Кружочки Стёпы Мошкина

42

Д. Изаак, Т. Уткина

Кружочки
Степы Мошкина

После факультатива по математике семиклассник Степа Мошкин зашел к своему однокласснику Олегу. Тот решил воспользоваться Степным приходом.

— Дай списать геометрию, а то я ничего не понимаю.

— Думаешь, после этого ты ста-neшь понимать ее лучше? — неожиданно возразил Степа, решивший на этот раз проявить сознаательность.

— Ну как в этой геометрию разобраться? — воскликнул Олег. — Вот в алгебре, там куда ни шло, считай себе, пока ответ не получится. А в геометрии перемещений ни увидшь, ни пошулаешь, а сейчас еще кружочки какие-то, эти, как их, композиции…

— Мы на факультативе как раз разбирали композиции перемещений.

И знаешь — с ним точно, как в алгебре: считаем, считаем и ответ получаем. Так здорово! Давай расскажу!

— Зачем мне твой факультатив? Ты лучше сказал бы, как домашние задания решать.

Ребята спорили не долго: энтузизм Степы оказался сильнее Олега. Вскоре на столе появились листки для черновика, ручки и чистая двухопеечная тетрадь в клеточку. Поначалу Степа пытался подражать Марии Васильевне, но быстро сbilся на более волную речь:

— Ты понимаешь, кружокек — это вроде как в алгебре умножение, операция такая между буквами,— начал Степа.— Только буквы не числа обозначают, а перемешения. И как в алгебре, скобки все равно как ставить.

Степа написал в чистовой тетради

$$R \circ (Q \circ P) = (R \circ Q) \circ P.$$ (1)

— Это законом ассоциативности называется. А тожественное перемещение $E$, это когда все точки на месте остаются, вроде единиц们

$$P \circ E = E \circ P = P.$$ (2)

43

И у каждой перемещения $P$ образное есть, $P^{-1}$ обозначается; для него
$$P \circ P^{-1} = P^{-1} \circ P = E.$$ (3)

— Все понятно,— сказал Олег,— только вот чего ты самое простое свойство не приведел?

И Олег написал на черновике $Q \circ P = P \circ Q$.

— Э нет, это как раз для перемещения не всегда верно,— сказал Степа. В чистой терради появился такая запись с рисунком:
Пример. $S_a \circ S_b \neq S_b \circ S_a$.

В примере Олег быстро разобрался (а вы?); Степа же в чистую терради написал еще две строки:
$$P = Q \Leftrightarrow T \circ P = T \circ Q,$$
$$P = Q \Leftrightarrow P \circ T = Q \circ T,$$
снабдив их таким комментарием:
— Как в алгебре: обе части равенства можно «умножить» на одно и то же перемещение, и сокращать тоже можно. Только с одной и той же стороны. Вот так: $P \circ T = T \circ Q \Rightarrow P = Q$ делать нельзя!
— Почему? — спросил Олег, но тут же сам себе ответил.— Если $T \circ Q \neq Q \circ T$, как в примере, то тогда чепуха получается.

Затем Степа решил проверить, какие перемещения все-tаки знает Олег. Когда он выжал из Олега слова «центральная симметрия», ребята вспомнили обозначение $Z_Q$ (для симметрии с центром $Q$), и Степа написал $Z_Q \circ Z_Q = ?$ Олег, подумав немного, стер знак вопроса, и в терраде появилась такая запись:
$$Z_Q \circ Z_Q = E.$$ (5)

Тут Степа предложил более сложный вопрос: $Z_P \circ Z_Q = ?$ Когда ребята разобрались с этим в черновике, Олег аккуратно записал:
Композиция двух центральных симметрий — перенос:
$$Z_P \circ Z_Q = 2Q \vec{P}.$$ (6)

Под рисунком

Степа добавил доказательство:
$$\overrightarrow{A A}' = \overrightarrow{A Q} + \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{P A}' = \overrightarrow{Q A}' + \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{A' P} = \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{Q P} = 2Q \vec{P}.$$
Следующий вопрос Степы вы, наверное, угадали: $Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = ?$ Со Степиной подсказкой Олег решил и эту задачу; записал он результат так:
Композиция трех центральных симметрий — тоже центральная симметрия:
$$Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = Z_S,$$ (7)
эде $S$ — такая точка, что
$$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}.$$ (8)

Доказательство.
$$Z_Q \circ Z_R = Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = Z_P \circ Z_Q \circ Z_R = E \circ Z_S = Z_S.$$
— Мы с тобой так и будем под знаками = и => ставить цифрыки, чтобы не забыть, откуда у нас что получилось,— посянл Степа.

Затем Олег вспомнил, что, кроме центраной, былает и освая симметрия: $S_a$; в терраде он тут же записал:
$$S_a \circ S_a = E,$$ (9)
после чего ребята стали размышлять над вопросом $S_b \circ S_a = ?$ Вспомив факультатив, Степа предложил это сделать сначала в случае, когда $a \perp b$. В терраде всё появилась такая запись:

44

Композиция осевых симметрис с перепределениями осями — центральная симметрия:

$$S_b \circ S_a = S_a \circ S_b = Z_P,$$

если $a \perp b$ и $P = a \cap b$.

Вместо доказательства они сделали рисунок.

А для случая $a \parallel b$ ребята написали:

Композиция двух осевых симметрис с параллельными осями — параллельный перенос:

$$S_b \circ S_a = 2AB,$$

если $a \parallel b$, $A \in a$, $B \in b$, $(AB) \perp a$.

Доказательство. $S_b \circ S_a$ $\overset{(2)}{=} S_b \circ \circ (E \circ S_a)$ $\overset{(9)}{=} S_b \circ ((S_c \circ S_c) \circ S_a)$ $\overset{(1)}{=} (S_b \circ \circ S_c) \circ (S_c \circ S_a)$ $\overset{(10)}{=} Z_B \circ Z_A$ $\overset{(6)}{=} 2AB$, где $(AB) = c$.

Вот видшь, — торжествовал Степа, — считаем, считаем, ответ получаем! А наши ответы — равенства — тем хороши, что их можно в обе стороны читать. Вот последнее, например, можно прочитать так:

Всякий параллельный перенос можно представить в виде композиции двух осевых симметрис, оси которых перепределкины направленную переноса и отсутств друг от друга на половину его длины.

Ребята вернулись к задаче “$S_b \circ S_a = ?$” в общем случае, когда $a$ пересекает $b$. Появились новые записы, а вместо доказательства — рисунок:

Композиция двух осевых симметрис с пересекающим осями — поворот:

$$S_b \circ S_a = R_P^{2\alpha},$$

эде $P = a \cap b$ и $a - \text{yeol}^*$ между $a$ и $b$.

Степа объявил, что и это соответствие можно «прочитать в другой стороны»: поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрис, оси которых пересекаются в центре поворота и уелем между которых равен половине уелела поворота.

Затем ребята заняли поворот $(R_P^\alpha)$; в тердаке появились следующие записи:

$$R_P^\alpha \circ R_P^{-\alpha} = E,$$

$$R_P^\alpha \circ R_P^\beta = R_P^{\alpha + \beta}.$$

Композиция двух поворотов — поворот:

$$R_Q^\beta \circ R_P^\alpha = R_T^{\alpha + \beta},$$

если** $T$ — точка пересечения прямых $c = R_P^{\alpha/2}(a)$ и $b = R_Q^{\beta/2}(c)$, еде $c = (PQ)$.

Доказательство. $R_Q^\beta \circ R_P^\alpha$ $\overset{(1,2)}{=} (S_b \circ S_c) \circ (S_c \circ S_a)$ $\overset{(1)}{=} S_b \circ (S_c \circ S_c) \circ S_a$ $\overset{(9)}{=} S_b \circ S_a = R_T^{2(\alpha/2 + \beta/2)} = R_T^{\alpha + \beta}$.

*) Ребята забили написать, что берется наименьший угол между $a$ и $b$.

**) Ребята забили потребовать $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 2\pi$.