Cốc của Styopa Moshkin

42

D. Izaak, T. Utkina

Vòng kết nối
thảo nguyên Moshkin

Sau môn toán tự chọn, cậu học sinh lớp bảy Styopa Moshkin đến gặp bạn cùng lớp Oleg. Anh quyết định lợi dụng giáo xứ Steppe.

• Để tôi chép lại hình học, nếu không thì tôi không hiểu gì cả.

• Bạn có nghĩ sau này bạn sẽ hiểu cô ấy hơn không? - Styopa bất ngờ phản đối, quyết định lần này sẽ tỏ ra tỉnh táo.

• Chà, làm thế nào bạn tìm ra hình học này? - Oleg kêu lên. - Trong đại số, dù ở đâu, hãy đếm cho đến khi bạn nhận được đáp số. Và trong hình học của các chuyển động, bạn không thể nhìn thấy hoặc đùa giỡn, và bây giờ có một số vòng tròn, những vòng tròn này, tên của chúng là gì, bố cục…

— Trong phần tự chọn, chúng tôi chỉ phân tích thành phần của các chuyển động.

Và bạn biết đấy - với anh ấy, điều đó giống hệt như trong đại số: chúng ta đếm, chúng ta đếm và chúng ta nhận được đáp số. Thật tuyệt vời! Hãy để tôi nói cho bạn biết!

• Tại sao tôi cần môn tự chọn của bạn? Tốt nhất bạn nên chỉ cho tôi cách giải bài tập về nhà.

Các chàng trai không tranh cãi lâu: Sự nhiệt tình của Styopa hóa ra còn mạnh hơn Oleg. Chẳng mấy chốc, những tờ giấy viết nháp, bút mực và một cuốn sổ tay trống có dấu đôi hình vuông xuất hiện trên bàn. Lúc đầu, Styopa cố gắng bắt chước Maria Vasilyevna, nhưng nhanh chóng chuyển sang bài phát biểu hào hứng hơn:

“Bạn hiểu đấy, hình tròn giống như phép nhân trong đại số, một phép toán giữa các chữ cái,” Styopa bắt đầu. “Chỉ có những chữ cái không đại diện cho số mà là hoán vị.” Và cũng giống như trong đại số, việc bạn đặt dấu ngoặc đơn như thế nào không quan trọng.

Styopa viết vào một cuốn sổ sạch sẽ

$$R \circ (Q \circ P) = (R \circ Q) \circ P.$$ (1)

• Đây gọi là luật kết hợp. Và chuyển động tương tự $E$ là khi tất cả các điểm vẫn giữ nguyên vị trí, giống như các đơn vị们

$$P \circ E = E \circ P = P.$$ (2)

43

Và mỗi chuyển động đều có biểu tượng $P$, $P^{-1}$; cho anh ấy
$$P \circ P^{-1} = P^{-1} \circ P = E.$$ (3)

“Mọi thứ đều rõ ràng,” Oleg nói, “nhưng tại sao bạn không đề cập đến tính chất đơn giản nhất?”

Và Oleg đã viết $Q \circ P = P \circ Q$ trên bản nháp.

“Ồ không, điều này không phải lúc nào cũng đúng đối với việc di chuyển,” Styopa nói. Mục sau đây có hình ảnh xuất hiện trong terradi trống:
Ví dụ. $S_a \circ S_b \neq S_b \circ S_a$.

Trong ví dụ, Oleg đã nhanh chóng tìm ra (còn bạn?); Styopa viết thêm hai dòng nữa trong một tờ giấy trắng:
$$P = Q \Leftrightarrow T \circ P = T \circ Q,$$
$$P = Q \Leftrightarrow P \circ T = Q \circ T,$$
cung cấp cho họ nhận xét sau:
— Giống như trong đại số: cả hai vế của một đẳng thức có thể được “nhân” với cùng một độ dịch chuyển và cũng có thể bị rút gọn. Chỉ ở cùng một phía. Như thế này: $P \circ T = T \circ Q \Rightarrow P = Q$ không thể thực hiện được!

• Tại sao? - Oleg hỏi nhưng ngay lập tức tự trả lời. - Nếu $T \circ Q \neq Q \circ T$, như trong ví dụ, thì nó trở nên vô nghĩa.

Sau đó Styopa quyết định kiểm tra xem Oleg vẫn biết những chuyển động nào. Khi anh ấy vắt từ “đối xứng trung tâm” ra khỏi Oleg, các chàng trai đã nhớ ký hiệu $Z_Q$ (để đối xứng với tâm $Q$), và Styopa đã viết $Z_Q \circ Z_Q = ?$ Oleg, sau khi suy nghĩ một chút, đã xóa dấu chấm hỏi và mục sau xuất hiện trên terrada:
$$Z_Q \circ Z_Q = E.$$ (5)

Ở đây Styopa đề xuất một câu hỏi phức tạp hơn: $Z_P \circ Z_Q = ?$ Khi các chàng trai tìm ra nó trong bản nháp, Oleg đã cẩn thận viết ra:
Thành phần của hai đối xứng tâm - truyền:
$$Z_P \circ Z_Q = 2Q \vec{P}.$$ (6)

Bên dưới hình ảnh

Styopa thêm bằng chứng:
$$\overrightarrow{A A}' = \overrightarrow{A Q} + \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{P A}' = \overrightarrow{Q A}' + \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{A' P} = \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{Q P} = 2Q \vec{P}.$$
Bạn có thể đoán được câu hỏi tiếp theo của Styopa: $Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = ?$ Với gợi ý của Styopa, Oleg đã giải được câu hỏi này bài toán; anh ấy đã viết kết quả như thế này:
Thành phần của ba đối xứng trung tâm cũng là một đối xứng trung tâm:
$$Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = Z_S,$$ (7)
ede $S$ là một điểm mà
$$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}.$$ (8)

Bằng chứng.
$$Z_Q \circ Z_R = Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = E \circ Z_S = Z_S.$$
Styopa nói: “Bạn và tôi sẽ tiếp tục đặt các số dưới dấu = và => để không quên chúng ta đã lấy được cái gì ở đâu”.

Sau đó Oleg nhớ ra rằng, ngoài đối xứng trung tâm, còn có đối xứng trung tâm: $S_a$; trên sân thượng anh viết ngay:
$$S_a \circ S_a = E,$$ (9)
sau đó các em bắt đầu suy nghĩ về câu hỏi $S_b \circ S_a = ?$ Sau khi nhớ ra môn tự chọn, Styopa đề nghị làm việc này trước trong trường hợp $a \perp b$. Mục sau đây xuất hiện trên terrada:

44

Thành phần đối xứng trục với sự phân bố lại của trục - đối xứng tâm:

$$S_b \circ S_a = S_a \circ S_b = Z_P,$$

nếu $a \perp b$ và $P = a \cap b$.

Thay vì chứng minh, họ đã vẽ ra.

Và đối với trường hợp $a \parallel b$ các bạn đã viết:

Thành phần của hai trục đối xứng có trục song song - tịnh tiến song song:

$$S_b \circ S_a = 2AB,$$

nếu $a \parallel b$, $A \in a$, $B \in b$, $(AB) \perp a$.

Bằng chứng. $S_b \circ S_a$ $\overset{(2)}{=} S_b \circ \circ (E \circ S_a)$ $\overset{(9)}{=} S_b \circ ((S_c \circ S_c) \circ S_a)$ $\overset{(1)}{=} (S_b \circ \circ S_c) \circ (S_c \circ S_a)$ $\overset{(10)}{=} Z_B \circ Z_A$ $\overset{(6)}{=} 2AB$, ở đâu $(AB) = c$.

Bạn thấy đấy,” Styopa đắc thắng, “chúng tôi đếm, chúng tôi đếm, chúng tôi nhận được đáp số!” Và đáp số - đẳng thức - của chúng tôi rất tốt vì chúng có thể được đọc theo cả hai hướng. Ví dụ, cái cuối cùng có thể được đọc như thế này:

Bất kỳ sự truyền song song nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của hai đối xứng trục, các trục của chúng vuông góc với hướng truyền và cách nhau một nửa chiều dài của nó.

Các bạn quay lại bài toán “$S_b \circ S_a = ?$” trong trường hợp tổng quát khi $a$ cắt $b$. Các mục mới xuất hiện và thay vì bằng chứng là một bản vẽ:

Cấu tạo của hai trục đối xứng với các trục cắt nhau - phép quay:

$$S_b \circ S_a = R_P^{2\alpha},$$

ede $P = a \cap b$ và $a - \text{yeol}^*$ giữa $a$ và $b$.

Styopa tuyên bố rằng sự tương ứng này cũng có thể được “đọc theo hướng khác”: chuyển động quay có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của hai đối xứng trục, các trục của chúng giao nhau tại tâm của chuyển động quay và uelel giữa chúng bằng một nửa uelel của chuyển động quay.

Sau đó các em lần lượt $(R_P^\alpha)$; Các mục sau đây đã xuất hiện trong thùng rác:

$$R_P^\alpha \circ R_P^{-\alpha} = E,$$

$$R_P^\alpha \circ R_P^\beta = R_P^{\alpha + \beta}.$$

Thành phần hai lượt - lượt:

$$R_Q^\beta \circ R_P^\alpha = R_T^{\alpha + \beta},$$

nếu** $T$ là giao điểm của đường $c = R_P^{\alpha/2}(a)$ và $b = R_Q^{\beta/2}(c)$ thì $c = (PQ)$.

Bằng chứng. $R_Q^\beta \circ R_P^\alpha$ $\overset{(1,2)}{=} (S_b \circ S_c) \circ (S_c \circ S_a)$ $\overset{(1)}{=} S_b \circ (S_c \circ S_c) \circ S_a$ $\overset{(9)}{=} S_b \circ S_a = R_T^{2(\alpha/2 + \beta/2)} = R_T^{\alpha + \beta}$.

*) Các bạn quên viết góc nhỏ nhất giữa $a$ và $b$ đã lấy.

**) Các bạn bắt đầu yêu cầu $\alpha > 0$, $\beta > 0$ và $\alpha + \beta < 2\pi$.