Có chuyện gì vậy?

17

Mật độ không khí ở phía dưới gió sao cho ở áp suất không khí $p_1$ áp suất hơi nước là $p$. Với khối lượng $M$ của không khí chiếm thể tích $V_1$ thì có khối lượng $\Delta m$ của hơi nước. Theo phương trình trạng thái

$$pV_1 = \frac{\Delta m}{\mu_0}RT_1, \quad p_1V_1 = \frac{M}{\mu}RT_1$$

($\mu_0$ là khối lượng mol của nước), từ đâu

$$\Delta m = M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1}.$$

Vì vậy, $Q = \lambda M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1}$.

(Trong các cuộc thảo luận trước đây của chúng ta, chúng ta đã giả định rằng toàn bộ khối lượng $M$ của không khí từ thể tích $V_1$ đi qua sườn núi, nghĩa là chúng ta đã bỏ qua sự thay đổi về khối lượng do lượng mưa. Biểu thức thu được cho $\Delta m$ cho thấy phương trình như vậy là hợp lệ: $\mu_0 = 18$ g/mol, $\mu = 29$ g/mol và $p \ll p_1$ (ví dụ: nếu độ ẩm không khí là 50% thì ở nhiệt độ $18^\circ\text{C}$ và áp suất $p_1 = 10^5$ Pa, áp suất hơi nước là $p \approx 0.01 \cdot 10^5$ Pa), do đó $\Delta m/M \ll 1$).

Bây giờ chúng ta viết biểu thức (*) ở dạng cuối cùng:

$$\lambda M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1} = \frac{5}{2} \frac{M}{\mu} R(T_2-T_1) + \frac{M}{\mu} R(T_2-T_1) \Rightarrow \lambda \mu_0 \frac{p}{p_1} = \frac{7}{2} R(T_2-T_1).$$

Từ đây chúng ta tìm thấy biểu thức cho sự chênh lệch nhiệt độ:

$$T_2-T_1 = \frac{2}{7} \frac{\lambda \mu_0 p}{Rp_1}.$$

Thay $p_1 = 10^5$ Pa, $p = 0.01 \times 10^5$ Pa, $\lambda = 2.5 \cdot 10^6$ J/kg, $R = 8.3 \cdot 10^3$ J/(kmol·deg), $\mu_0 = 18$ kg/kmol, ta được $T_2-T_1 \approx 15$ độ!. Đây là sự chênh lệch nhiệt độ giữa phía khuất gió và phía đón gió của núi.

Cư dân vùng núi và những người leo núi xác nhận tính đúng đắn của đánh giá này.

Có chuyện gì vậy?

Ở một số trường, ở một số lớp, họ quyết định bài toán: tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà nó có lời giải; thì các số thực còn lại sẽ là đáp số bài toán. Nhưng đây sẽ là một vấn đề dài dòng và mọi người đều được xử lý khi Fedya Krestikov đề xuất đồ họa lời giải: “Hàm $\sqrt{x-5}$ là một parabol. Biểu thức $a-x$ chỉ định các họ hàm tuyến tính. Có thể thấy (xem hình) rằng các đường thẳng của họ này cắt parabol $\sqrt{x-5}$ khi và chỉ nếu $a \geq 5$. Vì vậy, đáp số trong bài toán: $a < 5$”.

Mọi người đều vui mừng, nhưng sau đó giọng nói của Vasya Nulikov vang lên: “Nhưng bài toán là bằng miệng!” Anh ta được yêu cầu thực hiện, và Vasya đã nói thế này: “Từ vế trái của phương trình (1), rõ ràng là nếu nó có lời giải thì $x \geq 5$. Từ vế phải chúng ta có thể thấy rằng nếu $a-x \geq 0$ hoặc $a \geq x$. Điều này có nghĩa là nếu phương trình (1) có lời giải thì $a \geq 5$. Trong lớp toán, chúng ta được dạy rằng định lý “Nếu $A$ thì $B$” bằng định lý “Nếu $B$ không đúng thì $A$ không đúng”*. Điều này có nghĩa là nếu $a < 5$ thì phương trình (1) không có lời giải Và đây là đáp số.

*) Nếu bạn chưa được thông báo điều này, bạn đọc hãy cố gắng tự mình chứng minh điều đó. Bạn cũng có thể đọc điều này trong «Kvant», 1975, số 2, tr. 25.

Đây là nơi mà biểu đồ không thể giúp đỡ. Và đây là những gì đã xảy ra. Lúc đầu, mọi thứ diễn ra tương tự như trong phương trình ngày hôm qua: $x \geq 5$, $a \geq x$, có nghĩa là $a \geq 5$; do đó, đối với $a < 5$, phương trình (2) không có lời giải. Và ngay khi tôi xử lý nó, tôi nhận thấy rằng với $a = 5$ nó cũng không có lời giải*). Giá trị tham số này bị mất ở đâu với phương pháp của Vasya? Anh nói rồi ngồi xuống.

Và chúng tôi bắt đầu suy nghĩ: nếu Vasya đúng, vậy còn ví dụ của Krestikov thì sao? Và nếu anh ấy sai thì tại sao anh ấy lại nhận được đáp số đúng?>

Có chuyện gì vậy?

*) Hãy cho tôi biết lý do tại sao.