Một chứng minh khác của định lý trung bình

21

Từ (7) và (8)

$$\Sigma_1 + \dots + \Sigma_c = \left( \frac{S_1}{S_1 - \tilde{s}_1} - 1 \right) + \dots + \left( \frac{S_1}{S_1 - \tilde{s}_c} - 1 \right) = S_1 \left[ \frac{1}{S_1 - \tilde{s}_1} + \dots + \frac{1}{S_1 - \tilde{s}_c} \right] - C \geqslant \frac{C^c \sqrt{H}}{C - C_{n-1}^{k-1}} \cdot \frac{C}{\sqrt{H}} - C = \frac{C^2}{C - C_{n-1}^{k-1}} - C = \frac{kC}{n-k},$$

Q.E.D.

Đẳng thức trong (IV) chỉ đúng với $a_1 = \dots = a_n$. Nếu không phải như vậy thì không phải tất cả $\tilde{s}_i$ đều bằng nhau và đã có trong (6) và (7) dấu > xảy ra.

Mặt khác, $\Sigma_1 + \dots + \Sigma_c$ có thể được tạo thành lớn theo góc, chẳng hạn như bằng cách tăng $a_1$ không giới hạn đối với các giá trị cố định của các số $a_2, a_3, \dots, a_n$.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra ước tính về khung thay đổi trong các giá trị của $\Pi_1 + \dots + \Pi_c$ và $\Pi_1 \dots \Pi_c$. Đại lượng đầu tiên tại $k \neq n/2$ nhận bất kỳ giá trị dương nào. Đối với $k = n/2$ (n chẵn) nó có giá trị tối thiểu bằng $C = C_k^n$, đạt đến $a_1 = \dots = a_n$ và vẫn không bị giới hạn ở trên. Giá trị thứ hai tại $k \neq n/2$ cũng có thể nhận bất kỳ giá trị dương nào và tại $k = n/2$ (n chẵn) giá trị này luôn bằng 1.

hộp giá rẻ

Hai bức tường của hộp có dạng hình chữ nhật song song và thể tích 1 m³ được làm bằng một loại vật liệu, trong khi các bức tường còn lại được làm bằng vật liệu có giá thành rẻ hơn 8 lần. Ở kích thước hộp $x, y, z$ nào thì chi phí nguyên vật liệu cần thiết để sản xuất nó là tối thiểu?

Lời giải e. Giả sử giá của 1 mét vuông vật liệu thứ hai bằng $p$ rúp. Theo các điều kiện, từ vật liệu đầu tiên, chúng liền kề hoặc không. Trong trường hợp đầu tiên, chi phí vật liệu bằng

$$S_1 = 8p(xy + yz) + p(xy + yz + 2xz) = p \cdot xyz \left( \frac{9}{z} + \frac{9}{x} + \frac{2}{y} \right) = p \left( \frac{9}{z} + \frac{9}{x} + \frac{2}{y} \right),$$

trong lần thứ hai -

$$S_2 = 8p2xy + p(2xz + 2yz) = 2pxyz \left( \frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right) = 2p \left( \frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right).$$

Hãy áp dụng bất đẳng thức

$$\frac{a + b + c}{3} \geqslant \sqrt{abc}$$

giữa trung bình nghệ thuật và trung bình hình học (xem trang 18) đối với các biểu thức này. chúng tôi nhận được

$$S_1 \geqslant 9 \sqrt[3]{6} p \text{ и } S_2 \geqslant 12p.$$

Dễ dàng nhận thấy điều đó $9 \sqrt[3]{6} p > 12p$. Chi phí của $S_2$ sẽ tối thiểu khi và chỉ khi giá trị tối thiểu là tổng của $\frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ với điều kiện cuối cùng được thỏa mãn khi và chỉ khi $\frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ với điều kiện cuối cùng.

Đối với điều này, điều cần và đủ là $8/z = 1/y = 1/x$.

Vì $xyz = 1$ nên nó dẫn đến $x = y = 0,5; z = 4$.

Như vậy, các bức tường của vật liệu thứ nhất phải không liền kề và có hình vuông, cạnh 0,5 m, khoảng cách giữa chúng là 4 m.

R. Vinokur

Một chứng minh khác của định lý trung bình

Bất đẳng thức giữa trung bình số học và trung bình hình học của hai số dương là một mối quan hệ toán học rất quan trọng. Khóa học của chúng tôi đã nhiều lần xuất bản các tài liệu về chủ đề này. Trong Hình 1 cho thấy một hình vuông có cạnh 0,5 m và khoảng cách giữa chúng là 4 m.

$$|CD| = \sqrt{|AD| \cdot |DB|},$$
$$|OC| = \sqrt{|AD| + |DB|}$$