Поговорим о дифференциальных уравнениях

10

Поговорим о дифференциальных уравнениях

Если в обычных уравнениях, решаемых в школе, требуется найти численные значения некоторой переменной, то в дифференциальных уравнениях искомой является функция, причем в уравнение входит произведение этой функции. С простыми дифференциальными уравнениями вы знакомы по школьному учебнику. Это уравнение показательного роста (или убывания)

$$y' = ky,$$

(1)

где $y = y(x)$ — неизвестная функция, $k \neq 0$ — заданная постоянная («Алгебра и начала анализа 10», п. 110), и уравнение гармоничских колебаний

$$y'' = -\omega^2 y,$$

(2)

где $y$ — опять неизвестная функция, $\omega > 0$ — постоянная (там же, п. 80).

В различных областях человекаской деятельности возникают задачи, связанные с дифференциальным уравнением. Характер этих задачи и методку их решения можно описать примерно так. Изучается какой-нибудь процесс — физический, биологический и т. д. Нас интересует изменение во времени какой-то характерistikи этого процесса, то есть неокторой величины (температуры, давления, массы и т. п.). Если у нас имеется достаточно много сведений о течение этого процесса, мы можем попытаться построить его математическое модели. Во многих случаях из экспериментальных данных или из физических и прочих законов удаляется получить информацию о скорости изменения величины $y = y(t)$ в зависимости от времени $t$, то есть о произvodной $y' = y'(t)$. Эта информация обычно может быть записана в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией $y = y(t)$. Получающееся уравнение как раз и описывает наш процесс с точки зрения его характеристики $y$. Отскав все решения дифференциального уравнения — само по себе это уже чисто математическая задача, мы находим все возможные варианты изменения величины $y$.

Отметим, что при математическом описании (такое описание называют моделью) всегда приходится делать некоторые упрощенные предложения, пребегать теми или иными побочных явлениями, принять «идеальные» условия — одним словом, абстрагироваться от конкретных деталей. Это приводит к известным ограничениям в применении построенной модели.

Опыт развития различных наук показывает, что многие данные друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнением. Поэтому естественно разрабатать методы решения таких уравнений безносительно к тем задачам, которые приведены или могут привести к ним. Эти как раз занимается математическая теория дифференциальных уравнений.

Если какая-нибудь задача связаится к дифференциальному уравнению, методы решения которого уже известны, то эту задачу можно считать решенной. В этом случае творческая часть решения заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй же этап — отскание решения уравнения — будет представлять собой хотя и важную, но чисто техническую задачу. Тут имеется полная аналогия с задачими, связащимися к общным алгебраическим уравнениям.

В этой статье мы проиллюстрируем сказанное на примере задачи, связащимися к дифференциальным уравнением (1) и (2) из школьного

11

курса. Начнем с некоторые наполни-
нный.

1. Линейные дифференциальные
   уравнения

Уравнение $y' = ky$ называется линей-
ным, поскольку неизвестная функция
$y$ и ее произведение $y'$ входят в него
linейный образом. Как известно из
учебника, любое решение этого урав-
нения записывается в виде

$$y = Ae^{kx},$$

(3)

где $A$ — произвольная постоянная.

Оказывается, если на координат-
ной плоскости изображать графики
этих решений при всехозможных
значениях $A$, то они покройот всю
плоскость, причем через каждую
точку плоскости пройдет в точности
один из графиков. Плоскость ока-
зывается как бы «сотканной» из гра-
фиков $y = Ae^{kx}$ (рис. 1).

Докажем это, для чего найдем
среди функций вида (3) все те, гра-
фики которых проходят через данную
точку $(x_0; y_0)$ координатной плоскости. Для определения постоянной $A$ получаем уравнение

$$Ae^{kx_0} = y_0,$$

котрое имеет единственное решение
$A = y_0e^{-kx_0}$. Следовательно, через нашу точку проходит один и только один из графиков (3) — это

$$y = \left(y_0e^{-kx_0}\right) \cdot e^{kx} = y_0e^{k(x-x_0)}.$$

(4)

Полученный нами факт часто
формулирует следующим образом:
дифференциальное уравнение $y' = ky$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начальном у

Рис. 1.

условию $y(x_0) = y_0$; это решение
задается формулой (4).

Более общее линейное дифферен-
циальное уравнение записывается в виде

$$y' = ky + a,$$

(5)

где $a$ (как и $k$) — постоянная. Урав-
нение (5) легко совпадается к уже ис-
следованному уравнению (1): если
правую часть записывается в виде

$$ky + a = k\left(y + \frac{a}{k}\right)$$

(напомним, что мы считаем $k \neq 0$) и обозначить функцию $y + a/k$ через $z$, то

$$z' = \left(y + \frac{a}{k}\right)' = y' = ky + a = kz.$$

Таким образом, функция $z(x) = y(x) + a/k$ удовлетворяет уравне-
нию $z' = kz$, поэтому $z = Ae^{kx}$, то есть $y + a/k = Ae^{kx}$, откуда

$$y(x) = -\frac{a}{k} + Ae^{kx}.$$

Значение постоянной $A$ опять-tаки
однозначно определяется, если за-
дано начальное условие $y(x_0) = y_0$.

Вот, по существу, и все математическая теория линейных дифференциальных уравнений первого порядка, то есть уравнения, включая их только первою произвольную от неизвестной функции.

2. Приложения линейных
   дифференциальных уравнений

В школьном учебнике рассмотрен
ряд процессов, исследованные кото-
рых свойства к линейным дифферен-
циальным уравнением, то есть к при-
менению изложенной в п. 1 теории.
Это процессы радиоактивного рас-
пада,posta народонаселения и телообмена. Мы рассмотрим еще три примера из других областей науки.
Напомним, что главное для нас —
свести задачу к дифференциальному уравнению.

(A) Модель роста популя-
ций бактерии. Пусть $N(t)$ — численность размножающего популяции бактерии в момент времени $t$. При идеальных условиях $\Delta N(t) = N(t + \Delta t)$ — $N(t)$ за время от $t$ до $t + \Delta t$ для
многих видов бактерии можно счит-

12

таблично пропорциональным количеством имеющих в момент времени $t$ бактерии; кроме того, при малых $\Delta t$ приращение $\Delta N(t)$ должно быть приерно пропорционально $\Delta t$.
Таким образом, при сделанных допущения можно записать
$$\Delta N(t) \approx kN(t)\Delta t,$$
где $k > 0$ — коэффициент, зависимости от вида бактерии. Итак,
$$\frac{\Delta N(t)}{\Delta t} \approx kN(t).$$
Отвлекаясь от того, что численность может изменять только целыми числами, будем считать, что $N(t)$ изменяется во времени непрерывно. Учитывая, что последнее равенство должно быть тем точнее, чем меньше $\Delta t$ (обдумайте), после перехода в нем к предлу при $\Delta t$, стремящемся к 0, получим дифференциальное уравнение вида (1):
$$N'(t) = kN(t).$$
Следовательно (см. п. 1),
$$N(t) = Ae^{kt},$$
так что численность популяции возрастает по показательному закону. Если при этом известна начальная численность популяции, то есть начальное условие $N(0) = N_0$, то, следуя формуле (4), можно записать
$$N(t) = N_0e^{kt}.$$
(B) Своободное padение с тренем (модель парашюта). Пусть тело массы $m$ падает вертикально вниз с некоторой высоты, причем наряду с силой тяжесте $F_\tau = mg$ на него действует направленная противоположно направленную скорости сила взского треня, пропорциональная величины скорости: $F_{\tau p} = -\alpha v$, где $\alpha > 0$ — коэффициент треня. Определим зависимость скорости от времени.
В данном случае дифференциальное уравнение получается сразу из второго закона Ньютона: $ma = F = F_\tau + F_{\tau p}$, то есть $mv' = mg - av$. Разделив обе части на $m$, опять приходим к линейному дифференциальному уравнению, но на этот раз вида (5):
$$v' = -\frac{\alpha}{m}v + g.$$

ИЗ (6)
$$v(t) = \frac{mg}{\alpha} + Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}.$$
В случае, когда $v(0) = 0$, находим $A = -\frac{mg}{\alpha}$ и
$$v(t) = \frac{mg}{\alpha}\left(1 - e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right).$$

При свободном padении без трения ($v' = g$) величина скорости возрата линейно: $v(t) = gt$. При наличии же взского треня скорость, возрата, тем не менее стремиется к постоянной: при возратани $t$ величина $e^{-\frac{\alpha}{m}t}$ стремиется к 0, поэтому $v(t)$ стремиется к предельному значению $v_{\text{np}} = mg/\alpha$ (график величины скорости изображен на рис. 2).

(B) Барометрическая формула. Хорошо известно, что чем выше, тем воздуха разреженное — атмосферное давление с высотой уменьшается. Попробуем определить зависимость $p = p(h)$ давления $p$ от высоты над уровнем моря $h$.

Напомним, что за величины atmospheric давления принимается вес вертикального столба воздуха с плоской

Рис. 2.
Рис. 3.

13

шадью сечения $S = 1$ см$^2$. Следовательно, разность

$$p(h) - p(h + \Delta h) = -\Delta p(h)$$

численно равна весу стольника воздействия от высоты $h$ до высоты $h + \Delta h$ (рис. 3), то есть

$$-\Delta p(h) = \Delta mg,$$

где $\Delta m$ — масса этого стольника. Объем стольника равен $\Delta V = S\Delta h = \Delta h$, поэтому, если средняя плотность воздействия в стольнике равна $\rho_{cp}$, то $\Delta m = \rho_{cp}\Delta h$, откуда $-\Delta p(h) = g\rho_{cp}\Delta h$ и, наконец,

$$\frac{\Delta p(h)}{\Delta h} = -g\rho_{cp}.$$

Обозначим плотность воздействия на высоте $h$ через $\rho(h)$; тогда при $\Delta h$, стремящемся к 0, средняя плотность $\rho_{cp}$ стремится к $\rho(h)$, и из последнего соответствия мы получаем дифференциальное уравнение

$$p'(h) = -g\rho(h),$$

в котором, однако, функция $\rho(h)$ тоже неизвестна.

Предположим теперь, что температура воздействия одна и та же во всех слоях атмосферы. Тогда из закона Бойля — Мариотта или из уравнения газового состояния легко вывести, что давление пропорционально плотности$^*$:

$$p(h) = b\rho(h).$$

Из этого и предыдущего равенств получаем окончательное дифференциальное уравнение

$$p'(h) = -\frac{g}{b}p(h)$$

— оно снова имеет вид (1)! Применяя теорию из п. 1, находим

$$p(h) = p_0 e^{-\frac{g}{b}h},$$

где $p_0$ — атмосферное давление на уровне моря, то есть при $h = 0$.

Итак, давление убивает с высотой по показательному закону, в соответствии с полученной так называемым

$$*) pV = RT,$$

откуда $p = \frac{RT}{V} = \frac{RT}{M} \times \frac{M}{V} = b\rho$, где $b = \frac{RT}{M}$, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M$ — молярная масса газа.

ваемой барометрической формулой. Полученная нами формула «отказывает» при высотах, сравнимых по величины с радиусом Земли. И связано это не только с тем, что мы пренебрегли изменением температуры с высотой, но и с изменениемускорения свободного падения.

Отметим, что в данном случае дифференциальное уравнение описывает не физический процесс, а просто изменение одной физической величины ($p$) в зависимости от другой ($h$).

3. О гармоничских колебаниях

Остановимся теперь на втором из изучаемых в школе дифференциальных уравнений — на уравнения гармоничских колебаний

$$y'' = -\omega^2 y.$$

Как известно из школьного курса, любое решение этого уравнения записьется в виде

$$y(t) = A \cos (\omega t + \varphi),$$

где $A$ и $\varphi$ — произвольные постоянные, причем можно считать, что $A \geq 0$, $\varphi \in [0; 2\pi]$. При этих ограничениях постоянные $A$ и $\varphi$ однозначно определяются начальными условиями, которые в данном случае нужно уже два: $y(t_0) = y_0$ и $y'(t_0) = v_0$.

Заметим, что в данном случае через каждую точку $(t_0; y_0)$ координатной плоскости проходит бесконечно много графиков вида (7). Однако график определяется однозначно, если задать в данной точке еще и касательную к графику (объяснение). Связано это с тем, что уравнение (2) второго порядка, то есть в него входит вторая произвольная искомой функции.

Про величины $y$, меняющую во времени по закону (7), говорят, что она совершает гармоничские колебания с частотой $\omega$. Важно отмечить, что частота не зависит от начальных условий, а определяется только коэффициентом в исходном уравнении.

Уравнения вида (2) встречаются при описании многогрих колебательных

14

систем, причем не только механические. В учебнике рассмотрен пример колебаний шарика наружинке: если масса шарика $m$, коэффициент жесткости пружинки $k$, смешение шарика от положения равновесия $x$, то по второму закону Ньютона $mx'' = -kx$, откуда $x'' = -\omega^2 x$, где $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Разберем еще пример.

Мальные колебания матрика. Пусть шарик массы $m$ закреплен на конце $M$ невесомого стержня $OM$, подвешенного шаририно в точке $O$ так, что получается качающийся в одной плоскости матрик (рис. 4). Отклонение матрика $OM$ от положения равновесия $OM_0$ удобно изменять величиной $x$ угла $M_0OM$, взятой в радианах.

На шарик действуют две силы: направления вертикального вниз силы тяжесте $F_\tau = -mg$ и направления по радиусу $MO$ сила реакции стержня $N$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательную:

$$m(lx)'' = -mg \sin x,$$

то есть

$$x'' = -\frac{g}{l} \sin x$$

Будем рассматривать только малые колебания матрика, то есть считать величины $x$ малой. Тогда sin $x$ можно заменить на $x$ (вспомните, что

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

— «Алгебра и начала анализа 10», п. 78) и от полученного дифференциального равновесия мы приходим к равновесию гармоничских колебаний

$$x'' = -\frac{g}{l} x,$$

или $x'' = -\omega^2 x$,

где $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$.

Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия колебания матрика будет почти гармоничским, с частотой $\omega = \sqrt{g/l}$, не зависящей от массы $m$ и от начальных условий, лишь бы $x_0$ и $v_0$ были достающим малыми.

Конечно, все многообразие природных процессов и явлений не сводится только к управлением двух разновозвязных типов. Мир дифференциальных равновесий богат почти настолько же, насолько богат реальный мир. Опыт науки показывает, что использование дифференциальных равновесий в качестве математических модели очень плодотворно — конечно, если при этом не забывать об ограниченной области применения любого рода модели.

Упражнения и задачи

1. Найдите решение дифференциального равновесия $y' = -2y + 4$, удовлетворяющее начальному услованию $y(0) = 5$.

2. Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно, что через 30 дней распадается 50% этого вещества. Через сколько дней останется 1% от начального количества вещества?

3. В среду с постоянной температурой $20^\circ$ помещили тело, нагретое до $100^\circ$. Через 10 минут температура тела понизилась до $60^\circ$. Через какое время температура теластанет равной $25^\circ$?

(Указание к задачам 2 и 3. Воспользовитесь примерами 1 и 3 из п. 110 учебника.)

4. Через 12 часов после начала опыта использовательной некоторой популяции бактерии возросла в три раза. Во сколько раз увеличится число бактерии через суток?

5. Значение постоянной $b$ в барометрической формуле для общного воздействия равно $7,7 \cdot 10^4 \text{ m}^2/\text{c}^2$. На какую высоту нужно подняться для того, чтобы давление уменьшилось вдвое?

6. Лодка замедляет свое движение при действии сопротивления лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/c, а ее скорость через 4 с равна 1 м/c. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/c? Какой путь может пройти лодка до остановки?

7. Девочка качается на качелях. Максимальное отклонение от положения равновесия равно 1 м, максимальное ускорение — 4 м/c². Считая колебания гармоничским, найдите их период. Определите высоту качелей.

8. Найдите общий вид решения дифференциального равновесия $y'' = -\omega^2 y + a(\omega > 0)$ и $a$ — постоянные.