Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin

44

chỉ chứa một điểm. Tìm điểm này.

13. Hình này được giới hạn bởi đồ thị của hàm $y = \sqrt{x}$, đường thẳng $y = 2$ và trục y. Tại điểm nào trên đồ thị của hàm số này, tiếp tuyến của hàm số này phải được kiểm tra sao cho nó cắt tam giác có diện tích lớn nhất khỏi hình đã cho?

14. Điểm $(x; y; z)$ nằm trên mặt phẳng $x + y + z = 6$. Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 \geq 12$.

15. Chứng minh rằng với một số tự nhiên tùy ý $n$ đẳng thức

$$\left(1 - \frac{4}{1}\right)\left(1 - \frac{4}{9}\right)\left(1 - \frac{4}{25}\right) \dots$$

$$\dots \left(1 - \frac{4}{(2n-1)^2}\right) = \frac{1+2n}{1-2n}.$$

16. Trong tam giác $ABC$ vẽ đường trung tuyến $CM$. Lấy $l$ song song với $(CM)$ cắt $(BC)$, $(CA)$ và $(AB)$ lần lượt tại các điểm $A_1, B_1$ và $C_1$. Chứng minh rằng $A_1C_1 + B_1C_1 = CA + CB$.

17. Đường tròn $K_1$ tiếp tuyến nội bộ với đường tròn $K_2$ tại điểm $A$, $[BC]$ là dây cung của đường tròn $K_2$ tiếp xúc với đường tròn $K_1$ tại điểm $D$. Chứng minh rằng $BAD = DAC$.

18. Trong một tam giác vuông, $ABC$ [BD] là chiều cao giảm từ đỉnh của góc vuông đến cạnh huyền $AC$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{|BD|^2} = \frac{1}{|AB|^2} + \frac{1}{|BC|^2}.$$

19. Chứng minh rằng trong một tam giác tùy ý

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c},$$

trong đó $h_a, h_b, h_c$ là độ dài các đường cao của tam giác, $r$ là bán kính của hình tròn đã vẽ.

N. Perestok, M. Yadrenko

Đại học bang Rostov

(Khoa Cơ và Toán)

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1

(khoa toán học)

1. Tìm chiều cao của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp một hình nón có chiều cao $H$ và bán kính đáy $R$.

2. Giải phương trình

$$\log \frac{1}{3}\left(2\left(\frac{1}{2}\right)^x-1\right) = \log \frac{1}{3}\left(\left(\frac{1}{4}\right)^x-4\right).$$

3. Giải phương trình

$$\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = \frac{3}{2}.$$

Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1

(khoa toán học)

Giải bất kỳ năm câu nào sau đây bài toán:

1. Tìm diện tích của hình nằm giữa các dòng $y = -x^2 + 6x - 2$ và $y = x^2 - 2x + 4$.

2. Giải phương trình

$$\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x} = 0.$$

3. Giải phương trình

$$\log_{0,1}\left(x^2+x-2\right) > \log_{0,1}(x+3).$$