Ferma đang dẫn đầu cuộc điều tra.

Kvant 1978, số 8 tr. 18, 20, 21 Thẻ 7F2S

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Tymeladze

Cái nóng ngột ngạt đã khiến phòng góc của Quốc hội Toulouse không thể họp đầy đủ để phục vụ chính nghĩa. Tất cả mười ba thành viên trong phòng đều tò mò nhìn bị cáo Pierre Criomont, một kẻ xấc xược ích kỷ vừa trở về từ Paris. Bị cáo không thừa nhận tội lỗi của mình ngay cả khi bị tra tấn, nhưng điều này không thay đổi được gì. Theo Ủy viên Hội đồng de Broval, vào ngày Thánh George, vào lúc 10 giờ sáng, người nông dân giàu có Jean Morel ở làng Amber, trên đường đến nhà thờ, đã nghe thấy tiếng kêu của người thợ xay Jacques Criomont. Một giọng nói khác, gợi nhớ đến con trai ông Pierre, hét lên chửi bới. Khi Morel chạy đến chỗ người đàn ông bất hạnh, một con dao găm của Pierre đã thò ra khỏi ngực anh ta.

Đó là lý do tại sao tất cả các thành viên trong phòng đều tụ tập ngày hôm nay: mặc dù thời thế tồi tệ - vương quốc không ngừng nghỉ, những người Huguenot bội giáo mới chỉ cúi đầu gần đây, và một bệnh dịch đang đến gần ở phía bắc - nhưng không phải ngày nào bạn cũng được gặp cha. Có điều gì đó đáng chú ý: chiếc mũi khoằm, vai gần như cao hơn đầu và giọng nói gần như không nghe được. Thật đáng tiếc khi sắc lệnh của hoàng gia đã cấm hành chính công - sẽ có ích cho đám đông nếu nhìn vào cái đầu độc ác này khi cây gậy tách nó ra khỏi cơ thể nhỏ bé. Và de Broval tiếp tục:

“Người con trai trước đó đã phàn nàn về sự keo kiệt của cha mình và rõ ràng không ác cảm với việc trục lợi từ tài sản thừa kế. Gây án xong, tên vô lại ngay lập tức chạy đến quán rượu ở làng Bene, bên kia sông Sốt. Khách đến quán, tập trung khai trương lúc 11 giờ, ghi nhận hắn hưng phấn và nổ súng. Theo tôi, mọi bằng chứng đều chống lại tên vô lại này.

Mọi chuyện đã rõ ràng, đã đến lúc chấp nhận lời giải. Nhưng không, ông Hội đồng Fermat muốn làm rõ điều gì đó. Anh ấy không nóng bỏng như những người khác sao? Chủ tịch Phòng đánh giá cao Fer-

Hình 2.

Hãy để đường ADB trong Hình 2 thể hiện đường đi nhanh nhất. Tại điểm D tuyến đường này bắc qua sông Sốt. Hãy vẽ một đường tròn có tâm tại điểm D có bán kính đơn - nó cắt đường đi ADB tại các điểm C và E. Đặt CDE là đường đi ngắn nhất giữa C và E (nếu không phải như vậy thì bằng cách chọn đường đi tốt nhất trong phần, CDE có thể được cải thiện và cân nhắc từ A đến B).

Đường đi ngắn nhất được xác định hoàn toàn bởi các góc α và β (Hình 2). Hãy tìm sự tương ứng giữa các góc này.

Cho Cryomon đi trên đường $|CD|=1$ với tốc độ $u$ và đường đi $|DE|=1$ với tốc độ $v<u$ . Vì vậy, anh ấy đã bao quát toàn bộ đường dẫn CDE trong thời gian $z=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$ .

Bây giờ chúng ta hãy dịch chuyển điểm giao điểm D của đường ADB với Soth theo đại lượng ε - chúng ta hãy biểu thị điểm mới bằng O. Theo định lý hình học đã biết của Euclid,

$|CO|=\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon,$
$|OE|=\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon,$

để cho ngắn gọn, chúng tôi ký hiệu là $|FD|=b$ , $|DH|=a$ (Hình 2). Chia cả hai khoảng cách này cho tốc độ tương ứng, chúng ta thu được thời gian di chuyển dọc theo đường COE:

$\bar{z}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$

Nếu các giá trị của ε được lấy rất nhỏ thì giá trị của z và $\bar{z}$ sẽ khó khác nhau. Do đó, chúng ta đánh đồng cả hai lần z và $\bar{z}$ :

$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$

Để loại bỏ sự phi lý, hãy bình phương cả hai vế của phương trình tốt nhất hai lần—điều đó không dễ, nhưng chúng ta đang nói về cuộc sống con người!

$\frac{4}{u^2v^2}(1+\varepsilon^2-2b\varepsilon)(1+\varepsilon^2+2a\varepsilon)=$
$=4\left[\frac{1}{uv}+\varepsilon\left(\frac{b}{u^2}-\frac{a}{v^2}\right)\right]^2+$
$+\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\left[\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\right]+$
$+4\varepsilon\left(\frac{a}{v^2}-\frac{b}{u^2}\right)-\frac{4}{uv}.$

Hãy hủy số hạng $\frac{4}{u^2v^2}$ , sau đó chia cả hai vế của phương trình này cho ε rồi đặt $\varepsilon=0$ *); chúng ta nhận được: $au(u+v)=bv(u+v)$ hoặc $\frac{b}{a}=\frac{u}{v}$ .

Bây giờ hãy lưu ý rằng $b=\sin\alpha$ , $a=\sin\beta$ ; Có nghĩa,

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{u}{v},$

nghĩa là, xoang của góc tới và góc khúc xạ đề cập đến tốc độ chuyển động trong môi trường trên và dưới, cách nhau bởi tuyến tính KL…

“Đợi đã,” vị chủ tịch hỏi Fermat, “góc tới và góc khúc xạ có liên quan gì đến nó?”

Xin lỗi quý ông! Tôi đã vô tình sử dụng một sự tương tự vật lý ở đây. Thực tế là ánh sáng cũng sẽ chọn đường đi cho phép nó đến ô nhanh nhất (và đường KL sẽ không còn là dòng sông nữa mà là ranh giới giữa hai môi trường và các giá trị u và v sẽ biểu thị tốc độ truyền ánh sáng trong các môi trường này) *).

“Nhưng, ông Fermat, rõ ràng là ông không dẫn chúng tôi đi con đường nhanh nhất để kết thúc vụ Criomon,” de Broval gọi.

*) Một độc giả quen thuộc với một hàm tùy ý rõ ràng có thể dễ dàng nhận ra rằng Fermat có hàm cực trị.
**) Định luật chuyển động của ánh sáng này được gọi là “nguyên lý Fermat”. Kết luận của ông có trong sách giáo khoa “Đại số và các yếu tố giải tích 9” (trang 159).

Không còn nhiều đâu, thưa quý vị. Vì chúng ta thường biết rằng đối với đường đi nhanh nhất thì sin của các góc α và β tỷ lệ thuận với tốc độ chuyển động u và v, nên chúng ta có thể đặt sin α = ku, sin β = kv, trong đó k là hệ số tỷ lệ. Biết sin của các góc, có thể dễ dàng tìm được tiếp tuyến của chúng:

$tg\alpha = \frac{ku}{\sqrt{1-k^2u^2}},$
$tg\beta = \frac{kv}{\sqrt{1-k^2v^2}},$

và với sự trợ giúp của chúng, việc xác định độ dài của các đoạn PD và DQ khá dễ dàng:

$|PD| = |AP|tg\alpha, |DQ| = |QB|tg\beta.$
Hãy nhớ rằng |AP| = |QB| = 1 dặm, u = 4 dặm/giờ và v = 2,5 dặm/giờ, ta có:

$|PD| = \frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}},$
$|DQ| = \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}}.$

Tổng số lượng này bằng 3 giải đấu (xem Hình 1); đó là

$\frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}} + \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}} = 3.$

Các quý ông, đừng hỏi tôi làm cách nào tôi có thể tìm được nghiệm thích hợp của phương trình này - nó sẽ khiến chúng ta lạc lối. Giá trị gần đúng của nó là k ≈ 0,23. Sau đó |PD| = 2,36, |DQ| = 0,71 (dư 0,07 khi thay vào phương trình được phép bỏ qua),

$|AD| = \sqrt{1+(2,36)^2} = 2,56,$
$|DB| = \sqrt{1+(0,71)^2} = 1,22.$

Điều này có nghĩa là tuyến đường nhanh nhất sẽ đi từ Amber đến Bene trong $\frac{2,56}{4} + \frac{1,22}{2,5} = 1,13$ giờ. Trước đây, Kryomon không thể được thêm vào nên không thể biểu diễn.

Bạn đã thuyết phục được tôi, thưa ông Fermat, - câu hỏi mà chúng ta gặp đã được trình bày. - Mời nhân chứng vào!

Người bảo vệ mở cửa và Ronchard và Morel bước vào phòng.

Tòa án phát hiện - ông tiếp tục trình bày - rằng ông Kriomon mắc chứng bạch tạng. Hãy nhớ rằng, Morel, không phải bạn đã đợi đầu kẻ sát nhân trên cơ thể người khác sao?

Lúc đầu Morel sững người, nhưng sau đó đôi mắt nhỏ của anh ấy lướt qua khuôn mặt của các giám khảo. Cuối cùng, anh lẩm bẩm:

Về phần tôi, dường như đó có thể là giọng nói của ông Ronchard.
Tên vô lại! - Ronchard hùng mạnh gầm gừ bằng giọng trầm dày.

Anh ta túm lấy ve áo caftan của cậu bé Morel và bắt đầu lắc cậu bé một cách giận dữ. Morel bất lực vùng vẫy trong tay, làm mất tẩu thuốc, đá lửa, chìa khóa và đồng xu trong túi. Một trong những đồng xu lăn về phía ghế của Fermat và anh nhặt nó lên. Các lính canh hầu như không xé Ronchard ra khỏi nạn nhân và vặn tay anh ta.

Ông còn câu hỏi nào nữa không, ông Fermat?
Ăn. Với cả hai… nhân chứng - tạm thời hãy gọi họ như vậy. Chẳng phải Jacques Criomont bất hạnh đã nhận được lớp vỏ ngoài này, được chấp nhận từ bên ngoài dưới hình thức một khoản nợ đã hoàn trả sao?

Kết quả

Người anh hùng trong lịch sử của chúng ta, luật sư Pierre Fermat (1601-1665) là một trong những tài năng toán học sáng giá nhất ở Pháp trong thế kỷ 17, và là người gần gũi nhất với những người khác trong việc tạo ra phép tính vi phân *).

Để hình dung chính xác hơn phương pháp mà Fermat đã sử dụng để tìm cực trị, chúng ta hãy xem xét một ví dụ đơn giản hơn ví dụ mà Fermat phải tháo rời để cứu chàng trai trẻ bước vào.

Giả sử tổng của hai số x và y là x+y = C. Bạn cần tìm x và y sao cho tích z = xy của chúng là lớn nhất. Nếu xét y = C - x thì chúng ta cần tìm một x sao cho hàm z = x(C - x) thuộc giá trị cao nhất.

Vì vậy, chúng ta cần tìm một điểm x sao cho chúng ta di chuyển khỏi điểm đó một lượng nhỏ ε mà không tăng z. Và nếu chúng ta dịch chuyển một lượng rất nhỏ thì sự thay đổi của hàm z

*) Về cuộc đời và sự nghiệp của Fermat, xem «Kvant», 1976, số 8, tr. 3.