Bài toán M561—M565; F573—F577

22

Bài toán

M561—M565; F573—F577

M561. Hai hình tam giác $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$, có diện tích là $S_1$ và $S_2$, được sắp xếp sao cho các tia $A_1B_1$ và $A_2B_2$, $B_1C_1$ và $B_2C_2$, $C_1A_1$ và $C_2A_2$ song song nhưng ngược chiều nhau. Tìm diện tích tam giác có các đỉnh tại trung điểm của các đoạn $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$.

L. Kuptsov

M562. Trên đoạn [0; 1] một tập hợp $M$ được đưa ra, là sự kết hợp của một số phân đoạn, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ từ $M$ không bằng 0,1. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn tạo thành $M$ nhỏ hơn a) 0,55; b) 0,5.

A. Kach, học sinh lớp 10

M563. Hàm $f$ được xác định trên khoảng $[a; b]$ cho 4 và có đạo hàm liên tục $f'$ trên đó. Chứng minh rằng bên trong đoạn $[a; b]$ tồn tại điểm $x$ thỏa mãn

$$f'(x) - (f(x))^2 < 1.$$

S. Fomin

M564. Đối với các điểm $M$ của cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ thì phát biểu sau đây đúng: $\triangle MPQ \cong \triangle ABC$, nếu các điểm $P$ và $Q$ là:

a) tâm của các đường tròn được mô tả tương ứng xung quanh các hình tam giác $ABM$ và $ACM$ (Hình 1);
b) giao điểm của các đường trung tuyến;
b) giao điểm của đường cao của chúng?

E. Turkevich

M565. Đặt $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương phân biệt. Chúng ta hãy biểu thị bằng $b_k$ giá trị trung bình số học của tất cả các tích có thể có của $k$ các số đã cho ($k = 1, 2, \dots, n$):

$$b_1 = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n},$$

$$b_2 = \frac{a_1a_2 + a_1a_3 + \cdots + a_{n-1}a_n}{n(n-1)},$$

$$b_n = a_1a_2 \dots a_n.$$

23

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) $b_1 \geqslant \sqrt{b_2}$;
b) $b_k^2 \geqslant b_{k-1}b_{k+1}$ ($k=2, \dots, n-1$);
b) $k^k \sqrt{b_k} \geqslant k^{k+1} \sqrt{b_{k+1}}$ ($k=2, \dots, n-1$).

M. Rosenberg

F573. Ước tính lượng nước có thể được mang đi trong một sàng có ô vuông có kích thước $2 \times 2$ mm. Đường kính của sàng là 20 cm. Các sợi sàng không bị ướt bởi nước.

F574. Hai quả bóng có khối lượng $m_1 = 0,2$ kg và $m_2 = 0,3$ kg bay về phía nhau với tốc độ $v = 20$ m/s mỗi quả. Đồ thị lực tương tác của các quả bóng khi va chạm theo thời gian được thể hiện trên Hình 2. Nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình va chạm của các quả bóng là bao nhiêu?

I. Slobodechkiy

F575. Trong mạch hiển thị ở Hình 3, tất cả các vôn kế và điện trở đều giống nhau. Emf của pin là $E = 5$ V, điện trở trong của pin thấp. Vôn kế trên cùng hiển thị $U = 2$ V. Các vôn kế khác hiển thị gì?

A. Zilberman

F576. Dọc theo đường thẳng $OB$ mặt phẳng chuyển động đều với tốc độ $v > c$ (bằng tốc độ âm thanh). Người quan sát quan sát chuyến bay từ điểm $A$ (Hình 4). Tại thời điểm mặt phẳng ở điểm $O$, một thiết bị đặc biệt được lắp trên mặt phẳng sẽ phát ra hai xung âm thanh ngắn: đầu tiên là xung có biên độ nhỏ, sau đó là xung có biên độ lớn. Khoảng thời gian giữa các xung là $t$. Trong những điều kiện nào người quan sát có thể ghi lại được xung có biên độ lớn trước tiên, sau đó là xung nhỏ? Khoảng cách $OA$ bằng $L$, góc $AOB$ bằng $\theta$.

B.Bolotovsky

F577. Ở nhiệt độ bên ngoài $t_0 = -20^\circ C$, pin đang hoạt động sẽ duy trì nhiệt độ $t_1 = 16^\circ C$ trong phòng. Khi, ngoài pin, nguồn điện có công suất $P_1 = 1$ kW được bật, nhiệt độ trong phòng bằng $t_2 = 22^\circ C$. Xác định nhiệt năng của pin.

Khi đánh dấu e. Sự chuyển dịch cơ thể từ cơ thể này sang cơ thể khác tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa các cơ thể này ($\Delta P = k\Delta t$, $k = \text{const}$).