đá lệch khỏi vị trí cân bằng, một mômen lực sẽ xuất hiện chiếm ưu thế so với độ lệch này: lực hấp dẫn có một vai so với điểm tựa mới (xem Hình 2). Để giữ cho hòn đá đứng yên ở vị trí mới, cần tác dụng một ngoại lực sao cho mômen của nó so với điểm tựa mới có độ lớn bằng nhau và ngược chiều với mômen trọng trường. (Độ lớn và hướng của lực này được xác định theo điều kiện (*)). Điều này có nghĩa là ngay cả khi vật có một độ lệch nhỏ so với vị trí cân bằng ổn định thì vẫn cần phải thực hiện công chống lại trọng lực. Công việc này nhằm tăng cường năng lượng tiềm tàng của cơ thể. Điều này có nghĩa là ở vị trí cân bằng ổn định, thế năng của cơ thể có giá trị tối thiểu, hoặc tương tự, trọng tâm của cơ thể chiếm vị trí tối thiểu. Do đó, điều kiện (2) có thể được rút ra theo cách khác bằng cách xem xét điều gì xảy ra với trọng tâm của hòn đá khi nó hơi lệch một chút (xem bài tập 1). Hai cách tiếp cận khác nhau này đối với bài toán ổn định lời giải về cơ bản là hoàn toàn tương đương nhau.

Nếu một hòn đá hơi lệch khỏi vị trí cân bằng ổn định và không được giữ ở vị trí mới thì nó bắt đầu quay trở lại, “rò rỉ” (theo quán tính) vị trí cân bằng, quay trở lại vị trí cân bằng, v.v. Tức là hòn đá sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng ổn định.

Nếu vật có một sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng thì không làm thay đổi độ cao của trọng tâm của vật so với điểm tựa. Tình trạng này được gọi là trạng thái cân bằng bàng quan. Ví dụ, một quả bóng đơn trên mặt phẳng nằm ngang ở trạng thái cân bằng không phân biệt.

Bây giờ chúng ta đã hiểu “đá lắc lư” là gì: nó là một loại đá xây dựng thẳng đứng với trọng tâm thấp hoặc bán kính cong lớn ở chân đế. Sự lệch hướng của hòn đá (mặc dù trong một giới hạn nhất định; xem bài tập 2) dẫn đến sự dao động của nó quanh vị trí cân bằng. Hòn đá đung đưa là hòn đá con lắc.

Tất nhiên, sách hướng dẫn không thể áp dụng vào mục đích xây dựng một hòn đá như vậy. Vấn đề không chỉ là tảng đá lắc lư có khối lượng lớn và để truyền gia tốc cho nó thì phải tác dụng một lực rất lớn. Do sự biến dạng của giá đỡ dưới tác dụng của trọng lượng của đá, có thể xuất hiện phản lực khiến đá không bị lệch khỏi phương thẳng đứng. Chưa hết, một tảng đá bập bênh về cơ bản không cần phải lắp đặt những thứ như thế này?

Để kết luận, chúng ta hãy xem xét các ví dụ không cần phải đi lên núi, chúng có thể được nghiên cứu trên bàn, nhưng về bản chất, chúng cũng giống như một tảng đá bập bênh.