Решения задач М466—М469; Ф482—Ф486

36

М466. Средний 1977 монет 50 фальшивых. Каждый фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвеливание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настроная. Как это сделать?

М467. Точки D и E делят стороны AC и AB правильно преуедлника ABC в отношениях |AD|:|DC| = |BE|:|EA| = 1:2. Приемые BD и CE пересекаются в точке O. Доказите, что угод AOC — прямои.

Пусть вообще имеется 2n+1 монет, из которых 2k фальшивых (k ≤ n), причем каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Пусть масса настоящей монеты равна a граммов. Отложим одну выбранную монету, а из оставшихся 2n монет положим n монет на первую чашку весов и n монет — на вторую. Заметим, что при этом масса гриь на каждой чашке весет отличается от na (массы n настоящих монет) на целое число же четности, что и число фальшивых монет на этой чашке весов.

Если отложенная монета настроющая, то общее число фальшивых монет на чашках — 2k (четно), значит, число их на той и другой чашке имеет одинаковую четность, следовательно, разность масс одной и другой чашки будет четна. Если выбранная монета — фальшивая, то число фальшивых монет, лежащих на чашках весов, нечетное — (2k-1); тогда нечетно и показание весов.

Итак, мы видим, что выбранная монета настроющая или фальшивая в зависимости от того, является показание весов четным или нечетным.

И. Клумова

◆ Рассмотрим точку F на стороне BC такую, что |BF|:|FC|=2:1. Проведем отрезок AF. Треугольник OPQ — правильный (рис. 1). Поэтому нам достаточно доказать, что величины угла AOD равна 30 градусам. Для этого, в свою очередь, нужно убедиться в том, что |OP|=|AP| (поскольку APO=120°). Но |AP|=|BO|, поэтому остается проверить, что |OP|=|BO|. Выясним, в каком отношении точки O и P делят отрезок BD. Про-
Рис. 1. Рис. 2.

введем прямые DE1 и DF1 параллельно CE и AF соответственно (рис. 2). Ясно, что |AE1|:|E1E|=1:2. Поскольку |AE|:|EB|=2:1, из этого следует, что |E1E|:|EB|=4:3. Значит, и |DO|:|BO|=4:3. Аналгорично можно убедиться, что |BF|:|FF1|=6:1, откуда |BP|:|DP|=6:1. Следовательно, |DP|:|OP|:|BO|=1:3:3. Отсюда |BO|=|OP|, и угод AOC — прямои.

Л. Лиманов

◆ Введем в плоскости прямогольную систему координат, приняв за начало одну из данных точек, скажем, точку A. Пусть при этом точка B имеет координаты (b1; b2), точка C — координаты (c1; c2) и точка D — координаты (d1, d2) (рис. 3).

37

МС·MD не равны другому другу. Доказиме, что $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$. Верно ли обратное утиверждение?

Пусть $M$ — произвольная точка плоскости, $(x; y)$ — ее координаты. Тогда векторы $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MD}$ имеют координаты $(-x; -y), (b_1-x; b_2-y), (c_1-x; c_2-y), (d_1-x; d_2-y)$ соответственно. Равенство $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ запишется в координатах так:
$$-x (b_1-x) - y (b_2-y) = (c_1-x)(d_1-x) + (c_2-y)(d_2-y),$$
или
$$(c_1 + d_1 - b_1) x + (c_2 + d_2 - b_2) y = c_1 d_1 + c_2 d_2.$$ (*)

Утверждение «для любой точки $M$ скалярные произведения $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ не равны другому другу» означает, что равенство (*), расматриваемое как уравнение с двумя неизвестными $x, y$, не имеет решений. Это возможно в том и только в том случае, если
$$\begin{cases} c_1 + d_1 - b_1 = 0, \\ c_2 + d_2 - b_2 = 0, \\ c_1 d_1 + c_2 d_2 \neq 0. \end{cases}$$
Переписав первые два равенства в виде
$$\begin{cases} c_1 = b_1 - d_1, \\ c_2 = b_2 - d_2 \end{cases}$$
и заметив, что $(c_1; c_2)$ — координаты вектора $\overrightarrow{AC}$, а $(b_1-d_1; b_2-d_2)$ — координаты вектора $\overrightarrow{DB}$, мы убедимся, что эта система равенств эквивалентна равенству векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DB}$.

Условие $c_1 d_1 + c_2 d_2 \neq 0$ означает, что $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$, то есть векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$ не являются взаимно перпендикулярными.

Итак, условие «для любой точки $M$ скалярные произведения $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ не равны другому другу» эквивалентно следующему: «$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$».

Если точки $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, то равенство $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$ означает, что четырехугольник $ACBD$ — параллелограмм, а неравенство $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$ означает, что этот параллелограмм не является прямойком.

Ю. Ионин

**M469. a) Уравнение $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ имеет чемуре различных действительных корня. Доказим, что $ab < 0$.

б) Уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{k-1}x^{n-k+1} + a_{k+1}x^{n-k-1} + \dots + a_n = 0$ имеет пrazичных действительных корней. Доказим, что $a_{k-1}a_k+1 < 0$.

Мы приведем для пунктов a) и б) различные доказательства. В основе обихеж лежит следующие утверждения: если все корни многочлена действительных и различны, то все корни произvodной многочлена тоже действительных и различны. В самом деле, многочлен степени $n$ это непрерывная (и дифференцируемая) функция на прямой. Следовательно, в некоторой внутренней точке интервала, концами которого служат любые два соседних корня исходного многочлена, он принимает или максимальноеное, или минимальное значение (рис. 4, a). В экстремальной точке произvodная многочлена обращается в нуль. Таким образом, в любом интервале любыми двумя соседними корнями многочлена имеет его произvodной (рис. 4, б). Следовательно, произvodная многочлена степеней $n$, у которой все корни действительных и различны, имеетровно $n-1$ действительных корней, причем все они различны.

a) Из доказаного утверждения следует, что уравнение
$$4x^3 + 3ax^2 + b = 0$$
имеет три различных действительных корня: $x_1, x_2$ и $x_3$. Поэтому

40

Энаменателе последней формулы можно положить
$$R_1 = R_2 = \frac{d}{2} \cdot B \text{ результат получим}$$
$$R_1 - R_2 = \frac{\rho g d^3}{8 \sigma} \approx 0,14 \text{ mm.}$$

И. Слободецкий

Ф483. С каким горизонтальным ускорением должны вызвать клин с углом $\alpha$ (рис. 5), чтобы лежащий на нем груз поднимался вверх, если коэффициент треня между грузом и клином равен $\mu$?

Рис. 5.

Очевидно, что ускорение $a$ клина направлено влево (в противном случае груз сосkalзывал бы с клина, а не поднимался по нему).

Рассмотрим силы, действующие на груз. Это—сила тяжесте $mg$, сила нормальной реакции $N$ и сила треня $F_{Тр}$ также, что $|F_{Тр}| = \mu |N|$.

Запишем уравнения движения груза в проекциях на оси $X$ и $Y$. Чтобы груз поднимался вверх, проекция ускорения груза на ось $X$ должна быть меньше или равна соответствующей проекции ускорения клина. С учетом второго закона Ньютона получим

$$\frac{\mu |N| + m |g| \sin \alpha}{m} \leq |a| \cos \alpha .$$

Проекция ускорения груза на ось $Y$ также, как у клина (груз не отрывается от клина):

$$\frac{|N| - m |g| \cos \alpha}{m} = |a| \sin \alpha .$$

Решая (1) и (2) совместно, найдем

$$|\vec{a}| \geq \frac{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}{\cos \alpha - \mu \sin \alpha} |\vec{g}|.$$

Ф484. Внутри диэлектрическое шара радиуса $R_0$, равномерно заряженное с объемной плотностью $\rho$, находимся заемленная металлическая сфера радиуса $r$ (рис. 6). Надиме заисимость помещения электросетикое поля этой системы от расстояния до центра сферы.

Обозначим заряд заемленной металлической сферы через $q$ (позже найдем его значение); очевидно, что $q < 0$. Этот заряд вне сферы (при $R \geq r$) создает поле такое же, как точный заряд $q$, помещенный в центр сферы: проекция наряженности $\vec{E}$ на выборное направление от центра $E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$. Внутри сферы (при $R < r$) поля нет: $E = 0$. График заисимости $E$ от $R$ для поля заряженной сферы показан на рисунке 7 синей линий.

Потенциаль $\varphi$ этого поля вне сферы меняется по закону $\varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$, а внутри сферы — равен потенциальу поверхности сферы: $\varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$. На рисунке 8 синей линий изображен график заисимости $\varphi$ от $R$.

Равномерно заряженный шар вне себя (при $R \geq R_0$) создает поле такое же, как точный заряд, равный заряд шара $Q = \frac{4}{3} \pi \rho R_0^3$, находимся в его центре: $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{\rho R_0^3}{3\varepsilon_0 R^2}$. Внутри шара на расстоянии $R < R_0$

41

от его центра полезная только тем зарядом, который обладает шар радиуса $R$ (никакой заряженный слой не создает поля внутри себя). Этот заряд $Q_1 = \frac{4}{3} \pi R^3$ создает поле с напряжностью $E = \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{\rho R}{3 \varepsilon_0}$.

График зависимости $E$ от $R$ для поля заряженного шара показан на рисунке 7 черной линии.

Потенциаль поля заряженного шара вне шара равен потенциальу поля точного заряда $Q$, помещенного в центр шара: $\varphi = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\rho R_0^3}{3 \varepsilon_0 R}$.

На поверхности шара $\varphi = \frac{\rho R_0^2}{3 \varepsilon_0}$, а по мере приближения к центру шара потенциаль растет: добавляется работа, совершаемая электрическим полем по пересечению единичного заряда из расматриваемой точки внутри шара на его поверхности. Эта работа равна средней напряжности поля на расматриваемом участке, умноженной на перемещение единичного заряда. Поскольку внутри шара напряжность меняется линейно,

$$E_{cp} = \frac{E_R + E_{R0}}{2} = \frac{\rho (R + R_0)}{6 \varepsilon_0}.$$

Тогда потенциаль поля внутри шара равен

$$\varphi = \frac{\rho R_0^2}{3 \varepsilon_0} + E_{cp} (R_0 - R) = \frac{\rho R_0^2}{3 \varepsilon_0} + \frac{\rho (R_0^2 - R^2)}{6 \varepsilon_0} = \frac{\rho (3 R_0^2 - R^2)}{6 \varepsilon_0}.$$

Соответствующий график показан на рисунке 8 черной линии.

Для того чтобы построить график зависимости потенциальа $\varphi$ поля системы от $R$, надо сложить графики, построенные отдельно для полей сферы и шара. На рисунке 8 результатыруший график показан красной линии.

Осталось найти величины $q$ заряда на сфере. Так как сфера замещена, ее потенциаль равен нулю. Это означает, что на поверхности сферы, при $R = r$, потенциаль поля системы равен нулю:

$$\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r} + \frac{\rho R_0^2}{3 \varepsilon_0} + \frac{\rho (R_0^2 - r^2)}{6 \varepsilon_0} = 0.$$

Отсюда

$$q = -\frac{2}{3} \pi r \left( 3 R_0^2 - r^2 \right).$$

◆

Рассмотрим простейший пружинный мятник: груз массы $M$, скрепленный с пружиной жесткости $k$. При колебанях такого мятника выполняется закон сохранения энергии:

$$\frac{M v^2}{2} + \frac{k x^2}{2} = \text{const},$$

где $v$ — скорость, а $x$ — смешение груза. Перiod таких колебанях также выполняется закон сохранения коэффициентов

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}.$$

42

при квадрате скорсти и квадрате смещения груза. Воспользовемся этим для нахождения перiodа колебаний системы, изображенной на рисунке 9.

Обозначим через $\vec{v}$ и $\vec{-v}$ скорости удаляющихся друг от друга зарядов, а через $\vec{u}$ и $\vec{-u}$ скорости приближихся друг к другу зарядов. Так как нить нерастяжима, для проекций скорсти на нить выполняется равенство:

$$|\vec{v}| \cos \alpha = |\vec{u}| \sin \alpha, \text{ или } |\vec{u}| = |\vec{v}| \text{ ctg} \alpha.$$

При малых смещениях зарядов от положения равновесия угол $\alpha \approx 45^\circ$, ctg $\alpha \approx 1$, поэтому $|\vec{u}| \approx |\vec{v}|$. Так что кинетическая энергия системы равна

$$2 \frac{mv^2}{2} + 2 \frac{mu^2}{2} \approx 2 mv^2.$$

Потенциальная энергия системы равна работе, которую необходимо затратить для создания системы, то есть для перенесения зарядов $q$ из бесконечности в данные положения.

Пусть заряды 1 и 3 смещены от положения равновесия на малое расстояние $x$ (рис. 10). При этом заряды 2 и 4 смещены на расстояние $y$ также, что

$$\left( \frac{l}{\sqrt{2}} + x \right)^2 + \left( \frac{l}{\sqrt{2}} - y \right)^2 = l^2$$

(поскольку длина нити $l$ не изменяется).

При перенесении первого заряда равна несовершается, так как электрического поля нет; при перемещении второго заряда в поле первого совершается равна

$$A_1 = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}.$$

Для внесения третьего заряда против поля, созданного перьыми двумя зарядами, надо совершить равоту

$$A_2 = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l} + \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (\sqrt{2} l + 2x)};$$

и при внесении четвертого заряда совершается равота

$$A_3 = 2 \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l} + \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (\sqrt{2} l - 2y)}.$$

Таким образом, потенциальная энергия системы равна

$$A_1 + A_2 + A_3 \approx \frac{q^2}{\pi\varepsilon_0 l} \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) + \frac{3q^2 x^2}{2\sqrt{2} \pi\varepsilon_0 l^3}$$

(здесь мы воспользовались связью между $x$ и $y$, задаваемой формулой (3)).

Полная энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергии и с течением времени не изменяется:

$$2mv^2 + \frac{q^2}{\pi\varepsilon_0 l} \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) + \frac{3q^2 x^2}{2\sqrt{2} \pi\varepsilon_0 l^3} = \text{const.}$$

Переносая постоянные слагаемые в правую часть равенства, получим

$$2mv^2 + \frac{3q^2 x^2}{2\sqrt{2} \pi\varepsilon_0 l^3} = \text{const.}$$

Если ввести обозначения $4m = M$ и $\frac{3q^2}{\sqrt{2} \pi\varepsilon_0 l^3} = k,$

43

Ф486. На рисунке 11 изображена схема масс-спектрометра. В конзаморе А образуют соны, которые ускоряются на приженем $U = 10$ кВ и входят через цель $C$ в магнитное поле с индукцией $|\vec{B}| = 0,1$ Т. После поворота соны попадают на фомоэффицискую пластинку $D$ и вызывают ее по чернению. На каком расстоянии друг от друга будут находиться на пластинке полосы сонов $H^+$, $2H^+$, $3H^+$, $He^+$? Какова должа быть ширина целей, чтобы полосы сонов $^{16}O^+$ и $^{15}N^+$ разделились?

Рис. 11.

Ускоряясь электрическим полем, они приобретают книетическую энергию

$$\frac{mv^2}{2} = qU,$$

где $m$ — масса сон и $q$ — его заряд. Следовательно, в камеру масс-спектрометра они попадают со скоростью

$$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2qU}{m}}.$$

В этой камере на они действует сила Лоренца

$$|\vec{F}| = |\vec{v}| |\vec{B}| q,$$

благодаря чему они движутся по окружности радиуса $R$. Согласно второму закону Ньютона

$$\frac{mv^2}{R} = |\vec{v}| |\vec{B}| q,$$

откуда

$$R = \frac{m |\vec{v}|}{|\vec{B}| q} = \frac{1}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$

Ионы одного сорта собираются на фотопластике на расстоянии $l = 2R$ от целей. Расстояние между сладками сонов с одинаковыми зарядами $q$, но разными массами $m_1$ и $m_2$ равно

$$\Delta l = 2\Delta R = \frac{2}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2U}{q}} (\sqrt{m_2} - \sqrt{m_1}).$$

Так, для сонов $H^+$ и $2H^+$

$$\Delta l = \frac{2}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2U}{q}} (\sqrt{2m_p} - \sqrt{m_p}) \approx 0,12 \text{ м},$$

где $q = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл—заряд одновалентных сонов, $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг—масса протона.

Для сонов $2H^+$ и $3H^+$

$$\Delta l = \frac{2}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2U}{q}} (\sqrt{3m_p} - \sqrt{2m_p}) \approx 0,09 \text{ м},$$

а для $3H^+$ и $He^+$

$$\Delta l = \frac{2}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2U}{q}} (\sqrt{4m_p} - \sqrt{3m_p}) \approx 0,08 \text{ м}.$$

Очевидно, что следы сонов на фотопластике не будут перекрываться, если ширина сон $d$ будет меньше $\Delta l$. В частности, для сонов $^{16}O^+$ и $^{15}N^+$

$$d < \frac{2}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2U}{q}} (\sqrt{16m_p} - \sqrt{15m_p}) \approx 0,04 \text{ м}.$$

И. Словодечкий