Cissoid

46

Cissondas

Cissonda Dioclescus *) có lẽ là đường cong cổ xưa nhất trong số những đường cong đáng chú ý. Nó có thể được định nghĩa như thế này. Xét một đường tròn tùy ý (O, r) và một điểm P trên đó. Gọi PQ là đường kính của đường tròn và l là tiếp tuyến của nó đi qua điểm Q (Hình 1). Chúng ta hãy chọn một điểm tùy ý L ∈ l. Cho [PL] ∩ (O, r) = N. Giả sử điểm M trên đoạn PL sao cho |PM| = |LN|. Tập hợp các điểm M, được xây dựng cho tất cả các điểm có thể có L ∈ l, là Dioclescus cissonde.

Vị trí của điểm M có thể được mô tả bằng cặp số ⟨φ, ρ⟩, trong đó φ = LPQ, ρ = |PM|. Cặp ⟨φ, ρ⟩ gọi là tọa độ cực **(điểm M, φ là góc cực của nó, ρ là bán kính cực của nó). Điểm P được gọi là cực (tương tự gốc tọa độ), vectơ PM được gọi là vectơ bán kính của cissonde. Trong Dioclescus cissonde - π/2 < φ < π/2.

Bạn có thể viết một phương trình liên hệ tọa độ cực của một điểm tùy ý trên Dioclescus cissonde:

ρ = 2r/cos φ - 2r cos φ là phương trình cực của cissonde (suy ra nó).

Giả sử PQ là trục đối xứng của Dioclescus cissonde. Khi φ tiến tới π/2 (hoặc κ - π/2), điểm M tiến tới L; Vì vậy, chúng ta giả sử rằng l là một đường tiệm cận của cissonde.

*) Dioclescus sống ở đâu đó trong khoảng từ năm 250 đến năm 100 sau Công nguyên. BC h.

** Hệ tọa độ cực (để mô tả các đường xoắn ốc khác nhau) dường như được I. Newton giới thiệu lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 17.

Vào cuối thế kỷ 17, khái niệm cissonde đã được khái quát hóa: cho f₁, f₂ là hai đường cong (phẳng) tùy ý, P là một điểm tùy ý: Ngược lại, việc xây dựng là tùy ý theo cách cũ: chúng ta lấy một điểm tùy ý L ∈ f₂ và vẽ trên PL đoạn PM mà |PM| = |LN| (ở đây N = f₁ ∩ |PL|). Tập hợp điểm M được gọi là cissonde.

Ví dụ: báo cáo cissonde nào sẽ thu được nếu f₁ = (O, u), f₂ = (O, s) và P = O.

Trang thứ hai của trang bìa hiển thị một họ cissonde thu được với đường cong cố định f₁ = (O, r) và cực P ∈ (O, r), nếu f₂ thay đổi: f₂ thu được bằng cách dịch song song 2c của tiếp tuyến l (“đường màu đỏ” trên trang bìa). (Viết phương trình cực của các cissonde này—xem Hình 2. Tất nhiên, nó sẽ phụ thuộc vào tham số |c|).

Cissonda Dioclescus (“cissonda đỏ” trên bìa) có một đầu nhọn ở cực. Nếu đường thẳng f₂ nằm bên ngoài đường tròn f₁ thì tại điểm xa f₂ nhất thì cissonde có một đường tròn. Nếu f₂ ∩ f₁ ≠ ∅, thì cissonde có một vòng ở cực. Cụ thể, nếu f₂ đi qua tâm của đường tròn f₁ thì cissonde sẽ chuyển thành strophonde («Kvant», 1977, số 2).

Hãy để chúng tôi trình bày một phương pháp xây dựng các cissonde khác (từ họ cissondes được hiển thị trên trang bìa), thuộc về Newoton. Hãy xác định điểm R và đường thẳng l trong mặt phẳng. Lấy một tam giác ABC tùy ý (B = 90°), trong đó |AB| = |RT| (T là đáy đường vuông góc hạ từ R xuống l). Chúng ta sẽ trộn hình vuông (Hình 3) sao cho đỉnh A trượt dọc theo l, và cuộn BC “đi” qua R. Khi đó điểm cố định M của chân AB sẽ bao phủ cissonde (cụ thể điểm B là một cung. strophonds).

Làm thế nào để hiển thị điều này? Qua M kẻ đường thẳng song song với AR. Giả sử đường thẳng này cắt RT tại điểm Pₘ. Từ khả năng dựng được các tam giác ABR và ATR, suy ra điểm Pₘ chiếm một vị trí trên đoạn RT không phụ thuộc vào vị trí của tam giác ABC. Bằng cách tính |MPₘ|, chúng ta có thể xác minh rằng điểm M mô tả một cissonde. Chúng tôi trình bày điều này với người đọc (chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng phương trình cực).

Sử dụng cách xây dựng Newoton, dễ dàng xác định được vị trí tiếp tuyến của các cissondes tại điểm M. Vẽ đường vuông góc với BC qua điểm R và vuông góc với l qua A. Để các đường vuông góc này cắt nhau tại điểm H (Hình 3). Khi đó đường vuông góc với HM vẽ tại điểm M sẽ là tiếp tuyến mong muốn.

V. Berezin