50
Стомахион по правам может считаться патриархом обширного семейства игр-головоломок на составление различных фигур из частей особым образом разрезанной исходной фигуры: его возраст превышает два тысячеletия. Выдержавший проверку временем, древний, но не «одряхлевший», стомахион, несомненно, принадлежит к числу классических головоломок.
51
Приступ к игре
На рисунке 1 приведен раскрой наиболее часто встречающейся «заготовки» для игры в стоматон — прямогольника ABCD с соответствием сторон 1:2. Вместо такого прямогольника иногда берут квадрат и даже произвольный параллелограмм. Способ разбиения исходной фигуры во всех случаях остается одинаковым.
Пусть ABCD — произвольный параллелограмм, F и E — середины сторона AD и BC. Проведя отрезок EF, разобъем исходный параллелограмм на параллелограммы ABEF и FECD. Проведем диагонали AC, BF и FC. Пусть L и R — точки пересечения диагонали AC с диагональю BF и отрезком EF. Через середину G отрезка BE и проведем прямую, параллельную стороне AB исходного параллелограмма, до пересечения с диагональю BF в точке H и отрезок GK прямой GA (K — точка пересечения прямой GA и диагонали BF). Наконец, соединив отрезком прямой вершину B с серединой M отрезка AL, мы разобъем параллелограмм ABEF на 7 части.
Пусть N и O — середины отрезков CD и FC. Проведем отрезки ON и OE. Пусть Q — точка пересечения отрезка OE с диагональю AC, а P — точка пересечения прямой BO с стороной CD исходного параллелограмма. Проведем отрезок OP. Parallelограмм FECD тоже оказывается разделенным на семь части.
Таким образом, исходный параллелограмм ABCD разбит на 14 части.
При составлении новых фигур части исходной фигуры можно переварать «лицевой» стороной вниз. Обходимо лишь следить за тем, чтобы составления фигурса содержала полный набор деталей стоматона — все его 14 части. С соблюдением этого непреемного правила составлены фигурки, изображенные на рисунках 2—4. Obладев секретами «стоматонной мозки» (разгадав, как устройены эти фигурки), вы научитесь составлять и свои собственные композиции.
Немного истории
Среди геометрических головоломок стоматон выделяется не только почтенный возрастом, но и своим происковением.
Игра «стоматон» была известна еще до нашей эры. Упоминание о ней находим также в трудах некоторыхprimских авторов IV—VI веков. Создателем стоматона считали Архимеда, однако долго времяниках документальных подтверждений найти не удалось.
В 1899 году швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранищах Берлина и Кембриджа абсексурупись с фрагментами сочинения, ознакомленного «Книга Архимеда о разбении фигуры стоматона на 14 части, находящихся к ней в рациональных отношениях». Вы-
53
Рис. 5.
кairoших частей на одной прямой или отклонение от прямой столь мало, что не заметно глазу. Эти вопросы требуют тщательных доказательств, и если отклонение от прямой мало и поэтому не заметно глазу, то такого рода неполное примыкание следует считать допустимым.
Поскольку одну часть можно заменять другой, равной ей и имеющей равные с ней углы, то можно составить множество различных фигур… Иnorда две фигуры, взятые вместе, равны и подобны одной фигуре, или две фигуры, взятые вместе, равны и подобны двум фигурам, что и позволяет при перекладывании частей образовать много фигур.
Ахимедовы задачи
Предложенное Ахимедом разбиение «фигуры stomaxiona» (рис. 1) обладает таким свойством: площади всех 14 частей нахождения в разциональном отношении к площади исходной фигуры.
Задача 1. Доказать, что площади отдельных частей исходного параллелограмма, выраженные в сорок восьмых долях его площади, имеют величины, показанные на рисунке 1 красными цифрами.
Следующая задача занимает из книги Эмиля Фурре «Геометрические головоломки и паралогизмы» (Одеса, изд-во «Mathesis», 1912 г.):
Задача 2. Сгруппировать элементы stomaxiona так, чтобы площади новых полученных частей выражались (в сорок восьмых долях площади исходного параллелограмма):
a) tremя равными целыми числами,
b) tremя последовательными целыми числами,
b) целыми числами от 1 до 8 и числом 12.
Заметим, что все три пункта задачи можно решить не рассыпая исходный параллелограмм, а проводя разделительные линии между элемами.