Cảm ứng điện từ

36

L. Aslamazov

Cảm ứng điện từ

EMF cảm ứng trong dây dẫn chuyển động

Khi một dây dẫn chuyển động trong từ trường thì trong dây dẫn xuất hiện một suất điện động cảm ứng

$$\mathcal{E}_i = |\vec{B}|l|\vec{v}| \sin \alpha,$$

(1)

trong đó $\vec{B}$ là cảm ứng từ trường, $l$ là chiều dài của dây dẫn, $\vec{v}$ là tốc độ của nó, $\alpha$ là góc giữa hướng chuyển động của dây dẫn và từ trường*). Trong trường hợp dây dẫn hở, hiệu điện thế xuất hiện ở hai đầu dây bằng suất điện động cảm ứng. Khi dây dẫn bị chập mạch ra mạch ngoài sẽ xuất hiện dòng điện cảm ứng.

Nhiệm vụ 1. Một thanh kim loại có tốc độ không đổi $\vec{v}$ dọc theo đường ray dẫn điện trong từ trường có cảm ứng $\vec{B}$ vuông góc với mặt phẳng của đường ray (Hình 1). Các đầu của đường ray được nối với một dây dẫn có điện trở $R$ và một tụ điện $C$. Giả sử điện trở của đường ray và thanh không đáng kể, hãy tìm dòng điện trong dây dẫn và điện tích trên tụ điện. Khoảng cách giữa các ray $l$.

Do thanh chuyển động, dây dẫn và tụ điện được mắc song song nên cảm ứng EMF lớn

$$\mathcal{E}_i = |\vec{B}| \Delta r |\vec{v}_r| = |\vec{B}| \Delta r \omega r.$$

Tổng lực điện cảm ứng sinh ra trong thanh là

$$\mathcal{E}_i = \int_0^l |\vec{B}| \omega r \, dr = \frac{|\vec{B}| \omega l^2}{2}.$$

Vì có thể bỏ qua điện trở của bóng đèn nên dòng điện

37

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

mạch của bài toán đang xét được giảm xuống còn hai nguồn có lực điện động $\mathcal{E}_1 = |\vec{B}| \omega_1 l^2/2$ và $\mathcal{E}_2 = |\vec{B}| \omega_2 l^2/2$ và các điện trở trong giống hệt nhau $R$. Các nguồn được mắc song song khi các thanh quay theo một hướng (Hình 4, a) và mắc nối tiếp khi quay theo các hướng khác nhau (Hình 4, b). Do đó, trong trường hợp đầu tiên, dòng điện trong các thanh bằng

$$I_a = \frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2}{2R} = \frac{|\vec{B}| l^2}{4R} (\omega_1 - \omega_2),$$

và trong lần thứ hai -

$$I_6 = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{2R} = \frac{|\vec{B}| l^2}{4R} (\omega_1 + \omega_2).$$

Hiệu điện thế ở hai đầu thanh là như nhau. Ví dụ, đối với thanh thứ nhất, hiệu điện thế ở hai đầu của nó bằng hiệu giữa suất điện động cảm ứng và điện áp rơi trên điện trở $R$:

$$U_a = \mathcal{E}_1 - I_a R = |\vec{B}| l^2 (\omega_1 + \omega_2)/4,$$

$$U_6 = \mathcal{E}_1 - I_6 R = |\vec{B}| l^2 (\omega_1 - \omega_2)/4.$$

Lưu ý rằng khi các thanh quay với cùng vận tốc góc theo một hướng, dòng điện trong các thanh bằng 0 (như khi mắc song song các nguồn giống hệt nhau), và khi quay theo các hướng khác nhau, hiệu điện thế ở hai đầu của các thanh bằng 0 (như khi mắc nối tiếp các nguồn giống hệt nhau).

Thay đổi từ thông và lực điện động cảm ứng

Emf cảm ứng không chỉ xảy ra khi một dây dẫn chuyển động trong từ trường mà còn xảy ra khi cường độ của từ thông qua một bề mặt được giới hạn bởi mạch dẫn thay đổi. Trong trường hợp này, theo định luật Farad, một suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch điện

$$\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}.$$

Ở đây $\Phi = |\vec{B}| S \cos \alpha$ là từ thông ($\vec{B}$ là cảm ứng từ trường, $S$ là diện tích bề mặt được bao phủ bởi mạch, $\alpha$ là góc giữa cảm ứng và pháp tuyến với bề mặt), $\frac{d\Phi}{dt}$ là tốc độ thay đổi của từ thông. Dấu “trừ” biểu thị dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mạch làm thay đổi từ thông.

Các lý do vật lý dẫn đến sự xuất hiện của lực điện động cảm ứng khi một dây dẫn chuyển động và khi từ thông thay đổi là khác nhau. Tuy nhiên, công thức (2) cũng có thể được sử dụng để tìm EMF được tạo ra trong mạch do chuyển động của dây dẫn trong từ trường. (Ví dụ: bạn có thể xác minh điều này bằng cách quay lại bài toán 1. Hãy tự thực hiện.)

Bài toán 3. Cuộn dây nằm trong từ trường song song với trục của cuộn dây. Khi bật từ trường trong thời gian $\Delta t_1$, một lực điện động cảm ứng xuất hiện trong cuộn dây

38

tks $\mathcal{E}_1$. Lực điện động cảm ứng nào sẽ sinh ra trong cuộn dây khi trục của nó quay một góc $\alpha$ trong thời gian $\Delta t_2$?

Khi tắt từ trường, độ biến thiên của từ thông qua mỗi vòng dây, lấy dấu ngược lại, bằng

$$-\Delta \Phi_1 = |\vec{B}| S,$$

trong đó $|\vec{B}|$ là giá trị tuyệt đối của cảm ứng từ trường ban đầu và $S$ là diện tích mặt cắt ngang của cuộn dây (giá trị cuối cùng của cảm ứng bằng 0). Theo định luật Faraday (2), lực điện động cảm ứng sẽ xuất hiện trong cuộn dây

$$\mathcal{E}_1 = n \frac{|\vec{B}| S}{\Delta t_1},$$

trong đó $n$ là số vòng dây của cuộn dây. Từ đây

$$n |\vec{B}| S = \mathcal{E}_1 \Delta t_1.$$

Khi cuộn dây quay, từ thông thay đổi do sự thay đổi góc giữa pháp tuyến với các mặt phẳng của vòng dây, hướng dọc theo trục cuộn dây và vectơ cảm ứng từ trường (Hình 5). Luồng ban đầu là $\Phi_{\text{нач}} = |\vec{B}| S$ và sau khi quay một góc $\alpha$ $\Phi_{\text{кон}} = |\vec{B}| S \cos \alpha$. Đó là lý do tại sao

$$-\Delta \Phi_2 = |\vec{B}| S (1 - \cos \alpha)$$

và suất điện động cảm ứng xuất hiện trong cuộn dây bằng

$$\mathcal{E}_2 = n |\vec{B}| S (1 - \cos \alpha).$$

Thay thế giá trị của $n |\vec{B}| S$ vào công thức cuối cùng, chúng ta thu được

$$\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 \frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} (1 - \cos \alpha).$$

Bài toán 4. Một khung dẫn phẳng nằm trong từ trường có cảm ứng $\vec{B}$ vuông góc với mặt phẳng của nó. Khung là hình vuông ở cạnh $a$. Khi đó nó là: a) được bố trí dưới dạng hình chữ nhật có tỷ lệ khung hình là 1:2; b) bê trong một dòng; c) sẽ thừa hai hình vuông có tỷ lệ diện tích là 1:4 (Hình 6). Tìm những bộ ngực chảy qua khung với mỗi lần thay đổi hình dạng của nó. Điện trở khung $R$.

39

và một điện tích chạy qua khung
$$Q_a = \frac{|\vec{B}| |\Delta S_a|}{R} = \frac{|\vec{B}| a^2}{9 R}.$$

Trong trường hợp b) diện tích cuối cùng bằng 0, vì vậy
$$\Delta S_6 = -a^2$$

Và
$$Q_6 = \frac{|\vec{B}| |\Delta S_6|}{R} = \frac{|\vec{B}| a^2}{R}.$$

Trong trường hợp c), các khung được uốn cong sao cho hướng pháp tuyến của một trong các hình vuông ngược với hướng ban đầu. Do đó, tổng dòng cảm ứng từ trong trường hợp này bằng với hiệu của từ thông qua các ô vuông riêng lẻ:
$$\Phi_{\text{КОН}} = |\vec{B}| (S_1 - S_2),$$
trong đó $S_1 = (2/3a)^2 = 4/9a^2$ và $S_2 = S_1/4 = a^2/9$ là diện tích của các hình vuông lớn hơn và nhỏ hơn. Sau đó
$$\Delta S_B = \left( \frac{4}{9} a^2 - \frac{a^2}{9} \right) - a^2 = -\frac{2}{3} a^2$$

và một điện tích chạy qua khung
$$Q_B = \frac{|\vec{B}| |\Delta S_B|}{R} = \frac{2 |\vec{B}| a^2}{3 R}.$$

Điện trường xoáy và công dụng của nó

Nguyên nhân xuất hiện dòng điện cảm ứng trong mạch điện đặt trong từ trường xoay chiều là do điện trường xoáy xuất hiện trong không gian khi từ trường thay đổi. Trường này làm cho các electron chuyển động trong mạch dẫn điện. Không giống như trường tĩnh điện, công thực hiện khi di chuyển một điện tích dọc theo một mạch kín ở đây không bằng 0: nó bằng $\beta_i$ nhân với độ lớn của điện tích chuyển động.

Nhiệm vụ 5. Trong buồng máy gia tốc, một chùm electron mỏng phân bố đều dọc theo quỹ đạo chuyển động dọc theo một đường tròn có bán kính không đổi $R$. Từ thông qua mặt phẳng được chùm tia bao phủ tăng tuyến tính theo thời gian: $\Phi = \alpha t$. Tại một thời điểm nào đó, cường độ dòng điện trong buồng tăng tốc và bằng $I_0$. Dòng điện $I$ sẽ là bao nhiêu sau khi các hạt thực hiện một vòng quay?

Độ lớn của dòng điện $I$ trong buồng được xác định bởi điện tích đi qua tiết diện trong một đơn vị thời gian. Nếu tốc độ tuyến tính của electron là $v$ thì theo thời gian $t = 2\pi R/v$ tất cả $n$ electron đi qua tiết diện đã chọn. Поэтому ток
$$I = \frac{ne}{t} = \frac{nev}{2\pi R}.$$

Giá trị ban đầu của dòng điện cho phép chúng ta tìm tốc độ ban đầu của electron:
$$v_0 = \frac{2\pi R I_0}{ne}.$$

Từ trường xoay chiều tạo ra điện trường xoáy, làm tăng tốc các electron. Trong một vòng quay của electron, điện trường hoạt động
$$A = e |\beta_i| = e \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = e\alpha.$$
Công này làm thay đổi động năng của electron:
$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = e\alpha.$$
Từ đây chúng ta tìm được tốc độ cuối cùng của electron:
$$v = \sqrt{\frac{2e\alpha}{m} + v_0^2} = \sqrt{\frac{2e\alpha}{m} + \frac{4\pi^2 R^2 I_0^2}{n^2 e^2}}$$

EDS samonidukini

Sự thay đổi từ thông qua một mặt phẳng được bao phủ bởi một vòng dây có thể xảy ra do sự thay đổi dòng điện trong chính vòng dây đó. Trong trường hợp này, mạch điện cũng chứa một suất điện động, được gọi là EMF của samonidukini, và bản thân hiện tượng này được gọi là samonidukiya. Mối quan hệ giữa từ thông $\Phi$ và giá trị hiện tại $I$ được xác định theo công thức
$$\Phi = LI,$$
trong đó $L$ là độ tự cảm của mạch. Sau đó

40

đúng, theo định luật Faraday (2), suất điện động tự cảm ứng bằng

$$\mathcal{E}_{is} = -L \frac{dI}{dt}.$$

Bài toán 6. Thanh trượt với tốc độ không đổi $\vec{v}$ dọc theo các đường ray nằm trong từ trường có cảm ứng $\vec{B}$, vuông góc với mặt phẳng của đường ray (Hình 7). Các đầu của đường ray được đóng lại bằng một nút điện từ có độ tự cảm $L$. Cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây là bao nhiêu? Điện trở của cuộn dây, đường ray và thanh truyền không đáng kể. Khoảng cách giữa các ray $l$.

Vì không có hiện tượng sụt áp trên nút điện từ, đường ray và thanh nên tổng lực điện động cảm ứng sinh ra trong thanh chuyển động và sức điện động tự cảm sinh ra trong nút điện từ do sự thay đổi dòng điện trong nó bằng 0:

$$\mathcal{E}_i + \mathcal{E}_{is} = 0.$$

Đây $\mathcal{E}_i = |\vec{B}|l|\vec{v}|$ và $\mathcal{E}_{is} = -L \frac{dI}{dt}$.

Vì suất điện động cảm ứng không phụ thuộc vào thời gian (thanh chuyển động đều) nên suất điện động tự cảm ứng cũng phải không đổi. Do đó, tốc độ thay đổi dòng điện trong nút điện từ là không đổi và bằng

$$\frac{dI}{dt} = \frac{|\vec{B}|l|\vec{v}|}{L},$$

và dòng điện trong nút điện từ thay đổi tuyến tính theo thời gian

$$I = \frac{|\vec{B}|l|\vec{v}|}{L} t.$$

Bài toán 7. Một nút điện từ có độ tự cảm $L$ được kết nối thông qua các công tắc $K$ với nguồn có EMF không đổi ($\text{рис. 8}$). Công suất điện từ tiêu thụ từ nguồn ở tần số chuyển mạch công tắc $v$ là bao nhiêu?

Bỏ qua điện trở của dây dẫn, dây nguồn và dây nguồn. Hãy coi như chìa khóa bị tắt trong một thời gian rất ngắn.

Khi phím được đóng, một dòng điện xuất hiện trong nút điện từ, dòng điện này tăng tuyến tính theo thời gian: $I = \mathcal{E}_t/t/L$ (xem lời giải của bài toán trước đó). Trong thời gian $T = 1/v$ dòng điện tăng lên $I_{\max} = \mathcal{E}_T/L$. Khi công tắc mở, dòng điện giảm về 0 trong thời gian rất ngắn (nhỏ hơn nhiều so với $T$). Đồ thị dòng điện theo thời gian được thể hiện trên Hình 9.

Khi dòng điện $I$ tăng, trong thời gian $\Delta t$ điện tích $\Delta Q = I \Delta t$ đi qua mạch điện và trong khoảng thời gian $T$ điện tích di chuyển

$$Q = \int_0^T I dt = \int_0^T \frac{\mathcal{E}_t}{L} dt = \frac{\mathcal{E}_T^2}{2L} = \frac{\mathcal{E}_2}{2Lv^2}$$

(điện tích này về mặt số lượng bằng diện tích của hình được bảo vệ trong Hình 9). Trong trường hợp này, nguồn hoạt động

$$A = Q \mathcal{E} = \frac{\mathcal{E}_2}{2Lv^2}.$$

Vì vậy, điện năng tiêu thụ

41

nct bằng nhau
$$P = \frac{A}{T} = Av = \frac{\varepsilon^2}{2Lv}.$$
Bài tập

1. Thanh kim loại di chuyển với tốc độ không đổi $\vec{v}$ dọc theo đường ray, các đầu của đường ray được đóng với dây dẫn bằng điện trở $R_1$ và $R_2$ (Hình 10). Các đường ray nằm trong từ trường có cảm ứng $B$, vuông góc với mặt phẳng của đường ray. Khoảng cách giữa các ray $l$. Dòng điện chạy qua thanh là bao nhiêu nếu điện trở của nó và điện trở của đường ray không đáng kể? Cần phải tạo ra bao nhiêu lực để di chuyển thanh với tốc độ không đổi?
2. Dòng điện trong một khung kim loại quay trong từ trường không đổi có cảm ứng vuông góc với trục quay sẽ thay đổi như thế nào khi tốc độ quay tăng gấp đôi?
3. Hình vuông dây từ cạnh $a$ di chuyển với tốc độ $\vec{v}$ vào từ trường của một nam châm vĩnh cửu có cảm ứng $B$, vuông góc với mặt phẳng của hình vuông (Hình 11). Dòng điện chạy qua dây dẫn là bao nhiêu nếu điện trở của hình vuông là $R$? Theo định luật nào thì dòng điện sẽ thay đổi theo thời gian nếu hình vuông chuyển động với gia tốc không đổi? Bỏ qua độ tự cảm của khung dây.
4. Vòng chất siêu dẫn mà dòng điện chạy qua được uốn cong thành hình số 8, sau đó uốn cong làm đôi. Dòng điện trong vòng sẽ thay đổi như thế nào?
5. Một nam châm vĩnh cửu được đưa vào một cuộn dây bị ngắn mạch: một lần nhanh và một lần chậm. Liệu điện tích tương tự có được đọc trên cuộn dây trong mỗi trường hợp không? Lượng nhiệt sinh ra trong cuộn dây có giống nhau không?
6. Chứng tỏ rằng độ tự cảm của cuộn dây một lớp tỉ lệ thuận với thời gian. Bản chất của sự phụ thuộc của dòng điện vào thời gian trong một cuộn dây khác, nối cảm ứng với cuộn dây thứ nhất và đóng kín với một điện trở không đổi là gì?
7. Công tắc ở bài toán 7 trong bài viết có thể được chuyển đổi ở tần số tối thiểu nào nếu biết rằng cuộn dây điện từ có thể chịu được dòng điện tối đa $I_0$?

(Để bắt đầu, xem trang 28)

82; B. Goldfarb (Moscow) 74; V. Gorbunov (Kommunarsk) 79, 80, 82-84, 86, 87; S. Gorodko (Dnepropetrovsk) 74, 76, 78, 79; A. Grizoreko (Makeeva, vùng Donetsk) 79, 80, 82—84, 87; I. Gruzbere (Perm) 74, 76, 78-80, 84; I. Gubin (Yerevan) 75, 76, 80, 82; A. Gullev (Moscow) 78, 80, 82, 84; M. Gundilovich (Gorodeya) 82; L. Guralnik (Zhitomir) 76, 82; A. Davoyan (Leninakan) 78, 82; M. Danilin (Novoanninsky) 75, 76, 78; I. Danilovsky (Gorky) 78-80, 82, 84; V. Dvortsova (Lipetsk) 84; I. Derebas (Magnitogorsk) 74; S. Dovbysh (Moscow) 74, 76; A. Dolinin (Vladimir) 76; A. Dremin (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 78, 80, 82; Yu. Eliseev (Velikiye Luki) 80, 82; I. Elishevich (Chernigov) 75, 76, 79, 80, 82; E. Zheltsovskaya (Moscow) 74—76, 83, 84, 87; I. Zhitenev (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 74, 76, 78-80, 82-84; V. Zhordichkin (Orsk) 80, 82, 84; A. Zanevsky (Lenin-grad) 78-80, 82; A. Zakharyan (Chernigov) 75, 76; M. Zeifman (Vologda) 74, 76, 78-80, 82-84; I. Zilberbere (Alma-Ata) 80, 82-84; S. Zinevsky (làng Khoroshoe, vùng Ocherigov) 84; A. Zolotykh (Kursk) 82; V. Zubko (Ivano-Frankivsk) 79, 80, 82; I. Ivanov (Saratov) 75, 76, 78-80, 82-84, 87; V. Ivakhenenko (Kyiv) 83; V. Izerenin (Novosibirsk) 78, 84; V. Izrailit (Dnepropetrovsk) 75, 80, 82, 84; A. Izralits (Tbilisi) 75; O. Isupova (Orenburg) 76; A. Kanel (Moscow) 74-76; V. Katin (Zhitomir) 75, 76, 78, 79, 82-84, 86, 87; E. Kafarov (Baku) 80; A. Klink (Kovrov) 76, 82; E. Kozan (Dnepropetrovsk) 75, 76, 78-80, 82-84, 86; A. Kozhevnikov (Dnepropetrovsk) 76, 78—80, 82; G. Kozhoridze (Telvi) 82-84, 86; V. Kozlovsky (Novolukoml) 75, 76, 78-80, 82, 84, 86, 87; A. Koldorkin (Kuibyev) 74-76; G. Kolomotsez (Sumgant) 74-76, 78-80, 82-84, 87; V. Komov (Alexandrov) 74-76, 78-80, 82-84, 87; V. Konshin (Rostov-on-Don) 84; V. Korobov (Kirovograd) 74, 76, 80, 83, 84; G. Korotkov

(Cuối cùng xem trang 56)