Задачи М601—М605; Ф613—Ф617

31

Задание

M601—M605; Ф613—Ф617

M601. Докажите, что в любом треугольнике $ABC$ середина стороны $BC$ лежит на отрезке, соединяющим точку пересечения высот треугольника $ABC$ с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине $A$, и делит этот отрезок пополам.

Г. Грошев, ученик 10 класса

M602. В треугольнике Паскала, начало которого изображено на рисунке 1 (каждое «внутреннее» число равно сумме двух стороны над ним), в следующий строке встречаются по др яд три числа, образующие арифметическую прогрессию.
a) В какой следующей строке следует такое же событие?
b) Докажите, что оно произойдет в бесконечном количестве строк, и поставляется указаать все номера таких строк.

А. Аврамов

Рис. 1. В $n$-й строке $k$-е по порядку число равно
$$C_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k}.$$

Рис. 2.

M603*. Решите систему уравнений
$$x + \frac{3x - y}{x^2 + y^2} = 3, \quad y - \frac{x + 3y}{x^2 + y^2} = 0.$$
Л. Купцов

M604. a) Андрей, Виктор, Сергей, плавающие под водой, одновременно выhirнули в точках $A_0, B_0, C_0$ и тут же нырнули снова, причем Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, Сергей — треть пути до Андрей. Через минуту они выhirнули вновь (точки $A_1, B_1, C_1$ — см. рис. 2) и решили повторить этот маневр — уже за полминуты; потом — за четверть минуты и т. д.
Где и когда они встретиются?
б) Внутри сферы радиуса 1 км расположен миллион точек, занумерованных чисlamи от 1 до миллиона. Каждый секунду одновременно каждая точка двигается к следующей по номеру на $1/3$ расстояния до этой точки; последняя точка точно так же двигается к первой. Докажите, что через некоторое время все точки соберутся внутри некоторой сферы радиуса 1 мм.

Ф. Шлейфер

M605. На плоскости отмеченies $2n+1$ различных точек. Занумеруем их чисlamи 1,2,…,2n+1 и расстоянием следующей преобразование $R$ плоскости: сначала делается симметрия относительной первой точки, затем — относительной второй и т. д.— до $(2n+1)$-й точки.
a) Докажите, что у этого преобразования $R$ есть единственная «неподвижная точка» (точка, которая отображается в себя).

32

Рассмотрим всевозможные способы измерения на ших $2n + 1$ точек (числами 1,2,…,$2n + 1$). Каждый такой нумерации соответствует свое преобразование плоскости $R$ и своей неподвижная точка. Пусть $F$ — множество неподвижных точек всех этих преобразований.

6. Укажите множество $F$ для $n = 1$.
   в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество $F$ при каждом $n = 2,3,...$?

А. Талалай

Ф613. Коробка массы $M$ стоит на горизонтальном столе. В коробке наружные сжеткости $k$ подвешен груз массы $m$ (рис. 1). При какой амплитуде колебаний груза коробка начинает подпрыгивать на столе?

Л. Баканина

Ф614. В замкнутом сосуде находился газообразный азот при комнатной температуре $t_0 = 20^\circ\text{C}$ и давления $p_0 = 10^5$ Pa. В сосуд впрыснул некоторые колибестоjo жидкого азота с температурой $t_1 = -196^\circ\text{C}$ (температура кипения азота при нормальном атмосферном давлении). Жидкий азот быстро испарился, после чего температура в сосуде оказалась равной $t_2 = -140^\circ\text{C}$. После того как сосуд прогрелся до комнатной температуры, в нем установилось давление $p = 1,5 \cdot 10^5$ Pa. Определить молярную теплоту испарения жидкого азота. Теплоемкость газообразного азота при постоянном объеме $C_V = 20,8$ Дж/(моль·К).

В. Белончкин

Ф615. В случае несамостояльного газового размера зависимость точки $I$ через газоразрядную трубку от напряжения $U$ между электродами трубки имеет вид, показанный на рисунке 2. Трубка с последовательно соедининым баллостным сопротивлением $R = 3 \cdot 10^8$ Ом подключена к источнику с постоянной ЭДС $8 = 6$ кВ. Найдите, какой ток установится через трубку и чем будет равно при этом напряжение на трубке. Внутренним сопротивлением источника претенбрець.

В. Можаев

Ф616*. Длина нити накаливания электрической лампочки равна $l$, а диаметр — $d$. Каковы длина $l_1$ и диаметр $d_1$ другой лампочки, расчитанной на то же напряжение сети, но с вдвое большим световым потоком, если КПД обеих лампочки один и тот же?

Ф617. Газетный текст, фотографируется аппаратом «Зенит» с объективом, имеющим фокусное расстояние 50 мм, дважды:

1. с наименьшего допустимого для этого объектива расстояния $a = 0,5$ м;
2. после присоединения объектива к камере через удлинительное колюдо высотой $h = 25$ мм (также с минимально возможного расстояния).

Найдите отношение газов изобравней, полученных на фотопленке в этих двух случях.

В. Дерябкин