Bài toán M601—M605; F613—F617

31

Bài tập

M601—M605; F613—F617

M601. Chứng minh rằng trong tam giác bất kỳ $ABC$ trung điểm của cạnh $BC$ nằm trên đoạn nối giao điểm các đường cao của tam giác $ABC$ với điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác này, có đường kính đối diện với đỉnh $A$, và chia đôi đoạn thẳng này.

G. Groshev, học sinh lớp 10

M602. Trong tam giác Pascal, phần đầu của tam giác này được hiển thị trong Hình 1 (mỗi số “bên trong” bằng tổng của hai cạnh phía trên nó), ở dòng tiếp theo có ba số liên tiếp, tạo thành một cấp số cộng.
a) Dòng tiếp theo chứa cùng sự kiện đó?
b) Chứng minh rằng nó sẽ xảy ra ở vô số dòng và chỉ ra tất cả số dòng đó.

A. Avramov

Hình 1. Ở dòng thứ $n$, số thứ tự $k$ bằng
$$C_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k}.$$

Hình 2.

M603*. Giải hệ phương trình
$$x + \frac{3x - y}{x^2 + y^2} = 3, \quad y - \frac{x + 3y}{x^2 + y^2} = 0.$$
L. Kuptsov

M604. a) Andrey, Victor, Sergey, đang bơi dưới nước, đồng thời nổi lên ở các điểm $A_0, B_0, C_0$ và ngay lập tức lặn trở lại, và Andrey quyết định bơi một phần ba quãng đường đến chỗ Victor trong một phút, Victor - một phần ba quãng đường đến chỗ Sergey, Sergey - một phần ba quãng đường đến chỗ Andrey. Một phút sau, họ lại nổi lên (điểm $A_1, B_1, C_1$ - xem Hình 2) và quyết định lặp lại thao tác này - sau nửa phút; sau đó - trong một phần tư phút, v.v.
Họ sẽ gặp nhau ở đâu và khi nào?
b) Bên trong hình cầu bán kính 1 km có một triệu điểm được đánh số từ 1 đến một triệu. Đồng thời, mỗi giây, mỗi điểm di chuyển đến điểm tiếp theo theo số lượng ở khoảng cách $1/3$ đến điểm này; điểm cuối cùng di chuyển về phía điểm đầu tiên theo cách tương tự. Chứng minh rằng sau một thời gian mọi điểm sẽ hội tụ bên trong một mặt cầu có bán kính 1 mm.

F. Shleifer

M605. Trên mặt phẳng có dấu $2n+1$ của các điểm khác nhau. Chúng ta hãy đánh số chúng bằng các số 1,2,…,2n+1 và khoảng cách chuyển đổi tiếp theo của mặt phẳng $R$: đầu tiên, sự đối xứng được thực hiện so với điểm đầu tiên, sau đó - so với điểm thứ hai, v.v. - cho đến điểm thứ $(2n+1)$.
a) Chứng minh rằng phép biến đổi $R$ này có một “điểm cố định” duy nhất (một điểm ánh xạ vào chính nó).

32

Hãy xem xét tất cả các cách có thể để đo điểm $2n + 1$ của chúng ta (bằng số 1,2,…,$2n + 1$). Mỗi cách đánh số như vậy tương ứng với phép biến đổi của mặt phẳng $R$ và điểm cố định của chính nó. Đặt $F$ là tập hợp các điểm cố định của tất cả các phép biến đổi này.

6. Chỉ định bộ $F$ cho $n = 1$.
   c) Điểm tối đa và số điểm tối thiểu mà tập hợp $F$ có thể chứa cho mỗi $n = 2,3,...$ là bao nhiêu?

A. Talalay

F613. Một hộp có khối lượng $M$ đặt trên bàn nằm ngang. Trong hộp nén bên ngoài $k$ một tải trọng lớn $m$ được treo (Hình 1). Ở biên độ dao động nào của tải thì hộp bắt đầu nảy lên trên bàn?

L. Bakanina

F614. Một bình kín chứa khí nitơ ở nhiệt độ phòng $t_0 = 20^\circ\text{C}$ và áp suất $p_0 = 10^5$ Pa. Một số nitơ lỏng có nhiệt độ $t_1 = -196^\circ\text{C}$ (điểm sôi của nitơ ở áp suất khí quyển bình thường) được bơm vào bình. Nitơ lỏng bay hơi nhanh chóng, sau đó nhiệt độ trong bình trở thành $t_2 = -140^\circ\text{C}$. Sau khi bình ấm lên đến nhiệt độ phòng, áp suất $p = 1,5 \cdot 10^5$ Pa được thiết lập trong đó. Xác định nhiệt lượng mol bay hơi của nitơ lỏng. Nhiệt dung của khí nitơ ở thể tích không đổi là $C_V = 20,8$ J/(mol K).

V. Belonchkin

F615. Trong trường hợp kích thước khí không tự duy trì, sự phụ thuộc của điểm $I$ qua ống xả khí vào điện áp $U$ giữa các điện cực của ống có dạng như hình 2. Ống có điện trở dằn mắc nối tiếp $R = 3 \cdot 10^8$ Ohm được nối với nguồn có EMF không đổi $8 = 6$ kV. Tìm dòng điện chạy qua ống và điện áp trên ống sẽ bằng bao nhiêu. Điện trở trong của nguồn được tính đến.

V. Mozhaev

F616*. Chiều dài dây tóc của bóng đèn điện là $l$, đường kính là $d$. Chiều dài $l_1$ và đường kính $d_1$ của một bóng đèn khác được thiết kế cho cùng điện áp nguồn nhưng có quang thông gấp đôi, nếu hiệu suất của cả hai bóng đèn là như nhau?

F617. Văn bản báo chí, chụp hai lần bằng máy ảnh Zenit với ống kính có tiêu cự 50 mm:

1. từ khoảng cách ngắn nhất được phép đối với ống kính này $a = 0,5$ m;
2. sau khi gắn ống kính vào máy ảnh thông qua cột mở rộng có chiều cao $h = 25$ mm (cũng từ khoảng cách tối thiểu có thể).

Tìm tỉ số của các chất khí thu được trên phim ảnh trong hai trường hợp này.

V. Deryabkin