Bài toán M461—M465; F473—F477

33

Nhiệm vụ

M461—M465; F473—F477

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Các nhiệm vụ được công bố trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. Nhiệm vụ khó khăn hơn được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Lời giải Các bài tập từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 11 năm 1977 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết số nhiệm vụ lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M456, M457” hoặc “F468”. Lời giải bài toán của từng môn (toán và vật lý), cũng như các bài toán mới - vui lòng gửi vào phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Gửi điều kiện của các bài toán ban đầu được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (đánh dấu vào phong bì: “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… bài toán mới trong toán học”). Sau khi tạo một nhiệm vụ, chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề xuất nhiệm vụ này cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những vấn đề này đều được công bố lần đầu tiên. Trong số này, “Bài toán «Kvant»” chủ yếu bao gồm các bài toán được đưa ra tại Kỳ thi Olympic toàn Liên minh vừa qua.

M461. Trên bàn có những chiếc cân và quả cân $n$ có khối lượng khác nhau. Các tay cầm lần lượt được đặt lên cân (ở mỗi bước, bất kỳ trọng lượng nào được lấy từ bàn và thêm vào cân này hoặc cân kia).

a) Chứng minh rằng tay cầm có thể được đặt theo thứ tự sao cho chiếc cốc bên trái trước tiên được di chuyển, sau đó chiếc cốc bên phải, rồi chiếc cốc bên trái, chiếc cốc bên phải lần nữa, v.v.

Chuỗi kết quả cân này được so sánh với một từ trong các chữ cái $L$ và $R$: LRLRLR… Ở đây chữ $L$ nghĩa là dịch cốc bên trái, và chữ $R$ nghĩa là dịch cốc bên phải.

6)* Chứng minh rằng với bất kỳ từ nào có độ dài $n$ từ các chữ cái $L$ và $R$, bạn có thể đặt cán cân theo thứ tự sao cho từ này tương ứng với chuỗi kết quả cân.

M462. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của hình chữ nhật tứ giác đều tại các điểm cách đỉnh ở các khoảng cách $a$, $b$, $c$ và $d$ (Hình 1). Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}.$$

K. Shvartsman

M463.* Cho các số tự nhiên $x_1, x_2, \dots, x_m, y_1, y_2, \dots, y_n$. Tổng $x_1 + x_2 + \dots + x_m$ và $y_1 + y_2 + \dots + y_n$ bằng nhau và nhỏ hơn mn. Chứng minh rằng trong đẳng thức $x_1 + x_2 + \dots + x_m = y_1 + y_2 + \dots + y_n$ bạn có thể gạch bỏ một số số hạng để đẳng thức lại đúng.

K. Sibirkov

M464.* Trên một mặt phẳng cho trước có 1000 ô vuông cạnh nhau, song song với các trục tọa độ. Gọi $M$ là tập tâm của các hình vuông này. Chứng minh rằng có thể đánh dấu một phần của các ô vuông sao cho mỗi điểm của tập hợp $M$ rơi vào ít nhất một và nhiều nhất là bốn ô vuông đã đánh dấu.

A. Âm mưu

34

M465*. Có một nghìn vé có số 000, 001, …, 999 và một trăm ô có số 00, 01, …, 99. Một vé được phép đặt vào ô nếu số ô đó có thể lấy được từ số của vé này bằng cách gạch bỏ một trong các số. Chứng minh rằng
a) bạn có thể đặt tất cả các vé vào 50 hộp;
b) không thể xếp tất cả các vé vào ít hơn 40 ô;
b) không thể sắp xếp tất cả các vé vào ít hơn 50 ô.

Cho có $10^k$ vé có các số $k$ chữ số từ 00…0 đến 99…9. Vé được phép đặt trong một hộp, số lượng vé có thể được lấy từ số của vé này bằng cách gạch bỏ một số vé có $k$ chữ số, có thể chia thành 34 ô.
d) Tìm số ô tối thiểu có thể đặt vé có $k$ chữ số. Hãy thử giải bài toán này cho $k=4$, 5, 6, …

S. Fomin

F473*. Hình 2 được thực hiện bằng một bức ảnh chụp chuyển động của hai quả cầu thép có cùng đường kính nhưng khối lượng khác nhau. Mũi tên trong hình vẽ hướng chuyển động của một trong các quả bóng trước khi va chạm.

1. Xác định tỉ số khối lượng của các quả bóng.
2. Cho biết hướng các quả bóng di chuyển về phía quả bóng. (9 lớp)

F474. Mục tiêu trong Hình 3 được lắp ráp từ các vôn kế giống hệt nhau. Vôn kế thứ nhất ghi $U_1=10$ V và vôn kế thứ ba ghi $U_3=8$ V. Vôn kế thứ hai chỉ số gì? (9 lớp)

F475*. Hình 4 cho thấy đặc tính vôn kế của bóng đèn từ đèn pin. Bóng đèn được mắc vào mạch điện như hình 5.

1. Tìm đồ thị dòng điện trong bóng đèn.
2. Tại vị trí nào của thanh chiết áp thì hướng giữa các điểm $A$ và $B$ bằng 0?
3. Ở vị trí nào của chiết áp trượt thì hướng giữa các điểm $A$ và $B$ hầu như không thay đổi với những thay đổi nhỏ trong h. d.s. pin?

Bỏ qua điện trở trong của pin. (10 lớp)

F476. Uranium tự nhiên bao gồm hỗn hợp của hai đồng vị có khối lượng nguyên tử tương đối là 235 và 238 và tỷ lệ nồng độ là 7:1000. Để tăng nồng độ $^{235}$U, chất được sử dụng trong các lò phản ứng hạt nhân, hợp chất khí $UF_6$ (uranium hexafluoride) chảy vào chân không qua các lỗ nhỏ. Khí được dẫn qua ống $T$ có thành xốp