Phyllotaxis và chuỗi Fibonacci

53

Chuỗi Philotaxis và Fibonacci

Hình vẽ trên trang đầu tiên của trang bìa có thể coi là hình ảnh đơn giản hóa của một bông hoa hướng dương, các hạt của chúng lần lượt được trồng theo hình bàn cờ. Cụm hoa hướng dương thật (xem hình trên trang này) cũng chứa hai họ xoắn ốc logarit (đọc về các xoắn ốc này «Kvant», 1977, số 4, trang 42). Các vòng xoắn ốc của một họ xoắn về phía trung tâm ngược chiều kim đồng hồ, vòng xoắn kia - dọc theo chiều kim đồng hồ. Ở những nơi giàu có, sự kết hợp của hai họ xoắn ốc được gọi là phylotaxis (dịch từ tiếng Hy Lạp có nghĩa là “sắp xếp lá”).

Hóa ra số lượng xoắn ốc trong các chùm hoa hướng dương xấp xỉ bằng hai thành viên lân cận của cái gọi là chuỗi Fibonacci: 34 và 55 hoặc 89 và 144.

Phylotaxis hướng dương là một trong nhiều cuộc gặp gỡ bất ngờ với chuỗi Fibonacci. Nó lần đầu tiên được gặp bởi nhà toán học người Pháp Edouard Lucas vào thế kỷ trước. Đọc cuốn sách “Nghệ thuật bàn tính” của nhà toán học Intayan nổi tiếng thời Phục hưng Leonardo xứ Pisa, người nổi tiếng với việc đưa ra Fibonacci và giải một trong các hàm bài toán của Leonardo, Luca đã soạn ra dãy 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, trong đó

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}.$$

Một cuộc gặp gỡ bất ngờ trong phân cảnh này bao gồm Seyatsas và chúng tôi. Giả sử rằng $\alpha^2 = 1 - \alpha$.

Hãy để chúng tôi biểu thị các giá trị của mức độ $\alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, ...$ theo $1 = \alpha^0$ và $\alpha$:

$$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = 2\alpha - 1,$$

$$\alpha^4 = 2 - 3\alpha,$$

$$\alpha^5 = 5\alpha - 3, \dots$$

Bạn có nhận ra dãy Fibonacci trong các tỷ lệ, bắt đầu bằng thuật ngữ $a_1$ không? Rõ ràng, với bất kỳ $n$ nào chúng ta có thể viết công thức

$$\alpha^n = (-1)^n (a_{n-1} - a_n \alpha),$$

trong đó $a_{n-1}$ và $a_n$ là các số hạng của dãy Fibonacci. Hãy chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp toán học:

$$\alpha^{n+1} = (-1)^n (a_{n-1} \alpha - a_n \alpha^2) = (-1)^n (-a_n + (a_{n-1} + a_n) \alpha) = (-1)^{n+1}(a_n - a_{n+1} \alpha).$$

Phương trình $\alpha^2 = 1 - \alpha$ có hai nghiệm: dương $\alpha_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ và âm $\alpha_2 = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Như chúng ta đã thấy,

$$\begin{cases} (-1)^n \alpha_1 = a_{n-1} - a_n \alpha_1 \\ (-1)^n \alpha_2 = a_{n-1} - a_n \alpha_2. \end{cases}$$

Giải hệ này cho $a_n$, ta thu được

$$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right].$$

Và kết quả này khá phức tạp - dãy là số nguyên và thuật ngữ chung của nó được biểu thị dưới dạng căn bậc hai.

Chúng ta sẽ nhận được điều ngạc nhiên tiếp theo nếu tính toán $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$. Đây là ý nghĩa của “tỷ lệ vàng” (ví dụ, về nó, xem «Kvant», 1973, số 8, trang 22 và phần tiếp theo). Một vật thể đẹp với thái độ quan sát như vậy sẽ làm hài lòng mắt.

Có nhiều công thức được kết nối bởi các thành viên của dãy Fibonacci. Dưới đây là một số trong số họ:

$$a_{n+2} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n + 1$$

$$a_{2n+2} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$$

$$a_{2n+1} = 1 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}$$

$$a_{2n-2} + 1 = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + a_{2n-1}$$

$$a_{2n}^2 = a_1 a_2 + a_2 a_3 + \dots + a_{2n-1} a_{2n}$$

$$a_{2n-1} = a_n^2 + a_n^2 - 1.$$

Hãy cố gắng chứng minh chúng.

Bạn có thể đọc về dãy Fibonacci trong cuốn sách bán phần và xen kẽ “Các số Fibonacci” của N. N. Vorobyov (M., “Hayka”, 1978). Giới thiệu về thực vật học - trong một cuốn sách thú vị khác: G. S. M. Coxter “Giới thiệu về hình học” (M., “Hayka”, 1966).

V. Berezin