Lời giải bài toán VZMSH

27

Lời giải bài toán VZMSH

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải một số bài toán từ tác phẩm giới thiệu về VZMSH năm 1977 («Kvant», 1977, số 1, trang 53).

Bài toán 1. Trong đẳng thức của hai phân số, tử số và mẫu số là số có hai chữ số, các số được thay bằng chữ cái: giống – giống, khác – khác:

$$\frac{KY}{PE} = \frac{KA}{KY}.$$

Mỗi chữ cái có nghĩa là số nào (đủ để đưa ra tất cả những gì có thể đáp số)?

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\frac{y}{x}$ phân số tối giản bằng $\frac{KY}{PE}$. Nói cách khác, giả sử $\frac{KY}{PE} = \frac{y}{x}$ và các số tự nhiên $x$ và $y$ không có ước chung nào khác ngoài 1. Do đó, $PE = ax$ và $KY = ay$, đồng thời $KY = bx$ và $KA = by$. Khi đó $ay = bx$, do đó, vì $x$ và $y$ không có ước chung, $a = cx$, $b = cy$. Vì vậy, $KY = cxy$, $KA = cy^2$, $PE = cx^2$, trong đó $c$, $x$, $y$ là các số tự nhiên.

Một mặt, $|KY - KA| = |Y - A|$ và $Y \neq A$. Vì vậy, $0 < |KY - KA| < 10$. Mặt khác, $KY - KA = cy(x - y)$. Kể từ đây,

$$0 < cy|x - y| < 10.$$

(1) Do đó $c < 10$. Vì $PE = cx^2$ và $P \neq 0$, chúng ta nhận được $x > 1$. Chúng tôi cũng kết luận tương tự rằng $y > 1$. $y \geq 2$ và (1) ngụ ý $c < 5$. Vì vậy, $1 \leq c \leq 4$. Trước tiên, hãy xem xét các khả năng của $c = 2, 3, 4$. Khi tính đến việc không có ước chung $y$ và $y$ cũng như bất đẳng thức (1), chúng tôi thu được chín tùy chọn cho $c, y$ và $x$ (xem bảng). Kiểm tra cho thấy rằng không có tùy chọn nào trong số này phù hợp. Bây giờ hãy $c = 1$. Bất đẳng thức (1) có dạng $0 < y|x - y| < 10.$

(2) Vì $KA = y^2$, $PE = x^2$, nên ta có $4 \leq x \leq 9$ và $4 \leq y \leq 9$. Từ $y \geq 4$ và (2) nó theo sau $0 < |x - y| \leq 2$. Vì vậy, $|x - y| = 1$ hoặc $|x - y| = 2$. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó $|x - y| \neq 2$. Nếu $y \geq 5$ thì từ (2) $|x - y| < 2$. Nếu $y = 4$ và $|x - y| = 2$ thì $x = 6$ mâu thuẫn với việc không có ước chung $y$ và $y$. Vì vậy, $|x - y| = 1$. Do đó $4 \leq x \leq 8$ và $y = x + 1$ hoặc $5 \leq x \leq 9$ và $y = x - 1$. Kiểm tra tất cả 10 tùy chọn sẽ cho ra ba khả năng đáp số:

1. $KY = 20$, $KA = 25$, $PE = 16$;
2. $KY = 30$, $KA = 36$, $PE = 25$;
3. $KY = 42$, $KA = 49$, $PE = 36$.

Bài toán 3. Kuru bổ sung $4 \times 4$ (Hình 1) với các chữ cái B, 3, M, W, kết hợp chúng trong các khung của bốn minas (hình vuông, hình thoi, hình tròn, hình tam giác) và tô màu chúng thành bốn chuỗi tối đa, sao cho đáp ứng các điều kiện sau: 1) trong mỗi dòng và trong mỗi stolya, tất cả các chữ cái, màu sắc và loại khung phải xuất hiện; 2) mỗi chữ cái phải được tô màu một lần cho mỗi chuỗi; 3) Khung của mỗi chuỗi phải chứa từng chữ cái và từng chuỗi. (Chỉ cần vẽ hình cần thiết là đủ.)

29

một phần ba quãng đường nhanh hơn ô tô số tự động - hai phần ba. Vì vậy, tốc độ của xe đạp chỉ bằng một nửa tốc độ của ô tô. Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra sau khi người đi xe đạp lại xuất phát. Anh ta còn 2/3 khoảng cách từ $A$ đến $B$. Chiếc xe còn lại bốn phần ba khoảng cách này: một phần ba ở đó và toàn bộ chặng đường từ $B$ đến $A$ quay lại. Như vậy, người đi xe đạp sẽ phải di chuyển nhanh bằng một nửa so với khi lái xe số tự động; Theo những gì đã nói ở trên thì người đi xe đạp sẽ đến sớm hơn.

Bài 9. Một hình chữ nhật lớn được chia thành các ô $1$ cm $\times$ $1$ cm. Một số được viết bên trong mỗi ô. Người ta biết rằng tổng các số ở mọi đường ngang bằng 1, và ở mọi đường thẳng đứng nó bằng 2. Diện tích hình chữ nhật có thể bằng $1976$ cm$^2$ không?

Đáp số: không thể.

Lời giải. Chúng ta hãy chứng minh điều này bằng phản chứng, tức là giả sử rằng diện tích của hình chữ nhật như vậy bằng $1976$ cm$^2$, và chúng ta đi đến mâu thuẫn. Gọi số dòng là $m$ và số lượng đường kẻ là $n$. Sau đó $mn = 1976$. Hãy tính tổng của tất cả các số được viết trong các ô theo hai cách. Một mặt, tổng các số trên mỗi dòng là 1 và các dòng là $m$, nghĩa là tổng của tất cả các số là $m$. Mặt khác, tổng các số trong kkedom stolnik là 2 và trong stolnikov $n$, có nghĩa là tổng của tất cả các số là $2n$. Vì vậy, $m = 2n$, từ đó $2n^2 = 1976$, $n^2 = 988$, điều này là không thể với toàn bộ $n$.

Bài 10. Một số hộp nặng 10 tấn, trong đó hộp nào nặng không quá một tấn. Hỏi số ba tấn nhỏ nhất đủ để chúng ta tăng tải là bao nhiêu?

Đáp số: 5 ba âm.

Lời giải. Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh rằng bốn ba tấn có thể không đủ. Điều này sẽ xảy ra, ví dụ: nếu có 13 hộp giống hệt nhau nặng $\frac{10}{13}$ tấn. Khi đó chúng ta không thể đặt nhiều hơn ba hộp trong một tritonic.