Kvant
Tạp lục

Bài toán độc giả của chúng tôi

Kvant 1980, số 1tr. 40Thẻ 1JM5

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

40

F562. Các tụ điện bất lực C1=2.00C_1 = 2.00 µF và C2=3.00C_2 = 3.00 µF được mắc nối tiếp và được nối với pin có suất điện động E=120E = 120 V. điểm giữa của nó được nối đất. Dây nối các tụ điện có thể được nối đất bằng phím K. Tìm các điện tích q1,q2q_1, q_2 và q3q_3 sẽ đi qua các phần I-I, II-II và III-III sau khi đóng phím theo các hướng chỉ trong hình.

Trước khi đóng công tắc, điện tích qq của cả hai tụ điện bằng nhau (vì các tụ điện mắc nối tiếp) và bằng nhau

q=C1C2C1+C2q = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}

Sau khi đóng chìa khóa, chiều trên tụ điện sẽ bằng 12E\frac{1}{2} E và điện tích của tụ điện sẽ bằng nhau

q′=12C1Eandq′′=12C2E.q' = \frac{1}{2} C_1 E \quad \text{and} \quad q'' = \frac{1}{2} C_2 E.

Do đó, điện tích sẽ đi qua các đoạn I-I và II-II theo các hướng đã cho

q1=q′−q=C1(C1−C2)2(C1+C2)E=−2.4⋅10−5 KJ.q_1 = q' - q = \frac{C_1 (C_1 - C_2)}{2 (C_1 + C_2)} E = -2.4 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}.

Và

q2=q−q′′=C2(C1−C2)2(C1+C2)E=−3.6⋅10−5 KJ.q_2 = q - q'' = \frac{C_2 (C_1 - C_2)}{2 (C_1 + C_2)} E = -3.6 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}.

Tổng điện tích của các bản tụ điện nối với nhau trước khi đóng công tắc bằng 0, và sau khi đóng công tắc, nó trở thành q′′−q′q'' - q'. Khoản phí như vậy là rất/không, và có tính pro-ilegel hơn phần III-III, nghĩa là

q3=q′′−q′=12(C2−C1)E=6⋅10−5 KJ.q_3 = q'' - q' = \frac{1}{2} (C_2 - C_1) E = 6 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}.

I. Slobodetsky

Bài tập
độc giả của chúng tôi

Sử dụng bất đẳng thức Cauchne-Bunyakovsky

(A12+A22+⋯+AN2)××(B12+B22+⋯+BN2)≥(A1B1+A2B2+⋯+ANBN)2(A_1^2 + A_2^2 + \dots + A_N^2) \times \times (B_1^2 + B_2^2 + \dots + B_N^2) \geq (A_1 B_1 + A_2 B_2 + \dots + A_N B_N)^2

(để biết cách chứng minh, hãy xem bài viết “Parabol và bất đẳng thức” của V. Levin - «Kvant»,

1976, không. 4; với N=2N = 2 và N=3N = 3 ý nghĩa hình học của bất đẳng thức này rất rõ ràng: tích độ dài của hai vectơ không nhỏ hơn tích vô hướng của chúng), giải bài toán sau:

  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    a) (x+y)2+(x+a)2+(y+b)2(x + y)^2 + (x + a)^2 + (y + b)^2, trong đó aa và bb là các tham số;
    b) (x+y+z)2+(x+a)2+(y+b)2+(z+c)2(x + y + z)^2 + (x + a)^2 + (y + b)^2 + (z + c)^2, trong đó a,b,ca, b, c là các tham số;

b) (x1+x2+⋯+xn)2+(x1+a1)2+(x2+a2)2+⋯+(xn+an)2(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 + (x_1 + a_1)^2 + (x_2 + a_2)^2 + \dots + (x_n + a_n)^2, trong đó aia_i là các tham số.

Những giá trị này đạt được ở những giá trị nào?

  1. Chứng minh rằng bình phương của một nghiệm thực bất kỳ của một đa thức

P(x)=xn+anxn−1+⋯+a1x+a0P(x) = x^n + a_n x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

tổng biến đổi của bình phương tất cả các hệ số của nó.

L. Puzach