В чём дело?

17

ность воздуха с подветренной стороны такова, что при давлении воздуха $p_1$ давление воды паров равно $p$. С массой $M$ воздуха, занимающего объем $V_1$, приходит масса $\Delta m$ водыных паров. Согласно уравнению состояния

$$pV_1 = \frac{\Delta m}{\mu_0}RT_1, \quad p_1V_1 = \frac{M}{\mu}RT_1$$

($\mu_0$ — молярная масса воды), откуда

$$\Delta m = M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1}.$$

Таким образом, $Q = \lambda M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1}$.

(В предыдущих наших рассуждениях мы считали, что вся масса $M$ воздуха из объема $V_1$ переваливает через хребет, то есть игнорировали изменение массы за счет выпадающих осадков. Полученное выражение для $\Delta m$ показывает, что такое уравнение допустимо: $\mu_0 = 18$ г/моль, $\mu = 29$ г/моль, а $p \ll p_1$ (например, если влажность воздуха 50%, то при температуре $18^\circ\text{C}$ и давлении $p_1 = 10^5$ Па давление воды паров $p \approx 0.01 \cdot 10^5$ Па), поэтому $\Delta m/M \ll 1$).

Запишем теперь в окончательном виде выражение (*):

$$\lambda M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1} = \frac{5}{2} \frac{M}{\mu} R(T_2-T_1) + \frac{M}{\mu} R(T_2-T_1) \Rightarrow \lambda \mu_0 \frac{p}{p_1} = \frac{7}{2} R(T_2-T_1).$$

Отсюда находим выражение для разности температуры:

$$T_2-T_1 = \frac{2}{7} \frac{\lambda \mu_0 p}{Rp_1}.$$

Подставляя $p_1 = 10^5$ Па, $p = 0.01 \times 10^5$ Па, $\lambda = 2.5 \cdot 10^6$ Дж/кг, $R = 8.3 \cdot 10^3$ Дж/(кмоль·град), $\mu_0 = 18$ кг/кмоль, получим $T_2-T_1 \approx 15$ град!. Вот какова разница температур на подветренной и наветренной сторонах горы.

Жители горных мест и альпинисты подветрждают правильность этой оценки.

В чем дело?

В некоторых шкoles, в некоторых классе решили задачу: найти все значения параметра $a$, при которых оно и имеет решение; тогда остальные действиячные числа являются бы ответом задачи. Но это была бы длинная канитель, и все обработались, когда Федя Крестиков предложил графическое решение: «Функция $\sqrt{x-5}$ это полована параболью. Выражение $a-x$ задает семейств линейных функций. Видно (см. рисунок), что прямые этого семейства пересекаются с параболой $\sqrt{x-5}$ тогда и только тогда, когда $a \geq 5$. Значит, ответ в задаче: $a < 5$».

Все были довольны, но другг раздался голос Васи Нуликова: «А ведь задача-то устная!». Его попросили обязывать, и сказал Вася вот что: «Из левой части уравнения (1) видно, что если оно имеет решение, то $x \geq 5$. Из правой части видно, что если $a-x \geq 0$ или $a \geq x$. Значит, если уравнение (1) имеет решение, то $a \geq 5$. На уроке математики нам говорили, что теорема „Если $A$, то $B$” равно сольна теореме “Если не верно $B$, то не верно $A$”*. Значит, если $a < 5$, то уравнение (1) не имеет решения. А это и есть ответ. И выдержав в почтильно наступившей тишине многозначительно

*) Если вам это не говорили, читатель, попробyte доказать это сами. Можно также прочитать это в «Кванте», 1975, № 2, с. 25.

Здесь как раз график вряд ли поможет. И вот что получилось. Сначала все шло так же, как и вочерашнем уравнении: $x \geq 5$, $a \geq x$, значит, $a \geq 5$; следовательно, при $a < 5$ уравнение (2) решения не имеет. И только я обработался, как заметил, что при $a = 5$ оно тоже решения не имеет*). Где же это значение параметра потерялись при Васином способе?». Сказал и сел на место.

А мы стали думать: если Вася прав, то как бы с примером Крестикова? А если неправ, то почему выera у него получился верный ответ?>

В чем дело?

*) Сообщите, почему.