Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

45

4. Trong hình bình hành $ABCD$ tọa độ của các đỉnh $A$ (3; 1; 2), $B$ (0; -1; -1), $C$ (-1; -1; 0) đã biết. Tìm độ dài đường chéo $BD$.

5. Trong một tham số tứ giác đều $SABCD$, độ dài cạnh đáy là $a$, độ dài chiều cao là $h$, $M$ là giao điểm của các đường trung tuyến của mặt $BSC$. Tìm góc nghiêng của đường thẳng $AM$ với mặt phẳng đáy của paramid.

6. Chúng ta hãy sử dụng ma trận để tạo một bảng có dạng $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$, trong đó $a, b, c, d$ là các số thực. Nếu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} l & m \\ n & p \end{pmatrix}$ thì $A = B$ có nghĩa là $a = l$, $b = m$, $c = n$, $d = p$. Tích của $A \cdot B$ bởi ma trận $A$ và $B$ là ma trận
   $$\begin{pmatrix} a+bn & am+bp \\ cl+dn & cm+dp \end{pmatrix}.$$
   a) Tìm tích của ma trận $(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})$ và $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})$.

6. “Tìm ma trận $X$ sao cho $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) \times X = (\begin{matrix} 4 & 7 \\ 7 & 11 \end{matrix})$.

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Một số lượng vé xem kịch và một số vé xem phim nhất định đã được mua. Đối với vé xem phim họ trả 24 rúp, đối với vé xem phim - 14 rúp. Mỗi vé xem phim trị giá 1 rub. rẻ hơn vé xem kịch. Hỏi có bao nhiêu vé xem phim được mua nếu số vé xem phim ít hơn 2 vé?

2. Vẽ đồ thị hàm số
   $$y = \frac{x^4}{4} - 2x^2.$$

3. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường $y = x$, $y = -x^2 + 4x$.

4. Cạnh đáy của một paramid tứ giác đều là $a$. Vì góc đỉnh là $a$, hãy tìm thể tích của paramid và diện tích bề mặt bên của nó.

5. Giải phương trình
   $$\sin x = 1 + \cos x.$$

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp
(Khoa Vật lý)

1. Vào giây cuối cùng của quá trình rơi tự do, cơ thể đã đi được một nửa quãng đường. Vật rơi từ độ cao nào và trong bao lâu?

2. Một người đứng trên mép của một bệ hình tròn nằm ngang có bán kính $R = 4$ m, bệ này quay quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của bệ. Sàn phải quay với tốc độ góc bằng bao nhiêu để một người không thể đứng trên đó? Hệ số ma sát $\mu = 0,2$.

3. Một đoàn tàu có khối lượng $m = 1000$ t dừng lại $t = 100$ s khi phanh gấp với sức mạnh $|\vec{a}| = 0,2$ m/$c^2$. Bao nhiêu Tellote đã được giải phóng trong quá trình phanh?

4. Ở trạng thái nhiệt hóa, hỗn hợp nước nặng $m_1 = 200$ g và nước đá nặng $m_2 = 40$ g ở nhiệt độ $t_1 = t_2 = 0^\circ C$. Hơi nước nặng $m_3 = 10$ g ở nhiệt độ $t_3 = 100^\circ C$ được đưa vào bình. Xác định nhiệt độ sau khi cân bằng ấm được thiết lập. Nhiệt độ riêng của nước $r = 2,3 \cdot 10^6$ J/kg, nhiệt độ riêng của nước đá $\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ J/kg, nhiệt độ riêng của nước $c = 4200$ J/(kg K).

5. Khi bắn thẳng đứng lên trên, viên đạn chì trúng một vật thể không đàn hồi và tan chảy. Vụ va chạm này sẽ xảy ra ở độ cao nào nếu tốc độ ban đầu của viên đạn là $|\vec{v}_0| = 400$ m/s? Giả sử rằng 50% nhiệt lượng tỏa ra đã bị nóng chảy. Nhiệt độ riêng của chì $\lambda = 2,5 \cdot 10^4$ J/kg.

6. Một chất khí phải được nung nóng nhanh đến nhiệt độ nào để khối lượng riêng của nó giảm đi một nửa so với khối lượng riêng ở nhiệt độ ban đầu $t_0 = 0^\circ C$?

7. Hai điện tích chính xác $q_1 = 6,6 \cdot 10^{-9}$ Kl và $q_2 = 1,32 \cdot 10^{-8}$ Kl cách nhau $r = 40$ cm. Phải thực hiện bao nhiêu công để liếm chúng đến khoảng cách $r_1 = 25$ cm?

8. Một số mạch có điện trở $R = 200$ Ohm được cấp nguồn bằng nguồn điện áp không đổi. Để thay đổi cường độ dòng điện, một ampe kế có điện trở trong $r = 1$ Ohm được kết nối với mục tiêu. Cường độ hiện tại ở mục tiêu trước khi bật ampe kế là bao nhiêu, nếu ampe kế hiển thị dòng điện $I = 5$ A?

9. Hướng $U = 220$B gồm ba bóng đèn giống hệt nhau: hai bóng đèn song song và bóng thứ ba mắc nối tiếp. Vẽ sơ đồ và xác định hiệu điện thế trên mỗi đèn. Cái nào tạo ra sức mạnh mạnh nhất?

10. Dòng điện chạy trong mạch điện sôi bằng bao nhiêu nếu $V = 10$ lít nước được đun nóng từ $t_1 = 20^\circ C$ lên $t_2 = 100^\circ C$ trong vòng $t = 30$ phút? Hiệu suất sôi $\eta = 75\%$, điện áp mạng $U = 220$ V. Nhiệt dung riêng của nước $c = 4200$ J/(kg K).

A. Berezman, K. Duntsiev, O. Ovchinnikov

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen Toán học

Bài thi viết
(khoa toán học)
Tùy chọn 1

1. Tìm giá trị của một biểu thức
   $$\left( \frac{(x^2 + a^2)^{-1/2} + (x^2 - a^2)^{-1/2}}{(x^2 - a^2)^{-1/2}} \right)^{-2}$$

46

tại $x = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right)^{1/2}, a > 0, m > 0, n > 0, m > n$.

2. Giải phương trình
   $$\log_6 \sqrt{x-2} + \frac{1}{2} \log_6 (x-11) = 1.$$

3. Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
   $$y = 2^x; y = 2; x = -1.$$

4. Tìm cực trị của hàm số
   $$y = x + \sin 2x.$$

5. Cơ sở của tham số là một tam giác cân bằng có góc $\alpha$ ở đỉnh, tất cả các mặt bên của tham số nghiêng với đáy một góc $\phi$. Thể tích của quả bóng ghi trong tham số bằng $V$. Tìm thông số âm lượng.

Tùy chọn 2

1. Đơn giản hóa
   $$\cos 0 + \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}.$$

2. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} 2(\log_y x + \log_x y) = 5, \\ xy = 8. \end{cases}$$

3. Giải phương trình
   $$2^{2x-3} = 4^{x^2-3x-1}$$

4. Viết phương trình tiếp tuyến ngang của đồ thị hàm số $y = e^x + e^{-x}$.

5. Đáy của hình bình hành bên phải là hình thoi có đường chéo nhỏ hơn bằng $d$ và góc nhọn của nó bằng $\alpha$. Diện tích bề mặt bên là $S$. Tìm thể tích của hình bình hành.

Vật lý
Bài thi vấn đáp
(Khoa Vật lý)

1. Khoảng cách giữa hai ga là $s = 18$ km, tàu chạy với tốc độ trung bình $v_{cp} = 54$ km/h, tăng tốc $t_1 = 2$ phút, sau đó đi với tốc độ không đổi và mất $t_2 = 1$ phút giảm tốc đến khi dừng hẳn. Xác định vận tốc lớn nhất của đoàn tàu.

2. Sóng truyền dọc theo dây cao su với tốc độ $v = 3$ m/s ở tần số $v = 2$ Hz. Sự khác biệt giữa các điểm cách nhau $l = 75$ cm là bao nhiêu?

3. Xác định rằng với mỗi khối lượng hydro ở nhiệt độ $t = 0^\circ C$, vẽ đồ thị trên hình.

4. Trên bề mặt $S = 5$ km², một lớp không khí dày $h = 1000$ m có nhiệt độ $t_1 = 20^\circ C$ và độ ẩm tương đối $r = 73\%$. Không khí nguội đến $t_2 = 10^\circ C$. Tìm khối lượng chất lỏng rơi xuống. Mật độ hơi nước bão hòa ở nhiệt độ $t_1$ và $t_2$ lần lượt là $q_{h1} = 17,3$ g/m³ và $q_{h2} = 9,4$ g/m³.

5. Một hạt bụi có khối lượng $m = 10^{-8}$ g nằm trong một điện trường đều giữa các bản có hiệu điện thế $U = 6000$ V. Khoảng cách giữa các bản là $d = 5$ cm. Một hạt bụi sẽ bị nhiễm bẩn như thế nào nếu lực tác dụng lên nó cân bằng với lực điện?

6. Một pin gồm $n = 50$ phần tử mắc nối tiếp với suất điện động $\delta = 1,4$ V và điện trở trong $r = 0,4$ Ohm; mỗi cell pin có một thiết bị điện thoại có điện trở $R = 90$ Ohm. Dòng điện được cung cấp qua một dây sắt có tiết diện $S = 3$ mm² và chiều dài $l = 20$ km. Tìm cường độ dòng điện trong mạch và hướng áp suất tác dụng lên thiết bị. Điện trở suất của sắt là $\rho = 0,98 \cdot 10^{-7}$ Ohm m.

7. Một thang máy có khối lượng $m = 1,2$ t tăng $h = 15$ m trong $t = 0,5$ phút. Điện áp ở các cực của động cơ là $U = 220$ V, hiệu suất của nó là $\eta = 90\%$. Tìm dòng điện trong động cơ:

8. Phần máy phải được phủ một lớp đồng dày $d = 0,5$ mm. Sẽ mất bao lâu nếu điện được tạo ra bởi dòng điện có mật độ $j = 1,5$ A/dm²? Đương lượng điện của đồng $k = 0,33$ mg/Kl; mật độ đồng $\rho = 8,9$ g/cm³.

9. Hồ quang của Petrov được cung cấp năng lượng bởi dòng điện xoay chiều ($\delta_{\max} = 110$ V, $T = 0,02$ s). Khả năng chống hồ quang nóng $R = 1,5$ Ohm. Cuộn dây nên có biểu hiện gì khi đưa vào mạch nối tiếp với hồ quang, nếu $I_{\max} = 30$ A?

10. Công suất quang của đường dây riêng $D = 5$ ditr. Điểm sáng nằm cách thấu kính trên trục quang của nó $d = 30$ cm. Hình ảnh của điểm này sẽ ở đâu và như thế nào? Xây dựng một hình ảnh.

M. Kalinina, O. Onorrenko