Следствие ведёт Ферма

18

3. Тымеладзе

Следствие ведет Ферма

Удушающий зной не помещал угловой палате Тулузского парламента в полном составе собрания для службы дела. Все тринадцать членов палаты с любопытством смотрели на обвиняемого Пьера Криомона, корыстолюбивого наглеца, недавно вернущегося из Парижа. Подсудимый даже под пыткой не признал своего вины, но это ничего не меняло. По словам советника де Броваля, в день свягого Георгия, в десять часов утра состоятельный крестьянн Жан Морель из деревеньки Амбер, иду в церковь, услышал крик мелника Жака Криомона. Другой голос, напоминающий голос его сына Пьера, выкриквал проклятия. Когда Морель подбежал к несчастному, из его груди уже торчал кинжал, принадлежащий Пьеру.

Вот почему сегодня собрались все члены палаты: хотя времена худые — в королевстве неспокойно, лишь недавно опустили головы богоотступники-гугеноты, а на севере уже надвигается чума, — но все же не каждый день доводится видеть отцейбицу. Есть на что посмотреть: крючковатый нос, плечи чуть не выше головы, а голоса почти не слышно. Жаль, что королевский указ запретил публичное отправление правосудия — для черни было бы полезно взглянуть на эту нечестивую голову, когда палч отделит ее от тщедушного тела. А де Броваль продолжал:

— Сын и раныше жаловался на скупость отца и явно был не прочь поживиться наследством. Совершив злодение, негодий сразу же бросился в трактир в деревню Бенэ, что на другом берегу реки Сот. Посетители трактира, собрались к открытию, к 11 часов, отметили, что он был взволнован и растрелан. Мне кажется, все улики против этого мерзавца.

Все ясно, пора приннимать решение. Но нет, господин советник Ферма что-то хочеет уточнить. Нeyжели ему не так жарко, как остальные? Председатель палаты, ценивший Фер-

20

Рис. 2.

Пусть линия ADB на рисунке 2 изображает самый быстрый путь. В точке D этот путь пересекает реку Сот. Проведем окружность с центром в точке D единного радиуса — она пересекает путь ADB в точках C и E. Пусть CDE будет наискорейшим путь между C и E (если бы это было не так, то за счет избрания лучшего пути на участке CDE можно было бы улучшить и весить из A в B).

Наискорейший путь вполне определяется углами α и β (рис. 2). Найдем соответствие между этим углами.

Пусть Криомон проехал путь $|CD|=1$ со скоростью $u$, а путь $|DE|=1$ со скоростью $v<u$. Таким образом, вес путь CDE он проделал за время $z=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$.

Сместим теперь на величины ε точку пересечения D пути ADB с Сотом — обозначим новую точку через O. Согласно известной еще Евклиду теореме геометрии,

$$|CO|=\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon,$$
$$|OE|=\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon,$$

где для краткости обозначено $|FD|=b$, $|DH|=a$ (рис. 2). Поделив оба эти расстояния на соответствующие скорости, получим время движения по пути COE:

$$\bar{z}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$$

Если величины ε взять очень маленькой, то значения z и $\bar{z}$ почти не будут отличаться. Поэтому приравняем оба времени z и $\bar{z}$:

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$$

Чтобы избавиться от irrationalности, дважды возведем в квадрат обе части получшего уравнения—это нелегко, но ведь дело идет о жизни человека!

$$\frac{4}{u^2v^2}(1+\varepsilon^2-2b\varepsilon)(1+\varepsilon^2+2a\varepsilon)=$$
$$=4\left[\frac{1}{uv}+\varepsilon\left(\frac{b}{u^2}-\frac{a}{v^2}\right)\right]^2+$$
$$+\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\left[\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\right]+$$
$$+4\varepsilon\left(\frac{a}{v^2}-\frac{b}{u^2}\right)-\frac{4}{uv}.$$

Уничтожим член $\frac{4}{u^2v^2}$, после чего подelim обе части этого уравнения на ε и затем положим $\varepsilon=0$ *); получим: $au(u+v)=bv(u+v)$, или $\frac{b}{a}=\frac{u}{v}$.

А теперь заметим, что $b=\sin\alpha$, $a=\sin\beta$; значит,

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{u}{v},$$

то есть синуцы углов падения и преломления относится как скорости движения в верхней и нижней средах, разделенных линейной KL…

— Постойте, — превращал Ферма председатель, — причем здесь углы падения и преломления?

— Простите, господа! Я невольно воспользовался здесь физической аналогией. Дело в том, что свет тоже избрал бы путь, который позволил ему быстрее всего доступь целли (и линей KL была бы уже не рекой, а границией раздела двух сред, а величины u и v представляли бы собой скорости распространения света в этих средах) *).

— Но, господин Ферма, к окончанию дела Криомона Вы ведете нас явно не скорейшим путь — сызывал де Броваль.

*) Читатель, знакомый с понятным произвольной, легко сообщить, что Ферма имеет экстремум функции.
**) Сейчас этот закон движения света называют «прииципом Ферма». Его вывод содержится в учебнике «Алгебра и начала анализа 9» (с. 159).

21

Осталось немного, господа. Поскольку мы генерли знаем, что для наискорейшего пути синусы углов α и β пропорциональны скоростью движения u и v, можно положить sin α = ku, sin β = kv, где k — коэффициент пропорциональности. Зная синусы углов, легко найти их тангенсы:

$$tg\alpha = \frac{ku}{\sqrt{1-k^2u^2}},$$
$$tg\beta = \frac{kv}{\sqrt{1-k^2v^2}},$$

а с их помощью совсем просто определить длины отрезков PD и DQ:

$$|PD| = |AP|tg\alpha, |DQ| = |QB|tg\beta.$$
Вспомнить, что |AP| = |QB| = 1 лье, u = 4 лье/час и v = 2,5 лье/час, получим:

$$|PD| = \frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}},$$
$$|DQ| = \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}}.$$

Сумма этих величины равна 3 лье (см. рис. 1); то есть

$$\frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}} + \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}} = 3.$$

Не справивайте меня, господа, как мне удалось найти подходящий корень этого уравнения — это увело бы нас в сторону. Его приближение значение k ≈ 0,23. Тогда |PD| = 2,36, |DQ| = 0,71 (невязкой 0,07 при подстановке в уравнение позвольительного пренебречь),

$$|AD| = \sqrt{1+(2,36)^2} = 2,56,$$
$$|DB| = \sqrt{1+(0,71)^2} = 1,22.$$

Значит, наискорейший путь приведет из Амбера в Бенэ за $\frac{2,56}{4} + \frac{1,22}{2,5} = 1,13$ часа. Ранше Криомон добавился не мог, а следовательно, не мог и совершить представления.

• Вы убедили меня, господин Ферма, - встреченную задаемаший было представлено. - Введите свидетель!

Стражник распахнул дверь, и в комнату вошли Роншар и Морель.

• Суд установил, - продолжал представлять, - что у господина Криомона есть альби. Припомните, морель, не пожодил ли голову убийцы на чей-нибуд ешце?

Морель сначала замер, но потом его маленькие глаза забегали по лицам судей. Наконец, он промямил:

• Мне сдается,аша часть, что это мог бы и голос господина Роншара.

• Негодяй! — прорычал могучий Роншар густым басом.

Он схватил маленького Мореля за отвороты кафтана и начал его неистово трясти. Морель беспомощно затрепыхался в его ручищах, теряя из карманов трубку, огниво, ключи, монеты. Одна из монет подкатилась к стулу Ферма, и он поднял ее. Стражники едва оторвалли Роншара от его жертвы и скрутили ему руки.

• Есть ли у вас еще вопросы, господин Ферма?

• Есть. К обомим… свидетельям — назовем их пока так. Не это ли приятое с краю экрю получил несчастный Жак Криомон в виде возвращенного долга?

Последствие

Герой нашей истории, юрист Пьер Ферма (1601—1665) — один из самых ярких математических талантов Франции XVII века, близже других сумел подойти к созданию дифференциального исчисления *).

Чтобы точнее представить себе метод, который пользовался Ферма при отыскании экстремумов, рассмотрим более простой пример, чем тот, который пришлось разобрать Ферма, чтобы спасти от внесения юношу.

Пусть задана сумма двух чисел x и y, x+y = C. Требуется найти такие x и y, чтобы их произведение z = xy было максимальным. Если учесть, что y = C — x, то нужно найти такое x, чтобы функция z = x(C — x) принадлежала наиболее значению.

Итак, нужно найти такую точку x, чтобы сdvинулись из нее на малую величины ε, мы не увеличвали бы z. А если мы сdvинуемся на очень малую величины, то изменение функции z

*) О жизнь и творчество Ферма см. «Квант», 1976, № 8, c. 3.