Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

43

Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

Matematika

Bài thi viết

Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \log_4 x + \log_4 y = 1 + \log_4 9, \\ x + y = 20. \end{cases}$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{9^x + 3^x} \geq 9 - 3^x.$$

3. Một hình nón được mô tả xung quanh một quả cầu có thể tích $V$ sao cho thể tích của nó nhỏ nhất có thể. Tìm thể tích của hình nón.

4. Tại giá trị nào của $a$ thì đường $y = a$ chia diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y = 0$ và $y = 2 + x - x^2$ làm đôi?

5. Giải phương trình
   $$\frac{2 \mathrm{tg} \frac{x}{2}}{1 + \mathrm{tg}^2 \frac{x}{2}} = y^2 - 4y + 5.$$

Tùy chọn 2
(Khoa Điều khiển học)

1. Cho phép
   $$\max (A, B) = \begin{cases} A, если A \geqslant B \\ B, если B \geqslant A. \end{cases}$$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các phần của các đường thẳng max $(x, y) = 1$ và $x^2 + y^2 = 1$ nằm trong hình vuông đầu tiên.

2. Biết bán kính $r$ của đáy hình nón, hãy xác định bán kính của phần song song với đáy và chia thể tích của hình nón làm đôi.

3. Giải phương trình
   $$2 \sin^2 x - 5 \sin x \cdot \cos x - 8 \cos^2 x = -2.$$

4. Với những giá trị nào của $a$ thì phương trình $ax^2 = \ln x$ có một nghiệm?

Tùy chọn 3
(khoa vật lý và vật lý phóng xạ)

1. Điểm chuyển động thẳng đều tuân theo định luật
   $$s(t) = -\frac{1}{6} t^3 + 3t^2 - 5$$
   (thời gian tính bằng giây, quãng đường đi được tính bằng mét). Định nghĩa:

1. thời điểm mà gia tốc của một điểm bằng không;
2. Lúc này điểm đang chuyển động với tốc độ bao nhiêu?

2. Một quả cầu nội tiếp trong một hình nón có chiều cao bằng bán kính đáy. Tìm tỉ số thể tích của hình cầu và thể tích của hình nón.

3. Giải bất đẳng thức
   $$x + 2 < \sqrt{x + 14}.$$

4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \log_3 (\log_2 x) + \log_{\frac{1}{3}} (\log_{\frac{1}{2}} y) = 1, \\ xy^2 = 4. \end{cases}$$

5. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm
   $$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( x - \frac{\pi}{24} \right).$$

Bài toán thi vấn đáp

1. Giải phương trình
   a) $\log_3 (\cos x) + \log_{\frac{1}{3}} (-\sin x) = 0$;
   b) $tg |x| = |tg x|$;
   b) $\pi \sin x = \left| x - \frac{\pi}{4} \right| - \left| x - \frac{3\pi}{4} \right|$.

2. Giải bất đẳng thức
   $$|x + 2|^{\frac{1}{x^2 - x - 6}} \geq |x + 2|^{\frac{2}{x^3}}.$$

3. Tìm các khoảng đa tương đối và điểm cực trị của hàm số
   $$y = \left| |x^2 - 1| - 2 \right|.$$

Xây dựng đồ thị của hàm số này.

4. Vẽ đồ thị hàm số
   $$y = \begin{cases} l^x - 1, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{4x - x^2}, \text{ если } x \geqslant 0. \end{cases}$$

5. Vì chức năng $a$ nào
   $$f(x) = x^3 + 3(a - 7)x^2 + 3(a^2 - 9)x + 1$$ có điểm cực đại dương không?

6. Vì chức năng $m$ nào
   $$f(x) = 2e^x - me^{-x} + (1 + 2m)x - 3$$

tăng đơn điệu trên mọi trục?

7. $a$ phương trình để làm gì
   $$3x \lg x = 1 + a \lg x$$ có: a) một lời giải; 6) hai lời giải?

8. Tùy thuộc vào tham số $a$, phương trình có bao nhiêu nghiệm?
   $$x^2 \cdot e^{2|x|} = 4a.$$

9. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $[-\pi; \pi]$?
   $$3 \sin x + \sin 3x = 2a$$

tùy thuộc vào tham số $a$?

10. Tại $a$ tổng lập phương của các nghiệm của phương trình là bao nhiêu
    $$6x^2 + 6(a - 1)x - 5a + 2a^2 = 0$$

lớn nhất?

11. Vẽ tập hợp điểm trên mặt phẳng
    $$\{(x; y) | x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 \}.$$

Viết phương trình ảnh của tập hợp này tại giao điểm song song $\vec{p} = (0; -1)$.

12. Tìm các giá trị của $a$ mà tập phương trình
    $$\{(x; y) | x^2 + y^2 + 2x \leqslant 1 \} \cap \{(x; y) | x - y + a \geqslant 0\}$$