Bài toán độc giả của chúng tôi

47

Hình 8.

$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3, \dots$ Trong mỗi hình chữ nhật $\Pi_i$ có chính xác $n_i$ dòng, mỗi dòng có ít nhất $n_i$ ô được tô bóng, vì vậy trong $Q_0$ trong mọi trường hợp, $n_0^2 + n_1^2 + \dots + n_k^2 - 3$ ô được tô bóng. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu: $m_0 = n_0, m_1 = n_0 + n_1, m_2 = n_0 + n_1 + n_2, \dots$ (xem Hình 8). Hãy xem xét một vé có số $[0m_0m_1 \dots m_{k-3}xy]$, trong đó $x$ và $y$ là hai “chữ số” không nhỏ hơn $m_{k-3}$ (nghĩa là ô có số $xy$ được “nằm” ở $Q_{k-2}$). Dễ dàng nhận thấy tấm vé này chỉ được đặt vào ô đánh số $xy$. Vì $x$ và $y$ được chọn tùy ý trong $Q_{k-2}$, nên chúng tôi nhận được rằng tất cả các ô hình vuông $Q_{k-2}$ đều được tô bóng (có $n_{k-2}^2$ trong số đó). Vì vậy, chúng tôi có ít nhất $n_0^2 + n_1^2 + \dots + n_k^2 - 3 + n_{k-2}^2 + n_{k-2}^2$ ô được tô bóng. Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng $n_0 + n_1 + \dots + n_{k-3} + n_{k-2} = N$, và do đó không có ít ô được tô bóng hơn $F(k-1, N)$.

Vẫn còn phải chứng minh rằng bạn có thể vượt qua được với chính xác $F(k-1, N)$ hộp. Đặt tổng $F(k-1, N)$ tương ứng với tập hợp $\{a_1, a_2, \dots, a_{k-1}\}$. Hãy chia các số $N$ của chúng ta thành các nhóm $k-1$: trong nhóm đầu tiên có $a_1$ “chữ số”, trong nhóm thứ hai có $a_2$ “chữ số”, v.v.

Hãy xem xét tất cả các ô có số, cả hai “chữ số” đều thuộc cùng một nhóm. Chỉ có $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{k-1}^2 = F(k-1, N)$ và mỗi vé có thể được đặt vào một trong các hộp này, vì trong số $k$ “chữ số” của vé có hai “chữ số” từ cùng một nhóm.

Đối với $N = 10$, các giá trị tương ứng của $F(k-1, 10)$ được cho trong bảng ở Hình 2.

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Chứng minh rằng
   a) $S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{2}{3}$;
   b) $P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \times \dots \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{\sqrt{4n+1}}$.

G. Piskarev
(Vùng Yaroslavl)

2. Giả sử tam giác $ABC$ có cạnh $AC$ dài nhất hoặc ngắn nhất. Chứng minh rằng tồn tại số thực $x$ sao cho $|AC|^x = |BC|^x + |AB|^x$.
   O. Lemeshev
   (Omsk)

3. Có số tự nhiên nào có bình phương bằng tổng bình phương của 1000 số tự nhiên liên tiếp không?

4. Chứng minh rằng phương trình
   a) $(m+1)^3 + (m+2)^3 + \dots + (m+n)^3 = 10^k + 2$;
   b) $(m+1)^5 + (m+2)^5 + \dots + (m+n)^5 = 10^k + 2$ không có số nguyên lời giải.

I. Cherepinsky
(Cherkassy)

5. Cho một đoạn $AD$ và một điểm $H$ thuộc đoạn này và $|AH| : |HD| = 4:1$. Dựng tam giác $ABC$ sao cho đoạn $AD$ là chiều cao, điểm $H$ là trực kế và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\frac{4}{5}|AD|$.

6. Cho một tam giác $ABC$, $[AD]$ là đường trung tuyến của nó, $M \in [AD]$, $|AM| : |MD| = 2:3$, $N \in [AB]$, $|AN| : |NB| = 5:3$. Tìm tỉ số diện tích của các hình tam giác $AMN$ và $ABC$.
   A. Pulyaev
   (Donetsk)