Toán học đầy màu sắc

30

S. Belie

Toán học đầy màu sắc

Nhà toán học nổi tiếng người Anh Godfrey Harold Hardy đã nói: “Sự sáng tạo của một nhà toán học cũng giống như sự sáng tạo của vẻ đẹp như sự sáng tạo của một họa sĩ hay một tư thế - tổng thể của một ý tưởng, giống như tổng thể của những bức vẽ hay ngôn từ, phải có sự hài hòa bên trong. Vẻ đẹp là tiêu chuẩn đầu tiên cho một ý tưởng toán học; không có chỗ nào trên thế giới cho thứ toán học xấu xí”

Hình 1.

Tuy nhiên, cũng có những mối liên hệ rõ ràng hơn giữa toán học và hội họa: nhà toán học rất thường xuyên giúp đỡ… tô màu. Vâng, vâng - màu sắc! Chắc chắn, đã hơn một lần trong các bài học hình học, giáo viên toán của bạn đã sử dụng phấn màu, dùng chúng để đánh dấu các đoạn bằng nhau, các hình có kích thước bằng nhau, các góc bằng nhau… Hãy xem Hình 1, ví dụ. Ở đó, hình tam giác hình chữ nhật ở giữa được tô màu đỏ và sáu hình tam giác bằng nhau khác được tô màu đỏ. Bây giờ dễ dàng thấy rằng tổng diện tích của hai hình vuông được bảo vệ bởi màu xanh lá cây bằng diện tích của hình vuông được nó bảo vệ. Định lý Pythagore đã được chứng minh!

Nhưng hóa ra việc tô màu thậm chí có thể trở thành một phương pháp lời giải bài toán.

Hãy bắt đầu với câu đố bài toán: chúng ta sẽ tìm một lối đi đến trung tâm của mê cung, như trong Hình 2. Để làm điều này, chúng ta sẽ vẽ lên tất cả các “ngõ cụt” của mê cung, tức là những phần không có đường đi từ đó (xem Hình 3). Sau đó, những gì còn lại không được sơn sẽ là con đường mong muốn. Hãy thử phương pháp này trên mê cung được hiển thị trong Hình 4. Chỉ ra tất cả các đường dẫn đến trung tâm; đếm xem có bao nhiêu và tìm cái ngắn nhất.

31

Ví dụ sau gọi quân mã đối tượng qua bàn cờ và quay trở lại ô vuông ban đầu. Cô ấy có nhiều lời giải khác nhau. Nhưng liệu có thể bỏ qua một bảng có hình dạng khác không? Ví dụ: một bảng hình chữ nhật có kích thước 7x9? Hóa ra bạn không thể. Và việc “tô màu” một lần nữa sẽ giúp chúng ta chứng minh điều này.

Tô màu bảng hình vuông 7x9 theo mẫu bàn cờ, bắt đầu từ ô vuông góc: ô vuông đen, ô vuông trắng, ô vuông đen, ô vuông trắng,… Khi đó tất cả các ô vuông góc của bảng sẽ có màu đen; Hơn nữa, sẽ có 32 ô đen và 31 ô trắng (để làm gì?). Nhưng sau mỗi lần di chuyển, hiệp sĩ sẽ thay đổi màu của sân mà nó đứng. Vì vậy, nếu quân mã đi vòng quanh tất cả các ô trên bàn cờ và quay về ô ban đầu thì sẽ đánh số ô đen và trắng như nhau. Vì có nhiều hình vuông màu đen trên bàn cờ của chúng ta hơn những hình vuông màu trắng, nên ít nhất một hình vuông màu đen sẽ không được hiệp sĩ du hành của chúng ta ghé thăm.

Chà, có thể di chuyển một quân mã xung quanh một bàn cờ có kích thước 4x8 ô vuông không? Hóa ra điều đó cũng là không thể. Một bằng chứng đẹp đẽ về thực tế này có được nếu chúng ta sơn tấm bảng này không phải bằng hai mà bằng bốn màu - như trong Hình 5.

Lưu ý rằng từ những cánh đồng màu xanh, ngựa chỉ có thể đến những cánh đồng màu vàng và ngược lại - nó chỉ có thể đến những cánh đồng màu xanh từ những cánh đồng màu vàng. Vì vậy, trên đường đi của ngựa, trường xanh phải xuất hiện trước trường vàng và đi theo trường vàng: …g - s - g - s - g… (xem Hình 6).

Từ cánh đồng vàng, ngựa có thể di chuyển đến cánh đồng xanh. Mặt khác, nếu hiệp sĩ di chuyển từ hình vuông màu vàng sang hình vuông màu xanh lá cây thì để chuyển sang hình vuông màu xanh lam, trước tiên hiệp sĩ phải chơi ở hình vuông màu vàng. Theo đó, trong một tuyến đường khép kín, số lượng trường màu vàng vượt quá số lượng trường màu xanh lam (Hình 6 sẽ giúp bạn hiểu điều này!). Nhưng vì trên thực tế số lượng ô màu vàng và màu xanh là như nhau nên

32

mâu thuẫn dẫn đến chứng tỏ rằng không thể bỏ qua một bàn cờ 4x8 với một quân mã.

Một ví dụ khác: có thể tạo một khối lập phương 6x6x6 từ 27 “creep” 1x2x4 không?

Giả sử rằng một khối lập phương 6×6×6 được tạo thành từ 27 “khối” kích thước 2×2×2, có màu xanh lam và trắng và được sắp xếp theo “hình bàn cờ” (Hình 7); cho có 14 “khối” màu xanh và 13 “khối” màu trắng. Bây giờ hãy lưu ý rằng cho dù chúng ta sắp xếp “kripich” 1x2x4 bên trong một khối lập phương lớn như thế nào thì một nửa số cốc đơn vị tạo nên nó (1x1x1) sẽ có màu xanh lam và một nửa sẽ có màu trắng. Do đó, nếu một khối lập phương có kích thước 6×6×6 có thể được gấp lại từ 27 viên gạch 1×2×4, thì nếu khối lập phương này được “bàn cờ” thành các “khối” 2×2×2, thì sẽ có số cốc đơn màu trắng trong đó bằng số cốc màu xanh. Trên thực tế, chúng ta có 108 chiếc cốc đơn màu trắng và 112 chiếc cốc màu xanh. Do đó, một khối lập phương 6x6x6 từ 27 Creep 1x2x4 không thể gấp lại được.

Sau tất cả những gì đã nói, bạn sẽ không còn ngạc nhiên khi biết rằng trong toán học có rất nhiều bài toán và các định lý về các cách tô màu khác nhau. Nổi tiếng nhất trong số đó là bài toán bốn màu*), bao gồm việc chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết sau:

*) Về bài toán bốn màu, xem «Kvant»: 1972, số 4, tr. 33; 1974, № 2, c. 58; 1974, № 4, c. 23 và 1977, № 1, c. 60.

Hình 7.

“Bất kỳ bản đồ nào trên mặt phẳng đều có thể được tô màu không quá bốn màu để hai quốc gia láng giềng bất kỳ được tô màu khác nhau” (các quốc gia được coi là láng giềng nếu có một phần biên giới chung); những nước chỉ có một vài điểm chung không được coi là láng giềng). bài toán này lần đầu tiên được đề cập đến trong một bức thư gửi Hamilton của nhà toán học người Anh De Morgan (1852). Sau đó, nó được hình thành từ diễn đàn của Hiệp hội Địa lý Anh bởi nhà toán học xuất sắc người Anh Arthur Calley (1878). Kể từ đó, bài toán bốn màu đã làm đau đầu các học giả và nhà toán học. Trong gần một trăm năm nó dường như không thể xuyên thủng. Kết quả của nhiều năm làm việc chăm chỉ, người ta đã chứng minh được rằng bất kỳ bản đồ nào chứa không quá 41 quốc gia đều có thể được tô bằng bốn màu theo cách yêu cầu; nhưng điều này tất nhiên không giải quyết được tất cả các vấn đề. Chỉ mới gần đây, vào tháng 9 năm 1976, trên tạp chí “Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ” của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, một thông báo xuất hiện từ các nhà toán học người Mỹ Apel và Haken, những người đã chứng minh tầm quan trọng của giả thuyết này (điều đáng chú ý là bằng chứng “đã tham gia” và một phần rất quan trọng trong máy tính).

Đồng thời, vào cuối thế kỷ 19, người ta đã xác định rằng bất kỳ bản đồ nào trên máy bay đều có thể được tô màu chính xác bằng năm màu (“chính xác” có nghĩa là không có hai quốc gia láng giềng nào được sơn cùng một màu). Hãy cố gắng tìm bằng chứng của riêng bạn về thực tế này. Nhưng trước tiên, hãy thử nghiệm.

1. Vẽ bản đồ gồm bốn quốc gia không thể tô màu chính xác bằng hai hoặc ba màu.
2. Hãy dành một ít vị cay; chứng minh rằng bản đồ mà chúng tạo thành có thể được tô đúng bằng hai màu.