Задачи наших читателей

47

Рис. 8.

$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3, \dots$ В каждом прямогольнике $\Pi_i$ровно $n_i$ строк, в каждой из которых закрашено по крайней мере $n_i$ клеток, так что в $Q_0$ во всяком случае закрашено $n_0^2 + n_1^2 + \dots + n_k^2 - 3$ клеток. Введем обозначения: $m_0 = n_0, m_1 = n_0 + n_1, m_2 = n_0 + n_1 + n_2, \dots$ (см. рис. 8). Рассмотрим билет с номером $[0m_0m_1 \dots m_{k-3}xy]$, где $x$ и $y$ — некие две «цифры», не меняше, чем $m_{k-3}$ (то есть ящик с номером $xy$ «расположен» в $Q_{k-2}$). Легко видеть, что этот билет можно положить только в ящик с номером $xy$. Поскольку $x$ и $y$ были выбраны в $Q_{k-2}$ произвольно, мы получаем, что все клетки квадрата $Q_{k-2}$ закрашены (их $n_{k-2}^2$ штук). Итак, мы имеем по крайней мере $n_0^2 + n_1^2 + \dots + n_k^2 - 3 + n_{k-2}^2 + n_{k-2}^2$ закрашенных клеток. Заметим теперь, что $n_0 + n_1 + \dots + n_{k-3} + n_{k-2} = N$, и потому закрашенных клеток не меняше, чем $F(k-1, N)$.

Осталось показать, что можно обойтисьровно $F(k-1, N)$ ящиками. Пусть сумма $F(k-1, N)$ соответствует набору $\{a_1, a_2, \dots, a_{k-1}\}$. Разобем наш $N$ цифр на $k-1$ групп: в первой группе $a_1$ «цифр», во второй — $a_2$ «цифр», и т. д.

Рассмотрим все ящик с номерами, обе «цифры» которых попали в одну группу. Их как раз $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{k-1}^2 = F(k-1, N)$, и каждый билет можно положить в один из этих ящиков, поскольку среди $k$ «цифр» билета найдется две «цифры» из одной группы.

Для $N = 10$ соответствующие значения $F(k-1, 10)$ приведены в таблице на рисунке 2.

Задачи наших читателей

1. Доказать, что
   a) $S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{2}{3}$;
   b) $P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \times \dots \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{\sqrt{4n+1}}$.

Г. Пискарев
(Ярославская обл.)

2. Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — самая длинная или самая короткая. Доказать, что тогда найдется действительное число $x$ такое, что $|AC|^x = |BC|^x + |AB|^x$.
   O. Лемешев
   (г. Омск)

3. Существует ли натуральное число, квадрат которого равен сумме квадратов 1000 последовательных натуральных чисел?

4. Доказать, что уравнение
   a) $(m+1)^3 + (m+2)^3 + \dots + (m+n)^3 = 10^k + 2$;
   b) $(m+1)^5 + (m+2)^5 + \dots + (m+n)^5 = 10^k + 2$ не имеет целочисленных решений.

И. Черепинский
(г. Черкассы)

5. Дан отрезок $AD$ и точка $H$, принадлежащая этому отрезку, причем $|AH| : |HD| = 4:1$. Построить треугольник $ABC$ так, чтобы отрезок $AD$ был его высотой, точка $H$ — ортометром, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, был равен $\frac{4}{5}|AD|$.

6. Дан треугольник $ABC$, $[AD]$ — его медиана, $M \in [AD]$, $|AM| : |MD| = 2:3$, $N \in [AB]$, $|AN| : |NB| = 5:3$. Найти отношение площадей треугольников $AMN$ и $ABC$.
   A. Пуляев
   (г. Донецк)