Задачи М516—М520; Ф528—Ф532

33

Задачи

M516—M520; Ф528—Ф532

М516. Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работыются следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку (a; b), выдает новую карточку (a+1; b+1); второй, прочитав карточку (a; b), выдает карточку $\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$ (он работает только, когда a и b четные); третьий по двум карточкам (a; b) и (b; c) выдает карточку (a; c). Кроме того, автоматы возврашает все прочитанные карточки.

Пусть первоначально имеется одна карточка с парой чисел (5; 19). Можно ли использовать на любом порядке, получить карточку: a) (1;50)? 6) (1;100)?

в) Пусть первоначально имеется одна карточка (a; b), а <b>, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких n это можно сделать? (8—10 кл.)

В. Гутенмахер

М517. В окружность радиуса R вписан n-угольник площади S. На каждой стороне n-угольника отмещено по точке. Доказите, что перimetр n-угольника с вершинами в отмещенных точках не меньше 2S/R. (8—9 кл.)

В. Дубровский

М518. Числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ принадлежат отрезку [a; b], где 0 < a < b. Доказите неравенство

$$\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right) \leq \frac{(a+b)^2}{4ab} n^2.$$ (9 кл.)

С. Фомин

М519. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке m спичек, в другой — n спичек, m > n. Двое игроков по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берет из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное число спичек в

34

другой кучке. Выигравает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.
a) Докажите, что если $m > 2n$, то игрок, делаюший первый ход, может обеспечить себе выиграш.
b) При каких α верно следует утверждение: если $m > \alpha n$, то игрок, делаюший первый ход, может обеспечить себе выиграш? (9 кл.)

A. Слинько

M520. Расстоянием последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждый из них приводится к виду

$$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6},$$

где $q_n, r_n, s_n, t_n$ — целые числа. Найдите предельы

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{q_n}. \quad (10 \text{ кл.})$$

И. Берницейн

Ф528. На рисунке 1 приведена зависимость тока через автоматную лампочку от напряжения на ней. Лампочку подключит к источнику постоянного напряжения $U = 10$ В последовательно с сопротивлением $R = 4$ Ом. Определить мощность лампочки. (8 кл.)

Ф529. Используя фотографию, сделанную для рекламного плаката (рис. 2), определяйте: 1) фокусное расстояние объекта фотоаппарата; 2) на каком расстоянии от ладоней рук располагался объект при фотографировании; 3) размер рыбы, поиманной рыбаком; 4) диаметр объекта (предполагая,

Рис. 2.

Внимание! Срок присылики решений задач из «Задачника «Кваита» № 6 (1978)—до 1 сентября.

35

что размытие деталей изображения на фотографии не превосходит 0,2 mm). Объектив фотоаппарата рассматривать как тонкую линзу. (10 кл.)

Ф530. В схеме, приведенной на рисунке 3, $\mathcal{E}_0 > \mathcal{E}_1$. Определить заряд, который протечет через батарею с э. д. с. $\mathcal{E}_0$ при замыкании ключа $K$, полагая, что внутренние сопротивления батареи и сопротивление катушки равны нулю. Диод считать идеальным (его прямое сопротивление равно нулю, обратное — бесконечности); конденсатор до замыкания ключа был не заряжен. (10 кл.)

Ф531. Гейзеры могут рассматривать как большие подземные резервуры, наполненные грунтовой водой и подгреваемые земным телом (рис. 4). Выход из них на поверхность Земли осуществляется через узкий канал, который в «спокойный» период практической полностью заполнен водой. Считая, что «активный» период настояет, когда закипает вода в подземном резервуале, и что во время извержения канал заполнен только паром, который выбрасывает наружу, оценить, какую часть воды теряет резервуар гейзера во время одного извержения. Глубина канала $h=90$ м; теплота испарения воды $\lambda=2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг; теплоекость воды $c=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К). Зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры приведена на рисунке 5. (9 кл.)

Ф532. Маятник представляет собой легкийстержень длины $l$ с грузом массы $M$ на конце. К другому концустержня прикреплена легкая цилиндрическая втулка $a$ с внутренним радиусом $r$, на детая на врашающую горизонтальную ось $b$ (рис. 6). Коэффициент треня между втулкой и осью равен $\mu$. Определить угол отклонениястержня от вертикали в состоянии равновесия. (8 кл., 10 кл.)